反比例函数综合题

PAGE131反比例函数综合题.反比例函数综合题1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A解：设P（0，b），∵直线AB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），又∵点B在反比例函数y=的图象上，∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），∴AB=﹣（﹣）=，∴S△ABC=•AB•OP=•b=3．故选：A．2．如图，点A、B在反比例函数y=的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（）A．2B．4C．﹣2D．﹣4【答案】D解：∵点A、B在反比例函数y的图象上，∴S△AOM=|k|，∵OM=MN=NC，∴AM=2BN，∴S△AOM=S△AOC，S△ACM=4S△BCN，S△ACM=2S△AOM，∵四边形AMNB的面积是3，∴S△BCN=1，∴S△AOM=2，∴|k|=4，∵反比例函数y=的图象在第二四象限，∴k=﹣4，故选D．3．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2【答案】D解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．故选D．4．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A．B．C．3D．4【答案】B解：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，∵△ADO的面积为1，∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得k=，故选：B．5．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A．B．C．D．12【答案】C解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣﹣•（b﹣）=9，∴k=，故选C．6．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A．解：正方形OABC中，点B在反比例函数上，设点B的坐标为（），则（负值舍去），设点E的横坐标为，则纵坐标为，代入反比例函数中，则解得（负值舍去），则点E的坐标为故选A．7．下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A．B、C、D、【答案】C．解：A项阴影部分面积=3，B项阴影部分面积=3，C项阴影部分面积，D项阴影部分面积=3，故选C．8．（2015•本溪）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C．D．﹣【答案】D解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，∵将△ABO沿直线AB翻折，∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，∴CD=y=AC•sin60°=2×=，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD=30°，∵BC=BO=AO•tan30°=2×=，CE=x=BC•cos30°==1，∵点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，∴k=x•y=﹣1×=﹣，故选D．9．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k＞0，则+6=4k，k=2．故选B．10．下列图形中，阴影部分面积最大的是（）【答案】C解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3，B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，C、如图：根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得出：阴影部分面积为：，D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×1×6=3，阴影部分面积最大的是4．故选：C．11．如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点M，则△AMC周长的值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B解：根据反比例函数的性质可得点A的坐标为（3，1），则AC=1，OC=3，根据中垂线的性质可得：AM=OM，则△AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=4．12．如图，△是直角三角形，=，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（）A、B、C、D、【答案】A．解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数的y=图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（-2n，2m），∴k=-2n•2m=-4mn=-4．故选A．考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.相似三角形的判定与性质．13．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（）．A、x＜－1B、x＞2C、－1＜x＜0或x＞2D、x＜－1或0＜x＜2【答案】D【解析】试题分析：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是x＜-1，或0＜x＜2．故选D考点：一次函数与反比例函数的图象14．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．无法确定D．保持不变【答案】D．【解析】试题解析：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；∵∠AOB=90°，∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，∴∠BOM=∠OAN，∵∠BMO=∠ANO=90°，∴△BOM∽△OAN，∴；设B（-m，），A（n，），则BM=，AN=，OM=m，ON=n，∴mn=，mn=；∵∠AOB=90°，∴tan∠OAB=①；∵△BOM∽△OAN，∴②，由①②知tan∠OAB=为定值，∴∠OAB的大小不变，故选D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征．15．如图，过点O作直线与双曲线（k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE=AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（A）S1=S2（B）2S1=S2（C）3S1=S2（D）4S1=S2【答案】B．