一文搞定函数概念性质基初函数等涉及的58种考查视角详解

专题一函数的概念及其表示

题型一求函数的定义域及已知函数的定义域求参数

1.求具体函数夕=/)的定义域

2.求抽象函数的定义域一般有两种情况：

①已知>=危)的定义域是/,求y=/(g(x))的定义域，可由g(x)G/求出x的范围，即为y=Ag(x))的定义域;

②已知y=/(g(x))的定义域是求y=/(x)的定义域，可由xGN求出g(x)的范围，即为y=/(x)的定义域.

3.几种常见函数的定义域

(1)火刈为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合.

(2)火刈为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合.

(3次对为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若人》)=/,则定义域为{x|#0}.

(5)指数函数的底数大于0且不等于1.

TC

(6)正切函x的/£义域为<xx丰k兀+3,keZ>.

【例1】已知函数7(x)的定义域是[―1,1],则函数二:的定义域是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]

【解析】由函数外)的定义域为[-1,1],得一1WE1,

令一lg2x—1W1,解得0弓烂1,

又由1—x>0且1一对1,解得且#0,

所以函数g(£)的定义域为(0，1),故选B.

【例2】函数^=书书等3的定义域为()

A.(-1,3]B.(-1,0)U(0,3]C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]

—^+2%+3>0,

【解析】要使函数有意义，x需满足<x+1>0,解得——<0或0<x<3,

/+屏1,

所以函数的定义域为(-1,0)U(0,3].故选B.

【例3】若函数/(x)=Wn/+mx+l的定义域为实数集,则实数机的取值范围是.

【解析】函数定义域为Rom^+mx+lK)对VxGR恒成立，

当m=0时，/(x)=1,满足条件；

m>0,

当”?翔时，有=>0<w<4.

4/w<0

综合可知，所求机的取值范围为[0,4].

【例4】若函数尸赤』的定义域为R'

则实数a的取值范围是()

C.0,1D.0,£)

B.

<7>0,1

【解析】由〃/一4ax+2>0恒成立，得”=0或,,“、2、八解得

A—(—4a)2—4x“x2V0,2

题型二求函数的解析式

求函数解析式的4种方法

⑴配凑法：由已知条件;(ga))=/=v),可将尸a)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),得人尤)的表

达式.

(2)换元法：已知复合函数/(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(3)待定系数法：若己知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(4)解方程组法：已知关于/(x)与或・/(—x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程

组，通过解方程组求出外).

【例1】已知二次函数兀2苫+1）=4/—6工+5,求/（X）;

【解法一】待定系数法

因为y（x）是二次函数，所以设外）=4r+版+仅存0）,

则y（2x+l）="（2x+l/+b（2x+l）+c=4»2+（4a+26）x+a+b+c.

4a=4,a=l,

因为./(2X+1)=4X2-6X+5,所以《4。+26=—6,解得《人=-5，所以_/(x)=/—5x+9(xeR).

o+b+c=5.<=9,

【解法二】换元法

t—1

令2x+1=（f£R）,则x=—另一t

t-]

所以火。=4-6—+5=/2-5z+9(/eR),

所以<x)=/-5x+9(xCR).

【解法三】配凑法

因为./(2x+1)=4X2—6X+5=(2X+—10x+4=(2x+l)2-5(2x+1)+9,

所以人X)=X2—5X+9(XGR).

【例2】已知函数<也+l)=x+2也，则/(x)的解析式为

【解法一】换元法

设片也+1,则X=(LI)?,t>\,

代入原式有火。na-iy+ZQ—Dur-Zr+l+Zf—Zn/211.

故/(x)=f—1,X>1.

【解法二】配凑法

因为x-\-2-\[x=(yfx)2-\-2yfx+1—1=(正+I)2-1)

所以/(五+1)=(也+1)2—1,^+1>1,即40=/—1,X>1.

题型三分段函数求值问题

根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路，先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的

解析式求值，当出现加。））的形式时，应从内到外依次求值.

log2X,X>0,则门/Q))的值是(

【例1】已知函数於)=1.)

