转本试卷高数历年真题答案

2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 6、7ye3x(Ccos2xCsin2x，其中C、C

80dyyf(xy)dx2dyyf(x

dx

ln

52111111、dy

2xlnx

1221 12x 213x1x0x1是第一类可去间断点e2e 15、1exdx

e2xex1ex

dx

)

17yetanxdxsecxetanxdxdxCelncosxsecxelncosxdxCxC 00CC0y

cos

cos

cos18、解：原式2siny2dy1ydx1cos 19、解“在原点的切线平行于直线2xy30”f' 2即bf(xx1f10，即3ab0ab fx2x22f(x2x32xcy3

f(x所以c0yf(x2x33

f'12x

'21y

21

2xy

f

12

xfy36

22y

f21（1）2yx10（2）3（3）Vx6，Vy522

f'(x)xf(x)

f'(x)xf(x)

f''(x)xf'(x)f'(x)

f''(x)x1

f

(0)1f(ab)f(b)1a

f'(

(b

ab)f(a)f(0)a

f'(

(b

122fx在(0cfff(0)0122f(a)f(b)f(a24、解：设每月每套为20010x，则租出设备的总数为40x，每月的毛收入为(20010x)(40x)，成本为：20(40x).于是利润为L(x)(18010x)(40x) (0xL'(x)0xx0x11x40L(11)L(0)L(40故为

11)310元时利润最大2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 12、(

22ex

ln 15、1dx f(x, 、 z

2x2x2y

(x2y219、解：令tx1x2时t1x0t1所以2fx1dx

20、原式 0

x2y2dx4021yecosx(x23（1）k

221arcsin2x24 1 (1x)x （2）f'(x)

x(1e 0

x22

x2224（1）S

6

dy0dx2（2）V2(x22x4)2x25F(x)1

cosxF(x)F(x)F(x区间0Fx)2xsinxFx)2cosx2 2x

2Fx)0Fx在

20,arccos 0,arccos F(x)在 2内严格单调递增0,arccos 2

2xarccos,2

(x)0F(x在arccos,2 F)0F(x在

2内单调递增 arccos,2 F(xx0F(0)0F(x在内满足22 22 F(x)0'26（1）设生产x件产品时，平均成本最小，则平均成'C(x)

x

x

200

1x

C(x)0x1000（件（2）设生产x件产品时，企业可获最大利润，则最大利xP(x)C(x)x4401 xP(xC(x)'0x1600 此时利润xP(xC(x)167000（元2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 2、 3、 5、 7、 8、 9、e2

10、

3

1x2

dx2

f(x,

13lim[(1x2x2

1cos

lime

14dz1sec2xdxxsec2x

151x2lnx1 y

2 2 21612

d 01

d17y

d2t、t

1t19x1f(x)x1f(x)

xx1x

1， x20(1

x2y2)dxdy2d

2

(1r)dr

21（i）切线方程：y4 （iii）VVV4222(4xx2)dx224

22f(x)xex2f(0)20f(1)e20f(x在0,1内连续，f(x在0,1内至少存在一个实数f(0fxex(1x在0,1内大于f(x在0,1内单调递增，所以在0,1内犹且仅有一个实根.23、解：设圆柱形底面半径为r，h，侧面单位面积造价为l，则 Vr

yr22lr2l2

1 2V由（1）hr2代入（2）yl2r2rr3 3

2V2V3令y'l5rr20，得：r ；此时圆柱高h5 3 3 3 3 所以当圆柱底面半径r ，高为 时造价最低24fx)

(4

，f''(x)

(4

，f'''(x)

2(4f(n)(x)

(4f(0)1，f'(0)

，f''(0)

，…，f(n)(x)

收敛区间

f(x)1

x

x2

n

25、解：对应特征方程2230，1、3yCexCe3x，因为 ybxbyCexCe3xx1 2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 6、 7、8x1

yz

101arcsin4x4101110

y y 010f(x, f(x,010

12、13间断点为xk，kZ当x0时，limf(x)

1k0，kZ时， ，为第二类间断点

x0sin14、原式

x0sin sin 3x

tanxsin

tanx(1sinx)

x1x2

115、x0y(0)1y'eyxeyy0x0y1y2e2ex ex (x1)e16f(x

，所以f(x) xx2 xx2xf'(2x)dx1xf'(2x)d(2x)1xdf(2x)1xf(2x)1f1xf(2x)