【解析】试题解析：设A点坐标为（m，-n），过点O的直线与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关与原点对称，则B的坐标为（-m，n）；矩形OCBD中，易得OD=n，OC=m；则S1=mn；在Rt△EOF中，AE=AF，故A为EF中点，由中位线的性质可得OF=2n，OE=2m；则S2=×OF×OE=2mn；故2S1=S2．故选B．考点：反比例函数系数k的几何意义．16．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=-的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（）A．2B．3C．4D．5【答案】D．【解析】试题解析：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是；同理可得：B的横坐标是：-．则AB=-（-）=．则S□ABCD=×b=5．故选D．考点：反比例函数综合题．17．（2015秋•滦县期末）如图，函数y=和y=的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（）A．8B．9C．10D．11【答案】A【解析】试题分析：设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．解：∵点P在y=上，∴|xp|×|yp|=|k|=1，∴设P的坐标是（a，）（a为正数），∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，∵A在y=﹣上，∴A的坐标是（a，﹣），∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，∵B在y=﹣上，∴代入得：=﹣，解得：x=﹣3a，∴B的坐标是（﹣3a，），∴PA=|﹣（﹣）|=，PB=|a﹣（﹣3a）|=4a，∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．故选A．考点：反比例函数系数k的几何意义．

第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）18．如图，点，点，都在函数的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3都在轴上，已知点P1的坐标为（1，1），则点P3的坐标为．【答案】【解析】试题分析：如图，作轴于，作轴于，作轴于，都是等腰直角三角形，设点的坐标为（1,1），则解得或（舍）．解得或，考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、等腰直角三角形．19．如图所示，点、、在轴上，且，分别过点、、作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点、、，分别过点作轴的平行线，分别与轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为，则的值为．【答案】4【解析】试题分析：本题利用特殊值法进行求解，首先假设=1，然后用含k的代数式分别得出，，的坐标，从而求出各个面积，根据题意列出方程求出k的值.考点：反比例函数的性质评卷人得分三、计算题（题型注释）评卷人得分四、解答题（题型注释）20．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．【答案】（1）y=；（2）（2，4）．（3）∠AOF=∠EOC．见解析【解析】试题分析：（1）设反比例函数的解析式为y=，把点E（3，4）代入即可求出k的值，进而得出结论；（2）由正方形AOCB的边长为4，故可知点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．由于点D在反比例函数的图象上，所以点D的纵坐标为3，即D（4，3），由点D在直线y=﹣x+b上可得出b的值，进而得出该直线的解析式，再把y=4代入直线的解析式即可求出点F的坐标；（3）在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．设直线EG的解析式为y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直线EG的解析式，故可得出H点的坐标，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5，可知OH=OE，即OG是等腰三角形底边EF上的中线．所以OG是等腰三角形顶角的平分线，由此即可得出结论．解：（1）设反比例函数的解析式y=，∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴4=，即k=12．∴反比例函数的解析式y=；（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4，3）．∵点D在直线y=﹣x+b上，∴3=﹣×4+b，解得b=5．∴直线DF为y=﹣x+5，将y=4代入y=﹣x+5，得4=﹣x+5，解得x=2．∴点F的坐标为（2，4）．（3）∠AOF=∠EOC．证明：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H．∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，∴△OAF≌△OCG（SAS）．∴∠AOF=∠COG．∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，∴△EGB≌△HGC（ASA）．∴EG=HG．设直线EG：y=mx+n，∵E（3，4），G（4，2），∴，解得，．∴直线EG：y=﹣2x+10．令y=﹣2x+10=0，得x=5．∴H（5，0），OH=5．在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5．∴OH=OE．∴OG是等腰三角形底边EH上的中线．∴OG是等腰三角形顶角的平分线．∴∠EOG=∠GOH．∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=∠EOC．考点：反比例函数综合题．21．如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．【答案】（1）y=-x+4；（2）y=；（3）y=．【解析】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；（3）设F（t，-t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y=，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（4，0），B（0，4），∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=-x+4；（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，∴EF=2，DF=4，∵点D与点A重合，∴D（4，0），∴F（2，2），∴G（3，），∵反比例函数y=经过点G，∴k=3，∴反比例函数的解析式为：y=；（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：∵点F在直线AB上，∴设F（t，-t+4），又∵ED=2，∴D（t+2，-t+2），∵点G为边FD的中点．