,3X+1,烂0,

9

A.而B.1c.fD.2

-2

【解析】由题意可得了[;1=log21=-2,所以/(/(：))=^-2)=3+l=y.

6xx^*2

{…’则/(2)=

【解析】/(2)=八4-2)=6-4=2.

仪2_2\(x<0)，

【例3】(2020•南昌一模)设函数加)=,,二一,"则45)的值为()

\j\X3),(x>0)t

A.—7B.—1C.0D.不

【解析"(5)=A5_3)=/(2)=/(2_3)=/(T)=(_])2_2-0.故选D.

题型四已知分段函数的函数值，求参数的值

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程.然后求出相应自变量的值，切记要

代入检验.

—[(元>2)

【例1】设函数危)=；'；二若/(加)=3,则实数机的值为.

10g2X,(0<x<2),

【解析】当吟2时，由m2—1=3,得用2=4,解得机=2；

当0<加<2时，由log2〃?=3,解得加=23=8(舍去).

综上所述，m=2.

(1—2〃)x+3a,X<1,

【例2】己知函数外)=的值域为R,则实数。的取值范围是__________.

2*,x>l

(1—2a)x+3a,x<1,

【解析】当后1时，/)=21“因为函数/(x)=L「,的值域为R,所以当Ml时，(1-

2，x>\

“一2〃>0,1

2〃)-x+3a必须取遍(-8,1)内的所有实数，贝IJ,解得0%号

题型五与分段函数有关的方程'不等式问题

分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路，依据不同范围的不同段分类讨论求解,

最后将讨论结果并起来.

【例1】（2020・安庆二模）已知函数｛"'〈O’若实数。满足大。）=大。-1）,则/，]=（）

12x,x>0.）

A.2B.4C.6D.8

【解析】由题意得a>0.当时，由加）=加-1）,GP2a=y[a,解得a=：,则（口=/（4）=8,当生1

时，由大。）=/（。一1）,得2〃=2（4—1）,不成立.故选D.

[10g2（x+1）,X>1,

【例2】（2020•皖南八校联考）已知函数/）=则满足/（2x+l）q（3x—2）的实数x的取值

U，%<1,

范围是（）

A.（-00,0]B.（3,+oo）C.[1,3）D.（0,1）

10g2（x+1）,X>1,

【解法一】由於）="[可得当X<1时，/）=1,

当迂1时,函数兀0在口,+8）上单调递增，且,D=]og22=l,

2x+l<3x—2,

要使得犬2》+1）勺（3x—2）,则、\,解得x>3,即不等式｛2》+1）勺（3》-2）的解集为（3,+oo）,

故选B.

【解法二】当xNl时，函数人力在口，+8）上单调递增，且犬x）比1）=1,

2x+l>L[2x+l<l,

要使./（2x+l）饮3x-2）成立，需—或_解得>3

_2.xIl〈3x2[3x2>1,

故选B.

巩固提升

1.（2020•洛阳一中月考）函数人对=由岛的定义域为（）

fillI1f

B.(--,0|U(0,+oo)

A.C.,+8D.[0,+oo)

2

[2x+l>0,i

【解析】由题意得解得一尹〈。或x>。.‘选2

2.下列所给图象是函数图象的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解析】①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象;

②中当x=xo时，y的值有两个，因此不是函数图象；

③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.故选B.

"x—3

定'x>°'

3.已知函数兀t)=<则加0))=

4,x=0,

、2x+1,x<0,

4—311

【解析】/(0)=4,<4)=了短=不，/(/(0))=不

4.(2020・吉安模拟)已知/(3%-1)=2%—5,且47)=6,则a等于.

17

【解析】令£=呼一1,则牛=2f+2,y(f)=2(2f+2)—5=4/—1,则4a—1=6,解得a=不

fsin(7rx2),—l<x<0,

5.函数段)=「[满足<1)+火0=2,则。的所有可能取值为()

[e*,x>0

A.1或一^-B.一^"C.1D.1或坐

【解析】因为/(l)=e—=1且/(l)+/(a)=2,所以/(a)=l,

当一时，/(a)=sin(7/)=l,因为。〈/〈匕所以。〈兀/〈兀，所以兀42=^=〃=一半

当近0时，/⑷=e"「=1=4=1.

