第讲 数学：概率与数理统计三新

一维随机变量的分布和数字特征随机变量是概率统计中重要的基本概念。随机事件可以通过随机变量X表示，随机事件的概率一般形如P（a<Xb)，P（a<X<b)，…，其中-ab＋。如果一个变量依试验结果的改变而取不同的实数值，那么称这个变量为（一维）随机变量。随机变量分布的含义是“随机变量取值的统计规律”。常用的形式有概率分布表，概率密度函数与分布函数。随机变量数字特征的含义是“用某些实数来反映随机变量分布的主要特征”。常用的形式有（数学）期望与方差。离散型随机变量的概率分布表离散型随机变量X只可能取有限个或一串值，假定记作x1,,x2，…，xk，…。X的概率分布（表）为其中=1,pk=P（X=xk）>0,k=1,2，…。由上述概率分布表可以计算概率其中I是实数轴上的一个集合。连续型随机变量的概率密度函数连续型随机变量X的概率密度函数p（x)必须满足由上述概率密度函数可以计算概率对任意一个实数x0，P（X=xo）=0随机变量的分布函数1．定义随机变量X的分布函数F（x）定义为2．性质3．设X为连续型随机变量，概率密度函数为p（x）（1)F（x）是连续函数；（2）在p（x）的连续点处，F'（x)=p（x);随机变量的期望沈随机变需量贱X铁请的期望反涉映侧了学X艇内的平均取粉值，记容作赤E遗趟（仰X苹掠）。近1则秤．定季义泄件嫩当维X易坏为离散型敞随机变量办时，奉当曾X滩广为连续型佩随机变量榴时，奖2君勇．性质蔽（抬1)欧E偷（享c)撤=c链,窗其焰中见c循是常数；福（插2)重E丹（疏kX)饲=k惠E投捕（披X)茧寸，其叠中善k扎是常数；步（医3)闲E扎培（堪X+攀c)踩=E奖径（逮x)还裁＋臭c貌，其启中焰c惭是常数岸；升冤（认4)单E霜中（饶kX慰+瓦l缠y+滔c)术=kE枪霞（蹄X)老+狠l松E渐盾（草Y)亿皆＋四c.却3敌稀．随机变丙量函数的邮期望永设破Y=既f择译（肾X)捎集，烂当兵X趁番为离散型啄随机变量丰时，认当垫X仍揭为连续型皂随机变量烟时，毫随机变量叫的方差田随机变觉量旦X均肉的方差反宝映选了民有X萄取值的波爬动程度，骑记跌作巨D惰呜（吵X狮笛）。席1酿夏．定搁义厨D萄口（疮X)纸=E翼[X沟毕一娇E图尤（界x)炉]沾2穷,京罚称州为剧X堵松的标准差屈2红劈．计算公壶式拌。叔D闷变（徒X)扁=E塘绵（拉X爪2文渗）一餐［谨E僵昼（辽X)求]倾2品宜。右3盛富．性质威（打1)管D穷杂（陪c)=摔0去退，其宿中付c耗是常数初；嫂骗（龟2)剩怜D勉（愉kX)=驳k捞2忍D往仿（吊X)帆,逮其霞中撑k更是常备数晋;灶（畅3)市D茧（督X+c)翠=D梦联（完X),僵并其验中户c腰是常数；馒（裤4)垫间当蔬X状崇与言Y寿劝相互独立运时浪，狂D进滩（沫kX争+北l井Y岸＋作c炎）芦=k还2灯D棋灯（厌X)辅+蜡l骡2鼓D贵潮（耻Y壤赖）。辟常用随机房变量的分茄布和数字垫特征记1冷叶．二点分仗布（或伯牺努利分布恰），参数耐为浓p,它0<充p<蠢1祖味，它的概毅率分布为答且眨E肿赏（溜X)曾=p叠,D该承（笛X)键=p畜循（梯1-季p斥栏）。臭2袖课．二项分致布，参数弱为昼n仙、违p,明0<欠p<进1伞唉。它的概历率分布为畏且予E喷巧（归X)渠=n纤p,到D们扬（鲜X)呜元＝裁np狠情（绘1悼藏一各p谊阳）。隐3月汽．泊松分薪布，参数肚为贼，伤＞鹿0泳溪。它的概记率分布为踩且吊E曾奖（巧X)截=D准锋（脸X)价唯＝践。之4逝角．均匀分骄布，参数偏为绘a输晕、度b,貌a<欧b粒丝。它的概杜率密度函刑数为酬且仍E盾宋（骡X)箭=畜（语a猪丢＋赴b歉）胃,D兴所（招X)朵=观（竟b蜓–呈a)尘2刻.贸5臭村．指数分南布，参数晃为赢，医＞像0拼提。它的概仅率密度函锹数为至且按E卡覆（雾X)险=族，一贵福，撞D谎泳（巨X)岛=蜘.孩6秧肚．正态分销布站N奥匙（夫,哥)忽仗，参数为闲,谜，潜-随＜抹x冻＜十畅，狮＞判0抬紧。它的概占率密度函子数为撤且场E工截（抗X)梁霸＝萄，匀D忆驴（附X)党码＝守。霸赴删（八）正踩态分布的料概率计迁算辽访1奏维．麦当顷X蝴N椒继（字0,司1画纽）时伐，贴P啄谜（数a<格X思b)零染