∴G（t+1，-t+3），若过点G的反比例函数的图象也经过点F，设解析式为y=，则，整理得：（-t+3）（t+1）=（-t+4）t，解得：t=，∴m=，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=．考点：反比例函数综合题．22．如图，已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=﹣的图象与线段AB交于M点，且AM=BM，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．（1）求证：MC=MD；（2）求点M的坐标；（3）求直线AB的解析式．【答案】（1）见解析；（2）点M的坐标为（﹣，）．（3）y=x+4．【解析】试题分析：（1）先根据AM=BM得出点M为AB的中点，再根据MC⊥x轴，MD⊥y轴，故MC∥OB，MD∥OA得出点C和点D分别为OA与OB中点，根据OA=OB即可得出结论；（2）由（1）知，MC=MD，设点M的坐标为（﹣a，a）．把M（﹣a，a）代入函数y=中求出a的值即可；（3）根据点M的坐标得出MC，MD的长，故可得出A、B两点的坐标，利用待定系数法即可得出直线AB的解析式．（1）证明：∵AM=BM，∴点M为AB的中点∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，∴MC∥OB，MD∥OA，∴点C和点D分别为OA与OB中点，∵OA=OB，∴MC=MD．（2）解：∵由（1）知，MC=MD，∴设点M的坐标为（﹣a，a）．把M（﹣a，a）代入函数y=中，解得a=2．∴点M的坐标为（﹣，）．（3）解：∵点M的坐标为（﹣，），∴MC=，MD=，∴OA=OB=2MC=，∴A（﹣，0），B（0，）．设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（﹣，0）和点B（0，）分别代入y=kx+b中，解得，∴直线AB的解析式为y=x+4．考点：反比例函数综合题．23．如图，已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=．（2）点A的坐标为（1，1）；（3）符合条件的点有4个，分别是（，0），（﹣，0），（2，0），（1，0）．【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．解：（1）由题意得②﹣①得k=2∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得，．∵点A在第一象限，∴点A的坐标为（1，1）（3），OA与x轴所夹锐角为45°，①当OA为腰时，由OA=OP1得P1（，0），由OA=OP2得P2（﹣，0）；由OA=AP3得P3（2，0）．②当OA为底时，OP4=AP4得P4（1，0）．∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（﹣，0），（2，0），（1，0）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质．24．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【答案】（1）y=﹣2x+8；（2）0＜x＜1或x＞3；（3）8．【解析】试题分析：（1）先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（2）根据图象可以直接写出答案；（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）．又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，∴．解得，则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8；（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴AE=6，BC=2，∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．25．（2015秋•娄星区期末）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b≥的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．【答案】（1）y=，y=x+1；（2）x＞2或﹣3＜x＜0．（3）5．【解析】试题分析：（1）把A\的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出一次函数的解析式；（2）根据A、B的坐标结合图象得出即可．（3）设AB与x轴交点为D，根据一次函数的解析式即可求得D的坐标，根据S△ABC=S△ACD+S△BDC就可求得三角形的面积．解：（1）从图象可知A的坐标是（2，3），B的坐标是（﹣3，n），把A的坐标代入反比例函数的解析式得：k=6，即反比例函数的解析式是y=，把B的坐标代入反比例函数的解析式得：n=﹣2，即B的坐标是（﹣3，﹣2），把A、B的坐标代入一次函数的解析式得：，解得：k=1，b=1．即一次函数的解析式是y=x+1；（2）∵由图象可知使一次函数的值大于反比例函数的值的x取值范围是x＞2或﹣3＜x＜0．∴不等式kx+b≥的解集为x＞2或﹣3＜x＜0．（3）设AB与x轴交点为D，则D（﹣1，0），则S△ABC=S△ACD+S△BDC=5．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．26．（2005•沈阳）如图，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；（2）求出点D的坐标；（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？【答案】（1）y1=x+3，；（2）（﹣2，1）；（3）当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2【解析】试题分析：（1）因为两个函数的图象都过C点，将C点坐标代入求得m、k的值，所以易求它们的解析式；（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，得交点坐标D；（3）看在哪些区间y1的图象在上方．解：（1）∵y1=x+m与过点C（﹣1，2），∴m=3，k=﹣2，∴y1=x+3，；（2）由题意，解得：，或，∴D点坐标为（﹣2，1）；（3）由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．考点：反比例函数综合题．27．（2014•汕头）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）y=x+，﹣2；（3）（﹣，）．【解析】试题分析：（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t，t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t，t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．