故。=一坐或1.

6.(2020•惠州一调)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是()

I----1x+1

A.y^yjx-1B.y=lnxC.D.

【解析】对于A,定义域为[1,+oo),值域为[0,+oo),不满足题意；

对于B,定义域为(0,+oo),值域为R,不满足题意；

对于C,定义域为(-8,0)U(0,+oo),值域为(-8,-l)U(0,+oo),不满足题意；

x+17

对于D,j^=—[-=1+—,定义域为(一8,1)U(1,+oo),值域也是(一8,1)U(1,+oo).

7.已知函数v=/(2x—l)的定义域是[0,1],则函数用等*-的定义域是()

「11

A.[1,2]B.(-1,1]C.-2>0D.(-1,0)

【解析】由｛2x-l)的定义域是[0,1],得0EE1,故一IMx-lWl,所以函数人x)的定义域是[-1,1],

-l<2x+l<L

所以要使函数有意义,需满足卜+1>0,解得一l<x<0,选D

l广Og2(X宁+1)

x+1#1,

8.设函数/(X)满足/(；"±)=l+x,则兀0的表达式为()

221——1一一

AB2D

-T+x-l+xC.1+x2'

【解析】令M=f，则x=M，代入《三)1—t22

=l+x,得/w=i+丁，7=丁7，即yw=]+x•故选A.

9.设函数/：R-R满足/(0)=1,且对任意x,yWR都有/(xy+l)=/(x)/(y)-/(y)—x+2,则/(2019)=()

A.0B.1C.2019D.2020

【解析】令x=y=0,则川)=/(0)/(0)-/(0)-0+2=1><1-1-0+2=2,

令y=0,则./u)=/ay(o)―/(o)—x+2,

将/(0)=1,{1)=2代入，可得/(x)=l+x,

所以人2019)=2020,选D

x,x>0,

10.设於)，时)都是定义在实数集上的函数，定义函数(/：g)(x)：VxER,(fg)(x)=f(g(x)),若小尸，

x,x<0

ev,x<0,

g(X)=则()

Inx,x>0,

A.(/7)(x)=Xx)B.(f-g)(x)=/(x)c.(gy)(x)=g(x)D.(g-g)(x)=g(x)

[/'(x),f(x)>0,

【解析】对于A，(/7)(x)=/(/(x))=t

\j(x),j(x)<0»

当x>0时，y(x)=x>0,(/7)(x)=/(x)=x；

当x〈0时，於)=/>0,07)(x)=/(x)=x2；

当X=0时，(/y)(x)=/2(x)=o=()2,

因此对任意的XGR,有(/7)(x)=/(x),故A正确

11.(2020•河南郑州二检)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名

字命名的“高斯函数”为设xGR,用田表示不超过x的最大整数，则夕=田称为高斯函数.例如：

2*+3

—3,[3.1]=3,已知函数兀0=5口万，则函数y=[/(x)]的值域为()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

【解析】危尸21后+3=2^v+7l+F2=1+岳2，

I22

因为2》>0,所以1+2〉，所以0vw〈l,则0yn<2,所以1<1+不=<3,即1郎)<3,

2十12十12十1八

当1勺(x)v2时，[/(%)]=1.当2卯)<3时，[Ax)]=2.

综上，函数产=区切的值域为{1,2},故选D.

12.已知函数彳2+1]=[gx,则/(x)=.

【解析】令§+1=/,得x=7^7，则./W=1g7^7,又所以>1,故/(X)的解析式是y(x)=lg-ir(x>l).

兀1111X1

13.若二次函数g(x)满足g(l)=l,g(—1)=5,且图象过原点，则g(x)=

【解析】设g(x)=or2+bx+c(4#)),

a+h+c=\,k=3,

因为g(D=l，g(T)=5,且图象过原点，所以上一6+c=5,解得上=-2,所以g(x)=3f—2x.

