极坐标及参数方程知识点总结

第一局部：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1•平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（*,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换甲:x'=X・x,（X>0）y'『•弘s>0）的作用下，点PG,y）对应到点P（xf,y'）,称中为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. "庄二极坐标系的概念（1） 极坐标系 :如图（1）所示，在平面取一个定点O,叫做极点，自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.（2） 极坐标设M是平面一点，极点0与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为P;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角ZxOM叫做点M的极角，记为0.有序数对（P,。）叫做点M的极坐标，记作M（P,。）.一般地，不作特殊说明时，我们认为P20,0可取任意实数.特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0,9）6eR）。和直角坐标不同，平面一个点的极坐标有无数种表示.如果规定P>0,0<0<2兀，则除极点外，平面的点可用唯一的极坐标（P,极坐标（P,0）表示；同时，极坐标（P,0）表示的点也是唯一确定的.极坐标和直角坐标的互化（1） 互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，*轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取一样的长度单位，如图（2）所示：（2） 互化公式：设M是坐标平面任意一点，它的直角坐标是侦y），极坐标是（P,0）6〉0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标（x,y）极坐标（P,0）互化公式[x=Pcos0[y=Psin0P2=x2+y2tan0=—（x。0）x在一般情况下，由tan0确定角时，可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆(3二p=r(0<0<2兀)圆心为（r,0），半径为r的圆03%1~?p=2r(—E〈习V2 2)（兀）圆心为Vr，-J，半径为r的圆p=2rsin0G<0〈兀)过极点，倾斜角为a的直线(1)0=a(peR)或0=k+a(peR)0=a(p>0)或0=k+a(p>0)过点（fl,。），与极轴垂直的直线pcos0=fl(—E〈习V2 2)WO)・r（兀）过点fl，—，与极轴平行的直线-psin0=o(><0<n)注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（p,^）（p,2兀+。）（—p,兀+。）Qp，—兀+0）都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程p=0少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程p=0占M

八、、(4'4J可以表示为(兀(兀5兀、■, I44)rx=f（t）的函数1y=gQ）①，并且对... …（兀兀）_等多种形式，其中，只有M-，丁的极坐标满足方程V44p=0.二、参数方程参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x,y）都是*个变数t于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数侦y)的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数G,y)中的一个与参数t的关系，例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，则,X=g(t)就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使(x,y)的取值围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，则所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3•圆的参数如下图设圆O的半径为r点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动设M(x,y)，fx=rcos0(土g)则Iy=rsin/为参数’。这就是圆心在原点0，半径为r的圆的参数方程’其中°的几何意义是0M0转过的角度。圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x-a)2+(y-b)2=r2fx=a+rcos0 )它的参数方程为："=b+rsin/为参数'。4•椭圆的参数方程以坐标原点o为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为三2+二=1G>b>0)其参数方程为a2b2x=acos甲(山*来八y=bsinp^参数)’其中参数中称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是L+三-=1(a>b>0)其参数方程为」 . G为参数)其中参数甲仍为离心角，通常规定参数甲的a2 b2 [y=asin甲注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角*区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外〔即在0到2兀的围〕，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0—*—时，相应地也有0—p—，在其他象限类似。5•双曲线的参数方程