28．如图，已知反比例函数（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．【答案】（1）y=；（2）证明见解析；（3）B（3，），AB的解析式为y=-x+．【解析】试题分析：（1）把A点坐标代入可得k的值，进而得到函数解析式；（2）根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数解析式可得=n，则，而，可得，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m-1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．试题解析：（1）∵（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），∴k=4，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵点A（1，4），点B（m，n），∴AC=4-n，BC=m-1，ON=n，OM=1，∴，∵B（m，n）在y=上，∴=n，∴，而，∴，∵∠ACB=∠NOM=90°，∴△ACB∽△NOM；（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m-1=2，m=3，∴B（3，），设AB所在直线解析式为y=kx+b，∴，解得，∴AB的解析式为y=-x+．考点：反比例函数综合题．29．如图，反比例函数的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标．【答案】（1），（2）证明见解析，（3）【解析】试题分析：（1）把点A（1，4）代入求出k的值即可；（2）根据点B（m，n），A（1，4）用m、n表示出个线段的长，证明，且，即可得出结论；（3）根据ΔACB与ΔNOM的相似比为2，求出m的值，从而得出点B的坐标，用待定系数法求函数解析式即可．试题解析：（1）∵的图象经过点A（1，4），∴，k=4．∴反比例函数解析式为．（2）∵B（m，n），A（1，4），∴AC=4–n，BC=m–1，ON=n，OM=1．∴．∵点B（m，n）在上，∴．∴．又∵．∴．又∵∠ACB=∠NOM=90°，∴ΔACB∽ΔNOM．．（3）∵ΔACB与ΔNOM的相似比为2，∴m–1=2．∴m=3．∴B点坐标为．设AB所在直线的解析式为y=kx＋b，∴，解得．∴AB所在直线的解析式为．考点：1．反比例函数的性质2．待定系数法求函数解析式3．相似三角形的判定与性质．30．（2015•乐山）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．（1）求k的值；（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k=2．（2）点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．【解析】试题分析：（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；（2）先将y=2x与y=联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=|k|，∴|k|=1，∵k＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为y=；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y=2x与y=联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），①当AD⊥AB时，如图1，设直线AD的关系式为y=﹣x+b，将A（1，2）代入上式得：b=，∴直线AD的关系式为y=﹣x+，令y=0得：x=5，∴D（5，0）；②当BD⊥AB时，如图2，设直线BD的关系式为y=﹣x+b，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b=﹣，∴直线AD的关系式为y=﹣x﹣，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）；③当AD⊥BD时，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或（﹣，0）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．31．如图，已知反比例函数和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=．（2）点A的坐标为（1，1）（3）（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．试题解析：（1）由题意得②-①得：k=2∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得，．∵点A在第一象限，∴点A的坐标为（1，1）（3）OA=，OA与x轴所夹锐角为45°，①当OA为腰时，由OA=OP1得P1（，0），由OA=OP2得P2（-，0）；由OA=AP3得P3（2，0）．②当OA为底时，OP4=AP4得P4（1，0）．∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．考点：反比例函数综合题．32．如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。【答案】（1）y=；（2）（1，1）；（3）符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式；（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可；（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．试题解析：（1）由题意得，②-①得：k=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）由，解得，，∵点A在第一象限，∴点A的坐标为（1，1）；（3）OA==，OA与x轴所夹锐角为45°，①当OA为腰时，由OA=得（，0），由OA=得（-，0）；由OA=得（2，0）．②当OA为底时，=得（1，0）．∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．考点：反比例函数综合题．33．如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点，轴于点B，交的图象于点．（1）求证：D是BP的中点；（2）求出四边形ODPC的面积．【答案】（1）证明见试题解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．试题解析：（1）∵点P在函数上，∴设P点坐标为（，m），∵点D在函数上，BP∥x轴，∴设点D坐标为（，m），由题意，得BD=，BP==2BD，∴D是BP的中点；（2）S四边形OAPB=•m=6，设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y），S△OBD==，S△OAC==，S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC==3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．