、c=0,1c=0,

14.具有性质的函数，我们称为满足"倒负”变换的函数，给出下列函数：①/(x)=x—%颔c)

(x,0<x<l,

=x+4③Ax)=10'x=l'其中满足"倒负”变换的函数是()

X1

-7，x>\.

A.①③B.②③C.@@③D.①②

【解析】对于①，.(g)=:-x=一/(x),满足题意；

对于②,+x=Hx),不满足题意;

综上可知，满足"倒负”变换的函数是①③.

故选A.

15.若函数尸二£"+3的定义域为R>则实数a的取值范围是.

【解析】因为函数夕=“笠；2“\+3的定义域为定

所以加+2办+3=0无实数解，

即函数u—ax2+2ax+3的图象与x轴无交点.

当。=0时，函数”=3的图象与x轴无交点；

当"0时，则/=(2a)2—4-3〃<0,解得0<。<3.

综上所述，。的取值范围是[0,3).

2'x>0

16.已知函数段)=:[二若火〃)+/(1)=0,则实数。的值等于______

x+1,烂0,

【解析】因为｛1)=2,且次1)+加7)=0,所以处0=—2<0,故处0.

依题知。+1=—2,解得〃=-3.

(1-2。)x+3a,x<1,

17.已知函数段)=(,的值域为R,则实数〃的取值范围是

Inx,x>l

【解析】由题意知歹=lnx(xNl)的值域为[0,+oo),

故要使仆)的值域为R,则必有y=(l—2a)x+3〃为增函数，且1—2〃+3介0,

所以1—2々>0,且近一1,解得一l为〈g.

Inx,x>l,

18.设函数人工)=则加0))=_________，若火〃7)>1，则实数机的取值范围是

1—X,1

【解析】•烦0))=火1)=1口1=0；如图所示，

[inx,x>l,

可得以)=L।的图象与直线歹=1的交点分别为(0，1),(e,1).

[1—x,x<l

若;(机)>1,则实数机的取值范围是(一8,0)U(e,+oo).

[2x+a,x<1,

19.已知实数存0,函数/(x)=.,若/(I—4)=/U+a),则。的值为

Lx-2a,x>l.

【解析】当。>0时，1一

这时/(I—a)=2(l—〃)+〃=2—a,/(l+a)=—(1+〃)-2a=-1—3〃.

3.

由/(I—〃)=火1+〃)得2—a=-1—3〃，解得Q=-]V0,不合题意，舍去；

当〃V0n寸，1—

这时火1一4)=一(1一4)-2。=一1一扇{l+a)=2(l+a)+a=2+3a,

,3

由火1-a)=/(l+a),得一1-4=2+3〃，解得a=一不

3

综上可知，。的值为一本

x+1,x<0,

20.设函数八)=，则满足的X的取值范围是.

2,，x>0,

【解析】当x>0时，&)=2*>1恒成立，

当x—；>0,即时，/卜一g)=2x—3>匕当％—金0，即0<烂;时，.(x-；)=x+/>B，

则不等式,/(工)+/[1一3]>1恒成立.当x4)时、=x+1+x+|=2r+1>l,所以一；〈烂0.

综上所述，x的取值范围是[一；,+8).

\x—1,x>0,

21.已知加)=/T,gaL,—x,x<o,

(1)求/(g(2))与g(/(2))；(2)求德(x))与g(/(x))的表达式.

【解析】(1)由已知条件可得鼠2)=1,/(2)=3,因此负鼠2))=/(1)=0,颁2))=以3)=2.

(2)当x>0时，g(x)=x—1,故/(g(x))=(x-])2-]三/一左；当X<0时，g(x)=2­x,故ycg(x))=(2—x)2—1

x2—2x,x>0,

=*—4x+3.所以./(g(x))=,当x>l或x<—1时，./(x)>0,故g(/(x))=火x)—1=/—2；

x2—4x+3,x<0.

x2-2>x>lg!tr<—1,

当一1<X<1时，/)<0,故g(/(x))=2-/(x)=3-x2.所以g(/(x))=

3~x2,­1<x<1.