以坐标原点°为中心，焦点在^轴上的双曲线的标准议程为a2—壬=1G>°,〜>°）其参数方程为X aSeC"（p为参数），其中中e[°,2兀）且中^—,中^竺。y=btan甲 八 2 2y2xy2x2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是a^一丘=1（a>°,b>°）其参数方程为X=bCOt气为参数）y=acscp，其中pe（°.2—）且"丰—以上参数P都是双曲线上任意一点的离心角。6•抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2=2px（p>°）的参数方程为X=2Pt2（为参数）y=2pt7•直线的参数方程的直线l的普通方程是y一y=tana（x一x）而过M（x,y），° ° ° ° °倾斜角为a的直线l的参数方程为〈X X°*:*（为参数）。Iy=y+1sinai°注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M°（x°,y°），倾斜角为a的直线l的参数方程为二":;艾’为参数），其中t表示直线1上以定点M°为起点，任一点认，y）为终点的有向线段°M°M的数量，当点M在M°上方时，t〉0;当点M在M°下方时，t<0;当点M与M°重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M°为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度一样。【要点名师透析】一、坐标系〔一〕平面直角坐标系中的伸缩变换Ix/=3x〖例〗在同一平面直角坐标系中，伸缩变换P:〈°〔2y/=y/1〔1〕求点A-,—2经过p变换所得的点V3 ）〔2〕点B〔2〕点B经过p变换得到点，求点B的坐标；〔3〕求直线1：'=6*经过中变换后所得到直线的"方程；C:*2-21=1 ,〔4〕求双曲线 64 经过中变换后所得到曲线C的焦点坐标。〔二〕极坐标与直角坐标的互化A（2,彳）,B（2件）〖例2〗在极坐标系中，如果4 4为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标（P>0,0<0<2兀）〔三〕求曲线的极坐标方程〖例〗P，Q分别在ZAOB的两边OA，OB上,ZAOB=；，〃POQ的面积为8,求PQ中点M的极坐标方程。〔四〕极坐标的应用〖例〗如图，点A在直线*=4上移动，0OPA为等腰直角三角形，0OPA的顶角为ZOPA〔O，P，A依次按顺时针方向排列〕，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。二、参数方程〔一〕把参数方程化为普通方程a=-4h-cos£, =8cos3,〖例〗曲线C】：『 〔t为参数〕，C"：L" 〔”为参数〕。〔1〕化Ci，C'的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；〔2〕假设C】上的点P对应的参数为t=；〔2〕假设C】上的点P对应的参数为参数〕距离的最小值。〔二〕椭圆参数方程的应用土+/=1在平面直角坐标系中，点是椭圆' 上的一个动点，求£ 的最大值解答：作倾斜角为我的直线与曲线芬7交于点虬"\pm\-\pn，求〔三〕直线参数方程的应用作倾斜角为我的直线与曲线芬7交于点虬"\pm\-\pn，求的值及相应的做的值。解析：〔四〕圆的参数方程的应用x=2+^2cos〖例〗曲线C的参数方程是y=sm& 为参数），且曲线C与直线"杨=0〖例〗曲线C的参数方程是〔1〕求曲线C的普通方程；〔2〕求弦AB的垂直平分线的方程〔3〕求弦AB的长【感悟高考真题】丸•在极坐标系中，点〔2，3〕到圆P=2c0S°的圆心的距离为（）〔A〕2 （B）33 （C）E〔D）、3•在极坐标系中，圆P=—2sin°的圆心的极坐标是〔〕（1二） （1-1）〔A〕（，2） 〔B〕（12）©顷皿〕（1霁）[x=cosa3•在直角坐标系炒中，曲线q的参数方程为[’=1+sina,（口为参数）.在极坐标系〔与直角坐标系炒有一样的长度单位，且以原点O为极点，以*轴正半轴为极轴〕中，曲线C2的方程为p（cos°-sin°）+1=0,则。卢。2的交点个数为x=2cosa〈一一,.C… .V=V3sina（a为参数） 4•直角坐标系*Oy中，曲线1的参数方程为' * 在极坐标系〔与直角坐标系*Oy取一样的长度单位，且以原点O为极点，以*轴正半轴为极轴〕中，曲线C2的方程为p（cos°-sin°）+1=0,则。卢。2的交点个数为—5.〔1〕〔坐标系与参数方程选做题〕假设曲线的极坐标方程为P=2sin°+4cos°，以极点为原点，极轴为*轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.6•[2011-高考理科・T15C〕直角坐标系X°°中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点Px=3+cos°A，B分别在曲线q：〔V4+sin°〔。为参数〕和曲线£:P】上，则人’'的最小值为.7•〔坐标系与参数方程选做题〕直角坐标系X°y中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，Px=3+cos°设点A，B分别在曲线^"1-Vsin°〔°为参数〕和曲线£:P1上，则IA''的最小值为 •8.〔2011.**高考理科.T11〕.抛物线C的参数方程为\X=匕2〔*为参数〕假设斜率为1的直线经过抛物[V=&x42v2r2（r0）线C的焦点，且与圆_ = >相切，则r=.