1f(2x)d(2x)

x(2x2

e2

C

x

e2x

dxt

dt

dt2arctantxxxx

t(t2

t2 18zf'f'y 2z f f

xf'y

fx fx21f21

(xy)f

xyf''

sinydxdy1dyysinydx

(1y)sin2y 2yD

01(y1)cosy101

0cosydy1

1 n(x2)20、f(x) 4x 41

x24(1)

，(2x4n 21、证明：令tx0xf(sinx)dx(tf(sin(t)dt0(tf 0f(sinx)dx0xf(sin 0xf(sinx)dx2

f(sinx)dx，证毕 sin

sin

0x1cos2xdx201cos2xdx2arctan(cosx)022、等式两边求导的xf(x)2xfx)

fxxf(x)2x

f(0)1，px q2x pdxx，epdx2

2，epdxe2

dx

2dx

2f(x

2

2

2Ce2，由f(0解得C3f(x23e23、设污水厂建在河岸离甲城x公里处402(50M(402(502(x402(50M2(x402(502

，0x506x506

（公里，唯一驻点，即为所求2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 5、 6、 7、 8、e

2

f(x,

12、13F(xx0处连续，所以limF(x)F(0)limF(x)limf(x)2sinxlimf(x)f(0)2

f'(0)2628

F(0a，故a8dydtcostcosttsint

xd2x

(y' 1 t

t

csctt t

sin

sin3tan2xtanxsecxdx(sec2x1)dsecxsec2xdsecxsecx1sec3xsecxC3

11d(1x216xarctanx001x2dx421ln(1x2)

1 1ln z 217xcosxf1

cosx(f122y)2ycos lAB

128(x39y122(z20，即8x9y22z5919f(x)

x(2 22

1)21 2x23

，收敛域为1x120y'x

n0 yx

1dxex

1 y x

exdxC e因为y(1)e，eeC，所以C0，故特解为y x

f(x在(1,1上至少有一实根22yf(x)f(2)4f2)3f2)0由

0a12y''6x12y''6x12y'3x212xCy2)3，解得C9 yx36x29xCy(2)4，解得C2 yx36x29x2 （2）Vx2(122x)dx(xx2)2 24D为：1yuyx （1）F(u)f(x)d1D

f(x)dy1(x1)f(x)dx（2）F'(u)(u1)f(u)，F'(2)(21)f(2)f(2)2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 6、 7、 8、f(x0

9、1

10、11、exyysinxcos

1x 13、原式lim x11 x2'dy'

1 1t

d2

(dy

1t

t x

dx x

1t

1t15

1lnxd(1lnx)3

3(1lnx)2 2x2dsinx2x2dsinxx2sinx22xsinxdx2xdcos

4

02xcosx20

2cosxdx y '

，令p 则y'pxp'，代入得：xp'p2，分离变量得lnx x lnx1dp 1dx

lnxC，y p2 18g(x)ln(1x)g(0)0gx)

(1)nxndx n0

n故f(x)n

，1x1

124

2i

x2

y3

z21

2z

20y

f2，

2xf2

(f21

f(x)3xx3，x2,2，f'(x)33x20，x1，f(1)2，f(1)2f(22f(22；所以f

2fmax2，故2

f(x2，即3x

222y'2xyy(0)y2x2Cexy(0)0得C2y2x22ex23（1）S2(8x2x2dx4（2）V04

y)2dy84

8y)2 24f(x)dxdy0dx0f(x)dyt0fffg(t)

t ttlimg(t)lim0f(x)dx0g(t的连续性可知ag(0)limg(t)t

t

t当t0gt)

f(t)当t0g0)limg(h gt)f(t2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 5、 6、 7、ln

9、

10、2111dxy

xdyy2

12y5y'6y

exxxtan

exxx2

ex1

limxx0x

1214、解：方程e

e

xyx求导数得

e

yyxy

y'

ex.eyx0y0

x

1

d2d2

215、解x2exdxx2d(ex)x2ex2xexdxx2ex2xd(exx2ex2xex2exC116xsint，则1

1xx

dx

cos22sin22

dt14

2z

4

'17x2f1yf2'