22.已知函数/(X)=X2+/MX+〃(,〃，HGR),,/(0)=/(l),且方程x=/(x)有两个相等的实数根.

(1)求函数")的解析式；(2)当xC[0,3]时，求函数兀。的值域.

【解析】(1)因为人x)=『+机x+〃，且/(0)=<1),所以〃=1+机+〃，m=-l,J(x)=x2-x+n.

因为方程x=/(x)有两个相等的实数根，所以方程x=¥—x+〃有两个相等的实数根，

即方程有两个相等的实数根，所以/=(—2)2—4〃=0,所以〃=1,所以/)=/—x+L

(2)由(1)知/(x)=/-x+l.此函数的图象是开口向上，对称轴为x=T的抛物线，

所以当x=T时，加)有最小值而/[)=(3>_；+1=//(0)=1,/(3)=32-3+1=7,

所以当xd[0,3]时，函数八劝的值域是-,7

专题二函数的单调性与最值

题型一确定函数的单调性

1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法

(1)定义法：一般步骤：①任取XI，X2G。，且为〃2；②作差③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断小|)一兀山的正负)；⑤下结论(即指出函数人外在给定的区间D上的单调性)..

(2)图象法：如果/(X)是以图象形式给出的，或者/(X)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性.

(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性.

2.熟记函数单调性的常用结论

(1)对勾函数夕=x+*a>0)的增区间为(一8,—g］和［g,+oo),减区间为［-W，0)和(0,\［a］.

(2)在区间。上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

(3)函数/(g(x))的单调性与函数y=/(“)，"=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.

(4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.

(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

【例1】(2020•华南师范大学附属中学月考)函数负x)=ln(x2-2x—8)的单调递增区间是()

A.(-oo,—2)B.(—oo,1)

C.(1,+oo)D.(4,+8)

【解析】由¥—2%—8>0,得x>4或xv—2.设t=x2—2x-8,则y=lm为增函数.

要求函数外)的单调递增区间，即求函数f=f-2》-8在定义域内的单调递增区间.

•.•函数，=/—2x—8在(-8,—2)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，

.•.函数40的单调递增区间为(4,+oo).

【例2】函数y=［x2+x—6的单调递增区间为,单调递减区间为

【解析】令"uf+x—6,

则y=、f+x-6可以看作是由y=g与u—^+x—6复合而成的函数.

令”=/+丫一620,得烂一3或应2.

易知6在(一8,—3］上是减函数，在［2,+oo)上是增函数，

而夕=如在［0,+8)上是增函数，

所以了=、/+》-6的单调递减区间为(一00,-3］,单调递增区间为［2,+s).

【例3】判断并证明函数加）=为（存0）在（-1,1）上的单调性.

【解法一】设一

x-1+l1

/（X）=O

x—1工一1

\L1Ifl1）a（―一X1）

/（%）-/（々）=1+口卜［+=（制—1）（.―1）'

由于一1<X\<X2<1,

所以％2一%1>0，X\—1<0,工2一1<0，

故当。>0时，,危］）一段2）>0，

即欢）>加2），

函数外）在（一1,1）上单调递减；

当a<0时，"］）一/（X2）VO，即/^。〈人刈），

函数人x）在（一1,1）上单调递增.

■ed・。（X-1）一一。

【解法二】/（x）=-（L1）2=（x—1）2'

所以当a>0时，/（x）<0,当a<0时，/（x）>0,

即当“>0时，/）在（一1,1）上为单调递减函数，

当a<0时，/（X）在（一1,1）上为单调递增函数.

题型二求函数的最值（值域）

求函数的最值（值域）的常用方法

（1）单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值.

（2）换元法：求形如丁=位4+（0'+0（。今0）的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换

元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解.