34．如图，已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）A（1，1）；（3）（，0），（－，0），（2，0），（1，0）．【解析】试题分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．（3）应先求出OA的距离，然后由：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论．试题解析：（1）由题意得，②﹣①得：k=2，∴反比例函数的解析式为；（2）由，解得：，，∵点A在第一象限，∴点A的坐标为（1，1）；（3）OA==，OA与x轴所夹锐角为45°，①当OA为腰时，由OA=OP1得P1（，0），由OA=OP2得P2（﹣，0）；由OA=AP3得P3（2，0）；②当OA为底时，OP4=AP4得P4（1，0），∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（﹣，0），（2，0），（1，0）．考点：1．反比例函数综合题；2．分类讨论；3．存在型．35．如图，已知点A的坐标（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于C、D两点，若AB=3BD．以C点为圆心，2CA长为半径作圆C．（1）求k的值；（2）求点C坐标；（3）判断⊙C与x轴的位置关系．【答案】（1）；（2）C（1，）；（3）⊙C与x轴相交．【解析】试题分析：（1）根据A（，3），AB=3BD求出点D的坐标，故可得出k的值；（2）由（1）中k的值求出反比例函数的解析式，用待定系数法求出直线OA的解析式，把反比例函数与一次函数的解析式组成方程组即可求出C点坐标；（3）由（2）中C点坐标可求出点C与x轴的距离及CA的长，由圆与直线的位置关系即可得出结论．试题解析：（1）∵A（，3），∴AB=3，∵AB=3BD，∴BD=AB=×3=1，∴D（，1）∵点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴1=，解得k=；（2）∵k=，∴反比例函数的解析式为y=，设直线OA的解析式为y=kx，∵A的坐标（，3），∴k=3，解得k=，∴直线OA的解析式为y=x，∴，解得x=1或x=-1（舍去），∴C（1，）；（3）∵C（1，），∴点C到x轴的距离为，∵A（，3），∴OA=2，OC=2，∴CA=OA-OC=2-2，∴2CA=4-4，∵4-4-=3-4＞0，∴⊙C与x轴相交．考点：反比例函数综合题．36．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式是；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．【解析】试题分析：（1）求出，将代入求出，得出M的坐标，将M坐标代入反比例函数解析式即可求出答案；（2）利用，求出OP的值，即可求出P点坐标．试题解析：（1），四边形OABC是矩形，，将代入得，，将M坐标代入，反比例函数的解析式是．由题意得，点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．考点：反比例函数综合题．37．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）﹣4＜x＜﹣1;（2）y=x+，m=-2；（3）P点坐标是（﹣，）．【解析】试题分析：（1）一次函数图象都在反比例函数图象上方，观察函数图象即可得-4＜x＜-1；（2）利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（2）设P（x，x+），根据△PCA和△PDB面积相等列出方程解方程即可．试题解析：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．考点：反比例函数、一次函数的综合题．38．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是y轴上一点，且△FBC与△DEB相似，求直线FB的解析式．【答案】（1）3，（2，）；（2）y1=；y2=x；y3=;y4=【解析】试题分析：（1）根据B的坐标，以及四边形ABCO为矩形，确定出BC中点D坐标，代入反比例解析式求出k的值；根据E在反比例图象上，且B与E横坐标相同，确定出E坐标即可；（2）分类讨论，即可确定出直线FB解析式．试题解析：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，∴BC∥x轴，BA∥y轴，∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线y=上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2当点F在点C的下方时，若△FBC∽△DEB，则即：∴FC=∴OF=3-=∴点F1的坐标为（0，）设直线F1B的解析式y1=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线F1B的解析式y1=若△FBC∽△EDB，则即：∴FC=3∴OF=3-3=0∴点F2的坐标为（0，0）设直线F2B的解析式y2=mx（k≠0）则2m=3，解得：m=，∴直线F2B的解析式y2=x当点F在点C上方时，同理可得：y3=;y4=综上所述，直线FB的解析式有4种可能，分别是：y1=；y2=x；y3=;y4=考点：反比例函数综合题．39．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）M（﹣2，3）；（3）P（18，﹣）或P（﹣18，）．【解析】试题分析：（1）求得C点坐标是求出反比例函数解析式的关键．由四边形ABCD为正方形，可知BC=AB=3，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），所以C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y=得出k值，即可求得反比例函数解析式；然后把C（3，﹣2），A（0，1）代入y=ax+b中求得a，b值，再代回解析式即可；（2）把反比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组求解，即可得出M点坐标；（3）先求出正方形ABCD的面积，再用P点横坐标表示出三角形OAP的面积，即可求出P点坐标．试题解析：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB=1+2=3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y=得k=3×（﹣2）=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣，因为A，C点都在y=ax+b上，所以把C（3，﹣2），A（0，1）代入y=ax+b中得：3a+b=-2，b=1两个式子组成二元一次方程组，解得a=-1，b=1．