2(f113f12x)f2y(f213f226f''(2x3y)f''xyf''f 18y'1y2007xy'1y0yCx. yC(x)x.Cx)xC(xC(x)2007x，所以Cx)2007C(x2007xC，故原方程的通解为y2007xC)x.y(12008，所以C1，于是所求特解为y2007x1)x.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）

2

1(2,1,3)1 故所求平面方程为2(x1y23(x3)0，即2xy3z50

x2y2dxdy2dd2d

2

2d

82cos3d

16 3 21、解（1）V1(1x22dx8

1

(1y2dy (1y2dy.由此得(1a21(1a2.解得a1a

)3422fx)3ax22bxcfx)6ax2bf10f(10f(12a1、b3、cay ax23DyxbDay 2x

2x

2x

2

x2adyyf

dxfD

a

f

dyaf

dxaebf(x)e2x(exea)dxb(e3xe2xa)f(x)dx

xx

，显然，F(x)

上连续.Fx)

x2x(x

0故F(x)在0,上单调递增于是0x1时，F(xF(10

xlnx x

0

(x21)lnx(x1)2x1F(x)F(1)0，即lnxx1x210，故(x21lnx(x1)2xx0时，总有(x21lnxx1)22008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 2、A3、 5、A6、 7、 8、 910cosx1x2

11、 12、2,2

xx

)3xlim(1

2)3xlim(1

2)x

y2

lim(x2)3xlim(11)y61 cost(t)cost(t)dy

y’(t)

sin

d2

1 x3x15x1dx

x3x1dx

d(xx

dx(x

x1)dxlnx1x3x2xlnx1111 11111ex2dx11ex2dxex2d(x2)2

01ex2x2dxex2de1ex2x2dxex2de2(x21ex2dx2＝2ee2dx22e12e2e2 17AB

AC2,0,5

－2－2

2nABAC

18z

yf21x221

2z

2

y(f’1fx xf＝f''

f''－

f'

f''

f x

x

x

x 19x2dxdy1

x2dy

dxx2 2D

x412x412

dx1xdx

0

x2x220(x)exdxelnx

1x2化简原方程xy，2yx2dy2y

2 x

x

d(x2y)

1x

d(x2 等式两边积分得到通解 yx2lnxx

x21F(xy)1yx和yF(x

) ，F(x,

)x x

0所以过曲线上任一点(x

xx0y

x1 x10X＝0时，yy

y000y＝o时，xxx200

x0F(xy1

x2yxF(xy的最小值x x0

0 F(x0,y00

xx0140x014

x2(x00x0

x04x0y01

V0

)dx

355（2）a(2x2x2dx1(2x2x2 0aax2dx1x0a.aa31a. 2323g(x)

f(xaf(x，那么g(a)

f(2a)f(a)，g(0)

f(a)fg(a)g(0)0g(x)在0，a上连续.故存在(0，a，使得g(0，即f(

f(a)24、将ex 展开得到：ex11x1x2 (1x)ex1x)(11x1x2)11x21x3 2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 6、 7、ln 8、 3

z2xz

12、lnx

x22lnyy232313、

6x0xsin x01cos14dx

1dt,dy(2t2)dt，dy(2t2)dt2(t1)2d2

1ddx

4(t

11dx

112x2x

t,x

t22

2x1dxsinttdttdcosttcostcosttcostsintC

2x1

2x22x2x

2sinx00x140440x

2sin2

dx4 2cosd4(1cos2)d(

2x 22x

量可取为ns0n0(3,2,1)(1,1,1)

1121.又显然点(0121故所求平面方程为1(x12)(y11(z20，即x2yz03 23D

yd

2sinddD

2sin24

2d

2(8csc24

sin)1(8cot3

2cos 11

f'cosx

2f'y2

2

2424

2xcosxf2

xyf20(x)exdxelnx

1x2化简原方程xy，2yx2dy2y

2 x

x

d(x2y)

1x

d(x2 等式两边积分得到通解 yx2lnxx

x21（1）f(xRfx3x23fx0x1f(x增区间为(1],[1，单调减区间为[1,1]f(13f(1（2）fx6xfx0x0yf(x在(0上是凸的，在0)是凹的，点01为拐点（3）由于f(1)3，f(1)1，f(3)19，故函数f(x)在闭区间[23上的最大值为f(319，最小值为f(1f(2