（3）数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显（如距离、斜率等）或函数图象易作出，可用数

形结合法求函数的值域或最值

（4）有界性法：利用代数式的有界性（如—沙，&0,2>0,-1）吹1等）确定函数的值域.

exd

（5）分离常数法：形如求y=-^；仅存0）的函数的值域或最值常用分离常数法求解。

ICZ

2"-2020

【例1】函数人幻=丁丁的值域为.

【解法一】危尸四一2叽2亡+1)-2022港

因为出>0,所以所以0<4哈"<2022,

“十1

2022

所以-2020V2一/+产2,

故函数/(x)的值域为(一2020,2).

—・，2/-2020

【解法二】令尸危)=/+］，

得y"+y=2a'—2020,

什…歹+2020

所以&-2）炉=-y—2020,4=一

,v+20203

由<?>0得彳二y〈0，故一2020Vy<2,

所以函数/(幻=美等”的值域为(一2020,2).

a,a<b,

【例2】对于任意实数〃，b,定义min{q,b}=,设函数/(x)=—x+3,g(x)=log2X,则函数/?(x)=

D9a>>b.

min{/(%),g(x)}的最大值是.

【解法一】在同一直角坐标系中，作出函数/(x),孤)的图象,

依题意，〃(》)的图象如图所示.

易知点力(2,1)为图象的最高点，

因此〃(x)的最大值为4(2)=1.

10g2X，0<x<2,

【解法二】依题意，h(x)=\,

~x-r，x>2.

当0V烂2时，〃(x)=log冰是增函数,

当x>2时，力(X)=3—x是减函数，

所以力(X)在x=2处取得最大值/;(2)=1.

题型三函数单调性的应用

考查视角一比较大小

比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

【例1】已知定义在R上的函数.危)满足八-x)=/(x),且函数兀v)在(-8,0)上是减函数，若a=/(—1),b

=y^log—J>c=y(20'3),则a,b,c的大小关系为(

2)

A.c<b<aB.a<c<b

C.b<c<aD.a<b<c

【解析】：函数)(x)满足_/(一x)="r),

.•.C=X20-3)=/(-20-3).

O3

/.-1>-2->-2,即一1>一2。3>lOg21.

•.•函数段)在(一00,0)上是减函数，.\/(一1)<八一2a3)</yjlog2；),即a<c<b.

考查视角二解函数不等式

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号脱掉，使其转化为具体的不等式求

解.此时应特别注意函数的定义域.

【例2】已知函数兀0=：二'、八若/(2—'2)>/)，则实数X的取值范围是()

In(x+1),x>0,

A.(—oo,—1)U(2,+co)B.(—oo,—2)U(1,+oo)

C.(-1,2)D.(-2,1)

【解析】因为当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数外)的图象是一条连续的曲线.

因为当烂0时，函数/(x)=x3为增函数，

当x>0时，Hx)=ln(x+1)也是增函数，

所以函数段)是定义在R上的增函数.

因此，不等式/(2-/)》(力等价于2-P>x,

即/+工一2<0,解得一2<xvl.

考查视角三根据函数的单调性求参数

视参数为己知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.

【例3】(2020•南京调研)己知函数道x)=x-£+m在(1，+s)上是增函数，则实数。的取值范围是

【解法一】设1<X]VX2，所以工次2>1.

因为函数人X)在(1,+oo)上是增函数，

所以/（X1）—/（X2）=X1->X2~aa

一+—=（%1-X21+-----<0

2X\X2)

因为％]一工2<0,所以1+T^7>0,即a>—XIM.

X]X2

因为lVXl〈X2，XiX2>l>所以一工1工2<—I，所以介一I.

所以a的取值范围是[—I,+oo).

【解法二】由yw=x—£+捐/a)=i+*

由题意得I+£之0。>I),可得。工一%2,当x£(l,+s)时，一fV—I.

所以。的取值范围是[—1,+8).

