信号与系统2008第1章1讲2

古时候：欲传递的消息→以光和声的形式（形成了光信号和声信号）互相传递十九世纪以后：开始利用电信号传递消息转换器转换器发射机接收机信道待发消息输入信号输出信号接收消息一般通信系统的组成:信号:

用于描述和记录消息的某种随时间、空间变化的物理量。信号的分类

确定信号与随机信号周期信号与非周期信号连续时间信号与离散时间信号能量信号与功率信号对连续时间信号与离散时间信号的总结：信号时间连续时间信号（定义域连续）离散时间信号（定义域离散）幅值模拟信号（幅值连续）幅值离散的信号幅值抽样信号（幅值连续）数字信号（幅值离散）能量信号：0<E<+，P=0功率信号：0<P<+，E+不满足，非能量非功率信号（1.2—1）（1.2—2）§1.3信号的基函数表示法1．信号是时间的函数，它的最一般的表示法是借用某个抽象的数学符号，如f(t),x(t),e(t)等加以表示。2．为了便于信号分析，常把复杂信号分解为一些基本信号的线性组合。

3．经研究证实，将信号f(t)分解为一组基本

时间函数的线性组合，在数学上是比较方便的。这些基本的时间函数，简称为基函数。

设所选定的基函数为0(t),1(t),…,N(t)，其中N可以是无限大，任意信号f(t)可以表示为这组基函数的线性组合：n=0,±1,±2…(1.3—1)4．要表示一个具体的信号（函数）f(t)，就变成了如何选择最佳的基函数n(t),和确定相应的系数an的问题了。5.系数的终结性：

我们可以单独确定任何指定的系数，而不需要知道其他的系数。6．数学上已经证明，为了得到系数的终结性，在表示式成立的时间区间内，要求基函数集n(t),是正交函数集。§1.4正交函数信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似一、正交矢量：定义：如果两个矢量和相互垂直，则称和为正交矢量。设在平面上，两个矢量和夹角为，在上的投影为1Ar其误差矢量为：1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：221212cosAAAAcq=v若用来近似表示，则表达式为：2112AcAErrr-=222112AAAcvv.=2、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢量的平方最小：C12标志着两个矢量相互接近的程度。二、正交函数：设在时间区间（t1，t2）内，两函数f1(t)，f2(t)。用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来表示f1(t)。即：xy这个概念可推广到n维空间。平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。设误差函数为：为使f1(t)和f2(t)达到最佳近似，用均方误差：令可得：当c12为0时，表示两个函数正交。c12为f1(t)与f2(t)的相关系数。由此，给出正交函数的定义：正交函数的定义：

1、在[t1,t2]区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)，若满足条件：则函数f1(t)与f2(t)为区间[t1,t2]上的正交函数

2、若f1(t)与f2(t)是复变函数，则f1(t)与f2(t)在[t1,t2]区间上正交的条件是：三、正交函数集：定义：在[t1,t2]区间上定义的n个非零实函数集g1(t),g2(t),…,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、gj(t)均满足：其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集任意一个函数f(t)在区间[t1,t2]内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,…,cn：令则：四、完备正交函数集在区间[t1,t2]内，用正交函数集g1(t),g2(t),...,gn(t)，来近似表示函数f(t)，其方均误差为：若

则称此函数集为完备正交函数集。

所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。常用的完备正交函数集:1、三角函数集：函数1，cost,cos2t,…,cosnt,...,sint,sin2t,…,sinnt,…,当所取函数有无限多个时，在区间[t0，t0+T]内组成完备正交函数集。其中T=2/2、复指数函数集：函数集ejnt,n=0,±1,±2,…,是一个复变函数集，在区间[t0，t0+T]内是完备正交函数集。课堂练习：书后习题1-4、1-51-4解：根据两函数正交的条件：所以是正交函数集1-5解：根据两函数正交的条件：1.5基本信号及其时域特性基本信号：所谓基本信号，是指工程实际与理论研究中经常用到的信号。这些函数的波形和时间函数表达式都十分简洁。