，∴一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）因为M，C点是两个函数的交点，所以解方程组，得：或，∴M点的坐标为（﹣2，3）；（3）先求出正方形ABCD的面积，正方形ABCD的面积等于3×3=9．再用P点横坐标表示出三角形OAP的面积，设P点横坐标为x，因为OA=1，所以S△OAP=1×|x|×=9，解得x=±18，分别代入y=﹣，得y1=-，y2=，于是P点坐标为P（18，﹣）或P（﹣18，）．考点：1．确定反比例函数与一次函数解析式；2．求反比例函数与一次函数交点坐标；3．三角形，正方形面积计算．40．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-6，0），C（6，0）；（2）k=16．（3）（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，-2-4）．【解析】试题分析：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，求出两根即可得到点A，C的坐标；（2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，由∠BAC=45°可知AE=BE，设BE=x，用勾股定理可得CE=，根据AE+CE=OA+OC，解方程求出BE，再由AE-OA=OE，即可求出点B的坐标，然后求出k的值；（3）分类讨论，根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标．试题解析：（1）解一元二次方程x2-12x+36=0，解得：x1=x2=6，∴OA=OC=6，∴A（-6，0），C（6，0）；（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，∵∠BAC=45°，∴AE=BE，设BE=x，∵BC=4，∴CE=，∵AE+CE=OA+OC，∴x+=12，整理得：x2-12x+32=0，解得：x1=4（不合题意舍去），x2=8∴BE=8，OE=8-6=2，∴B（2，8），把B（2，8）代入y=，得k=16．（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即解得：OP=2或OP=6∴P（0，2）或P（0，6）；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，解得：OP=4+2或OP=4-2（不合题意舍去），∴P（0，4+2）；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=-4+2或-4-2，则P点坐标为（0，-2-4）或（0，-4+2）（不合题意舍去）．∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，-2-4）．考点：相似形综合题．41．（12分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数（）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）DE∥AC，理由见试题解析；（3）D（0.96，5）．【解析】试题分析：（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值；（2）连接AC，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=，得到，从而得到结论．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，易得，△B′CD∽△EFB′，由对称性求出B′E、B′D的表达式，得到，得到B′F=，在Rt△B′CD中，得到CB′=，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，，求出x值，即可得到D点坐标．试题解析：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k=2×2=4；（2）DE∥AC，理由如下：连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=，，，，∴，∴DE∥AC；（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=，AE=，作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE==，∴CB′=OC﹣OB′=，在Rt△B′CD中，CB′=，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，，，解这个方程得，（舍去），，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．考点：1．反比例函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．压轴题．42．（本小题满分8分）如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线ｙ＝经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE＝．（1）求双曲线的解析式；（2）求点F的坐标；（3）连接EF、DC，求证：EF∥DC．【答案】（1）ｙ＝；（2）（，）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，先用待定系数法求出反比例函数及一次函数的解析式是解答此题的关键．（1）根据图象信息和已知条件可求得k的值，即可求得双曲线的解析式；（2）设直线OB的解析式为ｙ＝ａｘ，由直线ｙ＝ａｘ经过点A（2，1）,可求得a的值，就得到直线的解析式，把已知条件CE＝，代入双曲线解析式得到点Ｅ的坐标，进而求得点B的坐标，点F的纵坐标与点B的坐标相同，代入双曲线的解析式，即可得到点F的坐标；（3）连接EF、CD，由B、E、F的坐标可求出C、D两点的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、BD、BE、BC的长度，根据=，即可得出EF∥CD．试题解析：（1）∵双曲线ｙ＝经过点A（2，1）,∴1＝,∴ｋ＝2．∴双曲线的解析式为ｙ＝．（2）设直线OB的解析式为ｙ＝ａｘ，∵直线ｙ＝ａｘ经过点A（2，1）,∴ａ＝，∴直线的解析式为ｙ＝ｘ，∵CE＝，代入双曲线解析式得到点Ｅ（3，），∴点B的横坐标为3,代入直线解析式，得到点B的坐标为（3，）．∴点F的纵坐标为,代入双曲线的解析式，得到点F的坐标为（，）．（3）连接EF、CD，∵B的坐标为（3，），E的坐标为（3，），F的坐标为（，）；∴C点坐标为（3，0），D点坐标为（0，），∴BF==，BD==3,BE==，BC==，∴==，==,∴=，∴EF∥CD．考点：反比例函数与正比例函数的交点．43．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式是y=；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．【解析】试题分析：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．