V1

2a2

2a0

x

V2

(2x2)2dy2a2

4(32a5)52 2（2）A 2x2dx a3.A

22x2dx2(8a3A

得a34

23、证（1）因为limf(xlimex1limf(xlim(x11f(01，所以函f(xx0

f(x)fx

exx

1，

f(x)fx

x1x

1f(0 f(01.f'(0f(0f(xx0处不可导24f(x4xlnxx22x3

f'(x)4lnx2x2，f''(x)4242x 1x2时，fx0fx)在[12上单调增加，从而当1x2fxf(10f(x在[121x2时，f(xf(10，即当1x24xlnxx22x32010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 3、 4、 6、7、

10、2

11dx

12、(1

xtanxx2tan

xtanx

1sec23x

tan23x

13

ex

dy) ， ，

ex1exy

d2

9ex(1exy151x2arctanx1x1arctanx 2xt2xt23

t，x22

，dxtdt原式3 tdt3(t5)dt(1t35t)328

17、n1(1,2,3)，n2(2,0,1)，nn1n2

3(2,7,4)

x1

y17

z

'

3

2 18x

(f1yf2

)；

3y

yf2

f11xy

219xdxdy

xdx2 220r11,r22r2r20p1,q21p(x)1，可设Q(x)Ax，即设特解为YAxexY'AexAxexY''2AexAxexp1q2，代入方程ypyqyex(2AAxAAx2A)exex3A1,A1yCexCe2x1 21f(x)ex11x21，fx)ex1x，fx)ex110，fx在(1, f1)0fx)0f(x在(1,f(1)0f(x)0ex11x21 22、limf(x)lim(x)lim(x(0)(0)1

f(0

x(x)1f'(0)

f(x)f

(x)

'(x)1

'(x)'

x

2

x1lim(x)1(0223、V(a)

a[(a2)2(x2)2]dx4a5 V(a)1[(x2)2(a2)2]dx(1a44a5) V(a)V(a)V(a)(1a48a5) Va)8a44a3，令Va)0得a1，最小值为V(1)3 24f(x)edx(2exedxdxC)ex(e2xC)exCexf(0)2,C1，f(x)exex，f'(x)exexf'yf

exeexe

e2x1e2x

e2x1e2x

1

，e2x

te2x1e2

e21eeeA(t)0(1(1e2x))dx021eee

dx 2

d2x012

dt 2 t

2t0e2x1d 1)2t

1)ln2ln

1)ln21

lnlimA(t)

ln2)lnt

1一、选择题（6424分1、 2、 4、 5、 6、二、填空题（6424分7、 8、22ln

9、 10、1343

12、2三、计算题（8864分13、原式

(exexx2

2(exex)(exex)

2

exe4x dy

ey1 、

2t (ey1)(2t15、原式

2xsinxx2cosx

dx(2sinxxcosx)dx2cosxxdsin=cosxxsinx2t21 xx

t，则原式

1t2tdt1

2t)dt317AxByCzD0.xAD0；又该平面经过已知直线，所以法向量互相垂直，即3BC0.By3Bz0y3z0.18z1fxfyf0

fyf

x2z

1

(

xf2

1)x1f1y(2

x

x2

x19、原式=4d r2sindr 20f(x)exx1)ex2(x1)ex(3x1)exr23r20，齐次方程的通解为YCexCe2x.yAxB)ex 6Ax5A6B3x4A 6A

1，所以通解为YCexCe2x1x1)ex15A6B

B

四、证明题（2918分21f(xxln(1

2,则

(x)ln(1

1x20f(x单调递增又f(0)20,f(2)2ln520，所以由零点定理可知命题得证22f(xx201120102011x,则f(x2011x20102011f(x0x1f(x20112010x2009，所以f(1201120100，因此由判定极值的第二f(10f(10f(xf(x)0，也即原不等式成立五、综合题（21020分23

eaxx2ax

eaxx2ax

a2eax22

a22

eax

eax

aeaxx0sin

a222

aa1或a2f(01，所以a22a

a222

aa1且a2224（1）f(x2f(x(a1x2dx

2

a1f(x)

x(a

xdxCx2

C)Cx2(af(11，得Ca，即f(xax2aDS1ax2a1)xdxa3 a1f(xx2（2）Vx

1(x22x)2dx81 1

121

1y)