本节先介绍几种常用的连续信号，再介绍奇异函数。用这些信号可以组成一些复杂波形的信号一、表示常用信号的连续函数正弦函数指数函数抽样函数钟形脉冲函数（高斯函数）二、奇异信号1、单位斜坡函数2、单位阶跃函数3、单位冲激函数(t)4、单位冲激偶'(t)一、表示常用信号的连续函数正弦函数f(t)AT式中A、、分别为正弦信号的振幅、角频率、初相位无时限信号正弦信号的性质：周期信号，T=2/对它进行微分或积分运算后，仍是同频率的正弦函数返回指数函数其中A，a均为常数a=0f(t)a>0a<0t0A指数函数的性质：对指数函数的微分或积分，仍是指数函数形式返回抽样函数Sa(t)102-2-抽样函数的性质：为偶函数，且在t=，2，3…时，函数值为0t的正负两方向，函数值逐渐衰减Sa(t)102-2-返回钟形脉冲函数（高斯函数）0tf(t)E是单调下降的偶函数钟形脉冲的性质：

以上是表示常用信号的连续函数，还有一类基本信号，本身有简单的数学形式，但其本身、或其导数、或其积分有不连续点。即奇异信号返回二、奇异信号定义：奇异信号是一类特殊的连续时间信号，其函数本身有不连续点（跳变点），或其函数的导数与积分有不连续点。

常见的奇异信号：单位斜坡函数，单位阶跃函数，和单位冲激函数等。

它们是从实际信号中抽象出来的理想化了的信号，在信号与系统分析中占有很重要的地位。返回1、单位斜坡函数R(t)11t1t0tR(t-t0)

定义：从t=0开始，随后具有单位斜率的时间函数。它的导数在t=0处不连续。如果将起始点移至t0，则返回2、单位阶跃函数定义：零时刻前，函数值为0，随后值为1。在t=0处未定义。有些书中将t=0处定义为1/2。10u(t)t10u(t-t0)tt0若跳变点移至t0，则单位阶跃函数的特性：单位阶跃函数的积分是单位斜坡函数单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数单位阶跃函数的接入特性：

在实际应用中，常用单位阶跃信号与某函数的乘积来表示信号的接入特性信号在t0时刻接入：sintu(t)0tsin（t)u(t-t0)tt00门函数——单位阶跃函数的派生函数：10u(t)tt0u(t)与-u(t-t0)叠加，得到矩形脉冲门函数与任意函数相乘，在外为0，在内为f(t)10G(t)tt0符号函数——单位阶跃函数的派生函数：202u(t)t10sgn(t)t在此，符号函数在跳变点也不予定义。有些书中规定sgn(0)=0返回3、单位冲激函数(t)冲激函数是对于作用时间极短，而相应物理量强度极大的物理过程的理想描述。例如物体在受到短时冲击力F的作用，如果冲量Ft为常数，当t趋于0时，冲击力F趋于无穷大。

以这样一类现象为背景，抽象出“单位冲激函数”或称“函数”，用它来描述上述物理现象。单位冲激函数可视为幅度与脉宽的乘积（矩形的面积）为1个单位的矩形脉冲。

当趋于0时，脉冲的幅度趋于无穷大。

冲激函数定义：矩形脉冲演变为冲激函数tG(t)0t0(1)(t)0因此，(t)为狄拉克（Dirac）定义满足狄拉克条件：t0(1)(t)

图中(1)表示强度为1，或称所围面积为1，而不是指幅值为1。

定义中没有给出t=0时刻的函数值，可见它不是通常意义下的函数，称为“广义函数”。

函数有多种定义方法，其中根据广义函数的定义，是严格的数学定义。t0(1)(t-t0)t0若冲激点在t=t0处，则定义式为：单位冲激函数的特性：单位冲激函数的积分是单位阶跃函数由定义知当t<0时当t>0时所以函数的积分为：所以，u(t)与函数的关系为或u(t)在t=0处是不连续的，按经典的函数可微性来判断，上式是无法理解的。广义函数把经典的函数微分及其概念加以推广，使函数及