试题解析：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标（2，2）代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得：OP×AM=4，∵AM=2，∴OP=4，∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．44．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）、点D（3，n）．过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式；（3）求：△OCD的面积．【答案】（1）m=6，n=2（2）y=﹣2x+8（3）16【解析】试题分析：（1）将点C（1，6）代入y=求出m的值，再根据函数解析式求出n的值；（2）根据C、D的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）根据S五边形EOFDC=S四边形EGDC+S四边形GOFD，求出五边形的面积，再根据反比例函数的几何意义，求出S三角形EOC=S三角形DOF=3，相减即可得到△OCD的面积．试题解析：解：（1）将C（1，6）代入，m=1×6=6，则函数解析式为y=，将D（3，n）代入y=得，n==2，故m=6，n=2．（2）设AB的解析式为y=kx+b，将C（1，6）、D（3，2）分别代入解析式得，，解得，则函数解析式为y=﹣2x+8．（3）如图：作DG⊥y轴，垂足为G，S五边形EOFDC=S四边形EGDC+S四边形GOFD=3×2+（3+1）×（6﹣2）=6+16=22．根据反比例函数k的几何意义，S三角形EOC=S三角形DOF=3，∴S△OCD=22﹣3﹣3=16．考点：反比例函数与一次函数的交点问题45．（本小题10分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA，请问DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）DE∥AC，理由见解析；（3）D（0．96，5）．【解析】试题分析：（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可得k值；（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，可得，即可得DE∥AC；（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，由对称性可求得B’E，B’F的表达式，可得，解得B′F=，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，即可得x的值，从而得到D的坐标．试题解析：解：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k=2×2=4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，∴，∴∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解这个方程得，x1=1．5（舍去），x2=0．96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0．96，5）．考点：反比例函数综合题．46．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）【答案】（1）反比例函数表达式为：y=，一次函数的表达式为：y=2x+4；（2）B（﹣3，﹣2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）．【解析】试题分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；（2）求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．试题解析：（1）过点A作AD⊥x轴于D，∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），∴AD=6，CD=n+2，∵tan∠ACO=2，∴=2，解得：n=1，经检验n=1为原方程解；故A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函数表达式为：y=，又∵点A、C在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y=2x+4；（2）由得：=2x+4，解得：x=1或x=﹣3，∵A（1，6），∴B（﹣3，﹣2）；（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，即点E与点D重合，此时E1（1，0）；②当EA⊥AC时，此时△ADE∽△CDA，则，DE==12，又∵D的坐标为（1，0），∴E2（13，0）．综上所述，E1（1，0），E2（13，0）．考点：反比例函数综合题．47．（10分）如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2）B（﹣2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的函数关系式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△OB1C1，当α为多少度时OC1⊥AB，并求此时线段AB1的长．【答案】（1）y=x+2，y=；（2）∠ACO=30°；（3）AB1=2．【解析】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度数．（3）过点B1作B1G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC1=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB1=α=60°，解直角三角形求得B1的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB1的长．试题解析：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（0，2），B（﹣2，0）代入得：，解得：，故直线AB解析式为y=x+2，将D（1，a）代入直线AB解析式得：a=3，则D（1，3），将D坐标代入y=中，得：m=3，则反比例解析式为y=；（2）联立两函数解析式得：，解得：或，则C坐标为（﹣3，﹣），过点C作CH⊥x轴于点H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，tan∠COH=，∠COH=30°，在Rt△AOB中，tan∠ABO=，∠ABO=60°，∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°；（3）过点B1作B1G⊥x轴于点G，∵∠ABO=60°，∠COH=30°，∴∠OCB=30°，∵OC1⊥AB，∴∠COC1=60°，∴α=60°．∴∠BOB1=60°，∵OB1=OB=2，∴OG=1，B1G=，∴B1（﹣1，），∴AB1==2．考点：反比例函数与一次函数的综合题．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线经过点B.