微积分基本定理教案

五章 定积分及其应用第三节 微积分基本定理 教 学 基 本 信 息教学课题 第三节 微积分基本定理 教学时间 45分钟教学重点 微积分基本公式 教学对象 高职高专学生教学难点 变上限积分函数及导数教学内容

变上限积分函数的定义.变上限积分函数的导数.3.微积分基本定理.定义及其导数；教学要求 2.熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式的应用 .微积分： Calculus; 变上限积分函数： Integrationofvariableupper limit双语教学 function；导数 e； 牛顿－莱布尼兹:Newton-Leibniz.教 学 过 程一、复习定积分的定义定积分的几何意义3．定积分的性质二、引入新课一蝴蝶在一正弦形y

xx[0,？

备 注案例教学法 问题 1：蝴蝶活动的区域面积如何表示？学生回答： 问题 2：能否用定积分的定义求出积分值？学生回答：不能。因为在求积分和时不易计算。

nxdx0有没有简单的方法求出这个积分值呢？有。通过“微积分基本定理”的学习。我们将给出求定积分的一种简单方法。三、探究感性认识变上限积分函数例如 1xx10

2xdx0

3xx0

… 下限是一常数,给出一个上限x y与之对.

xtdt0

是一个 以x为 自变量的 函数。1、变上限积分 函数的定义 定义 1： 设f(x)为区 [a,b]上的 连续函任取x[a,b]一确定的定积分xf(x)dx(a a

f(t)dt)与之对应.这种对应满足函数的定义.因此,它是定义在区间[a,b]上的函数.记为:y

(x)a

f(t)dt(x)o a x b x

提问学生原因（其几何意义如图）(x)a

f(t)dt。例 1 判断下列函数是否为变上限积分函数(x)

xetdta

(x)

aetdtx

(x)

xcosxdta

(x)2xcosxdta(提问学生，询问原因)通过例题讲解.使学生进一步体会变上限积分函数的特征:下限是一常数,上限只有一个自变量x.同时,这是一类函数.这类函数如同其它函数一样,可以计算求其定义域,值域…在这我们根据需要,只学习它的一条性质---2、变上限积分函数的导数

提 问 学生，询问原因教师根定1 如f(x)[a,上连

则变上限(x)a

f(t)dt在[a,b]

据 学 生

(x)ddx a

f(t)dtf(x)，x[a,

回答总对于定理的证明不要求掌例 2 求下列函数的导数

结答案(1)

(x)xetdta

(2)

(x)0arctatdtx

问题驱解

(提问学生，询问原 因)x(xetdt)exa

（加深理解）()x(xarctatdt)arctanx0xarctatdt例 3 计算lim0 的值x0 x2解x0

xarctatdt0x2

x0

arctanx12x 2变上限积分函数的性质的应用.定2（原函数在定）f(x[a定理的重要意义：

则函数(x)a

f(t)dt是f(x在区间[a.（1）肯定了连续函数的原函数是存在.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联.3、微积分基本定理如果 F(x

是 连 续 函

f(x

在 区

[a,

上的 一个原 函 数 。则bf(xda

F(b)F(a)证 已知F(x)

f(x)的 一个原函数 ，

例4的 (x)a

f(t)dt也

f(x)的 一个原函 数,

选取主则F(x)xftdtC,a

[a,b]

要熟悉xa则F(a)a

f(t)dtC,则

F(a)C,

F(x)a

f(t)dtC,

[a,b]公式令xb

Fb)a

f(t)dt

F(a),即a

f(t)dt

F(b)

f(a),

[a,b]f(x[a.例4 分1 1 x11x2解:1 1 xn

1 111x2例5 分520

24dx

提问学解:520

4dx

2(204)dx

5(224)dx

(x

4x

2(x0

4x

549326求2

1dxx

对使用解112 x

ln

1 ln1ln2ln22

条件的问:1

1dx,x吗? 重视的

y

x,

[0,]花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？

学生解:

Anxd0

cosx0

2. 答四、课堂练习 （分组练习,教师答疑）、(x)xetd()0: (x)ex(2)e2

练习法（巩固知识）、

2xcotdya: ycos2x

(2x

2cos2x、f(x)xt)dt.a: Rf(x)x1xx,x,

f(x)0f(x0,.f(x0,.f)1t)dt[1t2t110 2 0 2.五、课堂小结本节通过几个例子的讲解,轻而易举推出变上限积分函数的概念;学习了变上限积分函数的导数.在此基础上推出了微积分基本公式.变分(x)a

f(t)dt变上限积分函数的(x

f(x)微积分本a

f(x

F(b)F(a)注意条件：f(x