反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析

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在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一.探求同一坐标系下的图象例1.已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（）A. B. C. D.图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二.探求函数解析式例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。解析：因为双曲线过点A（1，2），所以得双曲线的解析式为。因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。因为过点A（1，2）和B（2，0），所以解得所以直线的解析式为评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三.探求三角形面积例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（）A.8 B.6 C.4 D.2解析：把代入，得整理得解得把分别代入，得所以点A的坐标为点B的坐标为由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（）。因为，所以的面积为故应选A。例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（）A.2 B. C. D.析解：把代入，得，整理得，解得得分别代入得又点A在第一象限内，所以点A的坐标为在中由勾股定理，得所以OB=2。所以的面积为，故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四.探求点的坐标例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。析解：在中，令，则；令，则。所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。因为点P的直线上，不妨设点P的坐标为所以。又因为所以整理得即解得因为点P在第一象限，所以。故点P的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例6已知关于x的一次函数y＝mx＋3n和反比例函数的图象都经过点(1，－2)．求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标．解析：(1)∵两函数图象都过点(1，－2)，∴一次函数的解析式为y＝4x－6，(2)根据题意，列出方程组评注：(1，－2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析式组成方程组求解．例例已知一次函数＝－＋和反比例函数＝≠．7yx6y(k0)kx(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断∠AOB是锐角还是钝角？消去y，得x2－6x＋k＝0．∵Δ＝36－4k＞0，∴k＜9．当k＜9且k≠0时，方程x2－6x＋k＝0有两个不相等的非零实数解．∴k＜9且k≠0时，两函数图象有两个公共点．(2)∵y＝－x＋6的图象过第一，二，四象限，∴0＜k＜9时，双曲线两支分别在第一、三象限．由此知两公共点A，B在第一象限，此时∠AOB是锐角．k＜0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B分别在第二、四象限，此时∠AOB是钝角．例例已知，是直线与双曲线＝的交点．8A(m2)ly3x(1)求m的值；(2)若直线l分别与x轴、y轴相交于E，F两点，并且Rt△OEF(O是坐标原点)的外心为点A，试确定直线l的解析式；l绕点A旋转后所得的直线记为l′，若l′与y轴的正半轴相交于点C，若存在，请求出点P的坐标？若不存在，请说明理由．解析解析：∵直线与双曲线＝的一个交点为，，yA(m2)l3x(2)作AM⊥x轴于M．∵A点是Rt△OEF的外心，∴EA＝FA．由AM∥y轴有OM＝ME．∴OF＝2OM．∵MA＝2，∴OF＝4．∴F点的坐标为(0，4)．设l：y＝kx＋b，则有∴C点坐标为(0，1)．设B点坐标为(x1，y1，)，则x1y1＝3．设P点坐标为(0，y)，满足S△PCA＝S△BOK．①当点P在C点上方时，y＞1，有∴y＝3．②当点P在C点下方时，y＜1，有∴y＝－2．综上知，在y轴存在点P(0，3)与(0，－2)，使得S△PAC＝S△BOK．评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式．(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标．(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定．例例如图－，已知，是双曲线＝在第一象限内的分支91332CDymx上的两点，直线CD分别交x轴，y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结OC，OD．析式．证明：(1)如图13－33过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1．∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG＋OG，解(2)：在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝α，解