2022-2023学年浙江省金华市金东区重点学校高一（下）期中数学试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年浙江省金华市金东区重点学校高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知a=(2,−1),A.−2 B.2 C.−122.设复数z=−1−i(i为虚数单位A.5 B.5 C.10 3.已知△ABC中，a：b：c=1：3：2，则A：BA.1：2：3 B.2：3：1 C.1：3：2 D.3：1：24.直径为6cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cmA.3 B.6 C.9 D.275.若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是(

)A.若α//m，β//m，那么α//β B.若m//α，n⊂α，那么m//6.如图，为了测量某湿地A，B两点之间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC=67.5°，从C点测得∠ACD=45°，∠BCE=75A.6 B.3 C.227.在△ABC中，点D，E满足BD=DC,AE=2A.25

B.23

C.4258.如图，单位圆O中，OA,OB是两个给定的夹角为120°的向量，P为单位圆上一动点，设OP=mOA+nO

A.2 B.22 C.4 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是A.若A>B，一定有sinA>sinB

B.若a2+b2−10.已知直线a与b异面，则(

)A.存在无数个平面与a，b都平行

B.存在唯一的平面a，使a，b与α都相交

C.存在唯一的平面α，使a⊂α，且b//α

D.存在平面α，β，使11.已知向量a=(2,1)A.(a+b)//a

B.向量a在向量b上的投影向量为−12b

C.a12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−bA.△ABC周长为5+7 B.C=π3

C.△三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(2,1)14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bco15.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，F分别是A1B1

16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于2π3时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为2π3.已知点P为△ABC的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若co四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图ABCD是直角梯形，以上底边C18.(本小题12.0分)

已知复数z1=1−2i，z2=4+3i．

(1)求z1z19.(本小题12.0分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=20.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Aa=cosA⋅cosB+2cos2C21.(本小题12.0分)

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，

求证：22.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=3cos

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：a=(2,−1),b=(x,1)，且a/2.【答案】C

【解析】解：∵z=−1−i，

∴2−z=3+i，3.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了解三角的问题．属于基础题．

根据三边的比令a=1，b=3，c=2，进而可知c2=a2+b2，根据勾股定理推断出C=90°，进而根据a=12c推断出A=30°，进而求得B，则三个角的比可求．

【解答】

解：令a=1，b=34.【答案】D

【解析】解：由于大金属球的直径为6cm，故半径为3cm，

所以V大球=43⋅π⋅33=36π，

同理小金属球的直径为2cm，故半径为15.【答案】D

【解析】解：m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，

对于A，若α//m，β//m，那么α与β相交或平行，故A错误；

对于B，若m//α，n⊂α，那么m与n平行或异面，故B错误；

对于C，若m//n，n//α，那么m//α或m⊂α，故C错误；

对于D，若α//β，m⊂α，那么由面面平行的性质得m//β，故D正确．

6.【答案】B

【解析】解：在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，DC=23，

则∠DAC=180°−45°−67.5°=67.5°，AC=DC=23，

在△BCE中，∠BC7.【答案】C

【解析】解：因为P在AD上，故AP//AD，所以存在唯一实数λ，使得AP=λAD，又BD=DC，故D为BC的中点，

所以AD=12AB+12AC，所以AP=λ2AB+λ2AC；同理存在μ，使得BP=μBE，

又AP=A8.【答案】C

【解析】解：建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120°,sin120°)，即B(−12,32).

设∠AOP=α，则OP=(cosα,sinα)．

∵OP=mOA+nOB=(m,9.【答案】AB【解析】解：对A选项，∵A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，∴A选项正确；

对B选项，∵a2+b2−c2<0，∴cosC<0，∴C为钝角，∴B选项正确；

对C选项，∵sinA=sin10.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，可取不在两条异面直线上的点A，过点A分别作与两条异面直线平行的相交直线，可得一个平面与两条异面直线都平行，

由此可以作无数个与该平面平行的平面，满足同时与直线a，b都平行，A正确；

对于B，存在无数个平面a，使a，b与α都相交，B错误；

对于C，过直线a上任意一点，作一条直线b′，使b′与b平行，由直线a与b′唯一确定的平面，满足a⊂α，且b//α，C正确；

对于D，过直线a上任意一点，作一条直线b′，使b′与b平行，由直线a与b′可以唯一确定的平面α，

反之，过直线b上任意一点，作一条直线a′，使a′与a平行，由直线b与a′11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与命题真假判断问题，考查了计算与推理能力，属于中档题．

根据平面向量的坐标表示与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A，向量a=(2,1)，b=(−3,1)，

所以a+b=(−1,2)，且−1×1−2×2=−5≠0，

所以a+b与a不平行，A错误；

对于B，向量a在向量b上的投影向量为

12.【答案】BC【解析】解：现有△ABC满足sinA：sinB：sinc=2：3：7，

所以a：b：c=2：3：7，

设a=2t，b=3t，c=7t，

利用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab=4t2+9t2−7t212t2=12，

由于C∈(0,π)，

所以C=π3.故B13.【答案】5【解析】解：∵a=(2,1),b=(3,4)，14.【答案】π3【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题．

根据正弦定理和两角和的正弦公式计算即可．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，

由正弦定理可得，2c

15.【答案】710【解析】解：直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，D，F分别是A1B1和A1C1的中点，

连接DF，取BC的中点E，连接EF，EA，所以异面直线BD和AF所成角就是∠EFA，16.【答案】6

【解析】解：∵cosA=2sin(C−π6)cosB，

∴cosA=2(32sinC−12cosC)cosB，即cosA=3sinC17.【答案】解：由题意知该几何体是一个底面半径为3，高为AB=6的圆柱，

挖去一个同底，但高为3的圆锥，

∴S表=S圆柱表−【解析】由题知该几何体是一个底面半径为3，高为AB=6的圆柱，挖去一个同底，但高为3的圆锥，再求几何体的体积和表面积得解．18.【答案】解：(1)复数z1=1−2i，z2=4+3i，

则z1z2=(1−2i)(4+3i)=10−5i；

(2)3【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解；

(2)先求出复数3z119.【答案】解：(1)由题意AE=2EB，则AE=23AB，

所以DE=AE−AD=2【解析】(1)根据向量的线性运算即可求得答案；

(2)20.【答案】解：(1)由题意及正弦定理可得sin2AsinA=cosAcosB+2cos2CsinB，

整理可得sinAsinB−cosAcosB=2cos2C，

即−cos(A+B)=2cos2C，在三角形中，cos(A+B)=−cosC【解析】(1)由正弦定理及两角和的余弦公式可得−cos(A+B)=2cos2C，再由三角形中角的关系，可得C角的余弦值，可得C角的大小；

21.【答案】证明：(1)∵正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，

∴连结AC、BD，交于点N，

∴由三角形中位线定理得：MN