<'"^cos0(0<O<K)厂442(t6R)9.〔坐标系与参数方程选做题〕两曲线参数方程分别为〔>=sin0 和〔yn ，它们的交点坐标为.|x=x/3c0S°C(a为参数)10〔2〕在直角坐标系*Oy中，直线1的方程为*-y+4=0，曲线C的参数方程为<y=Sin° .〔I〕在极坐标系〔与直角坐标系*Oy取一样的长度单位，且以原点O为极点，以*轴正半轴为极轴〕中，点P的匚兀)极坐标为匚兀)极坐标为4,3V27，判断点P与直线l位置关系；〔II〕设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.x=5cos中<选修4-4:坐标系与参数方程〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系x°y中，求过椭圆〔y=S'n中'x=4-2t<一① y=3—t〔为参数〕的右焦点，且与直线I 〔'为参数〕平行的直线的普通方程。[x=2cos°[2011-新课标全国高考理科・T23〕在直角坐标系*Oy中，曲线C1的参数方程为1y=2+卷^°〔°为参数〕M是C1上的动点，P点满足0P=20M外点的轨迹为曲线C2(I)求C2的方程oM(H)在以O为极点，*轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2AB\的异于极点的交点为B，求'.13.〔2011・新课标全国高考文科・T23〕在直角坐标系*Oy中，曲线C1的参数方程为x=2cos°S[y=+sm°〔°为参数〕m是C1上的动点，P点满足0P=20M,P点的轨迹为曲线C2(I)求C2的方程0=土(H)在以O为极点，*轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2ABI的异于极点的交点为B，求'1.x=cos中,、/分褊S (中为参数)„ y=x=cos中,、/分褊S (中为参数)„ y=sin①, —曲线C1的参数方程为 ，曲线C2的参数方程为，x=acos甲， 、『—、,,，<=bin (a>》>0，中为参数)〔ysin”， .在以O为极点，*轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l:。二a与

C1，C2各有一个交点•当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=2时，这两个交点重合•〔I〕分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；n n〔II〕设当口=4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=-4时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积•x——1—t! 15.极坐标p—cos0和参数方程〔J—+1〔t为参数〕所表示的图形分别是〔D〕A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线•极坐标方程〔p-1〕〔0一丸〕=〔p-0]表示的图形是〔A〕两个圆 〔B〕两条直线〔C〕一个圆和一条射线 〔D〕一条直线和一条射线•在极坐标系〔p，O〕〔0W0<2n〕中，曲线p=2sin0与PC0S0——1的交点的极坐标为18•P为半圆18•P为半圆C:x—cos0

j—sin0〔0为参数，0-0-K〕上的点，点A的坐标为〔1,0〕，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧站*的长度均为—。〔I〕以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；〔II〕求直线AM的参数方程。【考点模拟演练】一、选择题TOC\o"1-5"\h\z•极坐标平面的点pE，一5^，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为（ ）（n）,厂、（n）,厂、（2n）,厂、（2n）, 厂、A."2,耳，（1,廿3）B."2,一耳，（1,—43）C."2，p，（-1，寸3）D."2，—p，（-1，一寸3）•在平面直角坐标系*Oy中，点P的直角坐标为（1，—仍）•假设以原点O为极点，*轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（ ）（ n）（4n）（n）（4n）A.I1，-"F"，*"，-刁•在直角坐标系*Oy中，点C（-3，一寸3），假设以O为极点，*轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标（p，O）（p>0，一n<O<0）可写为•TOC\o"1-5"\h\z•过点^，于）平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A•pcos0=4B・psinO=4C・psinO=妫•pcosO=\./2答案：C*=1-~•曲线的参数方程是] t （t是参数，tN0），它的普通方程是（ ）、y=1—t2**-2 * 1A•（*-1）2（y-1）=1B•y=~]_*_c•y=1一*2+1D•y=~]_*~-1n.•直线pcosO=2关于直线。=4对称的直线方程为（ ）A・pcos0=—2B・psinO=2C・psinO=—2D•p=2sin0L1也*=—1—Ct2TOC\o"1-5"\h\z•直线l的参数方程为 广 （t为参数），则直线l的斜率为（ ）L=2+*t2 2A•1B——1C.；