（1）求a的值及双曲线的解析式；（2）经过点B的直线与双曲线的另一个交点为点C，且△ABC的面积为.①求直线BC的解析式；②过点B作BD∥x轴交直线于点D，点P是直线BC上的一个动点.若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】（1）（2）①.②（-1，-2）或.【解析】试题分析：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到解得a=2，则A（2，-）），再确定点B的坐标为（2，1），然后把B点坐标代入中求出m的值即可得到反比例函数的解析式；（2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图5.，根据三角形面积公式得到解得CE=3，点C的横坐标为-1.∵点C在双曲线上，则点C的坐标为（-1，-2），再利用待定系数法求直线BC的解析式；②先确定D（-1，1），根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为45°，而BD∥x轴，于是得到∠DBC=45°，根据正方形的判定方法，只有△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若∠BPD=90°，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时P（，-）；若∠BDP=90°，利用PD∥y轴，易得此时P（-1，-2）．试题解析：（1）∵点A在直线上，∴.∴.…………1分∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，∴点B的坐标为（2,1）.∵双曲线经过点B（2,1），∴，即.∴反比例函数的解析式为.（2）①过点C作CE⊥AB于点E，如图.∴.∴CE=3.∴点C的横坐标为-1.∵点C在双曲线上，∴点C的坐标为（-1，-2）.设直线BC的解析式为，则解得∴直线BC的解析式为.②（-1，-2）或.考点：反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法．49．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．【答案】(1)2；（2）反比例函数解析式为y=，n=；（3）【解析】试题分析：（1）根据点E的纵坐标判断出OA=4，再根据tan∠BOA=即可求出AB的长度；（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；（3）先利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度．试题解析：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），∵点D为OB的中点，∴点D（2，1）∴=1，解得k=2，∴反比例函数解析式为y=，又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，∴，解得n=；（3）如图，设点F（a，2），∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴=2，解得a=1，∴CF=1，连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2-t）2+12，解得t=，∴OG=t=．考点：反比例函数综合题．50．直线y=x+b与双曲线y=交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B．（1）直接写出b=，m=；（2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为；（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣4，5；（2）x＜﹣1或0＜x＜5；（3）D的坐标是（6，0）或（20，0）．【解析】试题分析：（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式，即可得b、m的值；（2）根据图象可得，不等式x+b＜的解集为反比例函数的图象在一次函数的图象上方时对应x的取值；（3）已知y=x﹣4，可求得B的坐标是（0，﹣4），C的坐标是（4，0），易得∠ABD=45°，∠ABO=∠BCE=135°，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况，第一种情况，当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；第二种情况当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD=x﹣4，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得当或时，△AOB与△BDC相似，根据相似三角形的对应边的比相等代入数据即可求得x的值，也就得到点D的坐标．试题解析：解：（1）把A（﹣1，﹣5）代入y=x+b得：﹣5=﹣1+b，解得：b=﹣4．把A（﹣1，﹣5）代入y=，得：m=（﹣1）（﹣5）=5．故答案是：﹣4，5；（2）解集为：x＜﹣1或0＜x＜5，故答案是：x＜﹣1或0＜x＜5；（3）OA==，在y=x﹣4中，令x=0，解得y=﹣4，则B的坐标是（0，﹣4）．令y=0，解得：x=4，则C的坐标是（4，0）．故OB=4，AB==，BC=4，OC=4．∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．过A作AD⊥y轴于点D．则△ABD是等腰直角△，∠ABD=45°，∠ABO=135°．1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似；2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD=x﹣4，∠ABO=∠BCD=135°，当△AOB∽△DBC时，，即，解得：x=6，则D的坐标是（6，0）；当△AOB∽△BDC时，，即，解得：x=20，则D的坐标是（20，0）．则D的坐标是（6，0）或（20，0）．考点：反比例函数综合题．51．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．（2）求△BOC的面积．（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．【答案】（1）反比例函数为y=，一次函数的解析式为：y=x+2；（2）2；（3）P（-3，0）或P（-1，0）．【解析】试题分析：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，求出BD=2，根据tan∠BOC=求出OD=4，得出B的坐标，把B的坐标代入y=即可求出反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式；（2）求出CO=2，根据三角形面积公式求出即可；（3）设P点的坐标为P（a，0）根据S△PAC=S△BOC得出PC×4=2，求出PC即可．试题解析：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，∵B的坐标为（n，-2