巩固提升

1.(2020•河南鹤壁月考)若函数y="x与y=一§在(0,+<»)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+co)上是()

A.增函数B.减函数

C.先增后减D.先减后增

【解析】•.》="与卜=一§在(0,+8)上都是减函数，

a<0,b<0,，y=ax2+Z>x的对称轴方程x=—5<(),；.y=加+乐在(0,+℃)上为减函数.

6.函数.危)=2以一“1+3在区间[1,+8)上不单调，则a的取值范围是()

A.[1,+oo)B.(L+oo)

C.(-oo,1)D.(—oo,1]

【解析】函数｛x)=2|x—a|+3的增区间为[a,+oo),减区间为(一8,a],

若函数兀r)=2|x—a|+3在区间口,+8)上不单调,则a>\

3.已知函数/（x）的图象关于直线x=l对称，当工2>为>1时，咐2）—/（工1）］（工2—》1）<0恒成立，设々=（-51，b

=/2）,c=/（e）,则〃，b,c的大小关系为（）

A.c>a>bB.c>h>a

C.a>c>bD.b>d>c

【解析】因为外）的图象关于直线x=l对称.

所以/1'当X2>X1>1时，

伏无2）—/（乃）］，。2—修）<0恒成立，

知“T）在（1,+8）上单调递减.因为lv2v|ve,

所以人2）刁11-}>/（e）,所以b>a>c.

4.（2020・武汉模拟）若函数外）=2|工一”1+3在区间［1,+◎上不单调，则a的取值范围是（）

A.［1,+oo）B.（1,+00）

C.（-00,1）D.（—8,1］

2x—2。+3,x>a

【解析】函数Xx）=2|x-a|+3=|.

一2工十2。十3,x<a

因为函数/（x）=2|x—a|+3在区间［1,+8）上不单调，所以。>1.

所以。的取值范围是（1,+oo）.故选B.

5.定义在［—2,2］上的函数义X）满足（XI—X2>［/（X|）一/（X2）］>0,X"X2,且/（。2—a）>/（2。-2）,则实数a的取

值范围为（）

A.［-1,2）B.［0,2）

C.［0,1）D.［-1,1）

【解析】因为函数>（X）满足（X|—X2）［/（XI）—/（X2）］>0,

所以函数外）在［-2,2］上单调递增，

所以一2W2Q—2V/一好2,解得0%Vl,故选C.

6.若2，+5飞2)+5-*,则有()

A.x+y>0B.x+y<0

C.x-yWOD.x-y>0

【解析】原不等式可化为2'-55,'，

记函数y(x)=2、-5r,则原不等式可化为~y).

又函数段)在R上单调递增，所以烂一y,即x+yWO.

7.设函数Hx)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()

A.卜=白在R上为减函数

B.y=l/(x)|在R上为增函数

C.歹=2一段)在R上为减函数

D.y=—|/(x)]3在R上为增函数

【解析】A错误，比如/(幻=》在区上为增函数，但夕=看=5在R上不具有单调性；

B错误，比如y(x)=x在R上为增函数，但y=|/(x)|=|x|在(0,+8)上为增函数，在(一8,0)上为减函数;

D错误，比如;(x)=x在R上为增函数，但y=—[/(0]3=-/在R上为减函数；

C正确，由复合函数同增异减，得y=2F*)在R上为减函数.故选C.

8.下列四个函数中，在xd(0,+8)上为增函数的是()

A.J(x)=3~xB.J(X)=X2—3X

C/(x)=-*7D./(x)=—|x|

【解析】当x>0时，/(x)=3—x为减函数；

当时，/(x)=x2—3x为减函数，

当xe停+8)时，｛x)=》2—3x为增函数；

当xG(0,+8)时，")=一由为增函数；

当x£(0,+8)时，(x)=一国为减函数.

9.函数y=|x|(l—x)在区间月上是增函数，那么区间/是()

A.(-co,0)B.0,-C.[0,+oo)

x(1—x)，x>0,'—x2+x,x>0,

【解析】.y=|x|(l-r)=函数V的草图如图所示.

、一x(1~x),x<0x2—x,x<0

由图易知原函数在0,-上单调递增.故选B.

2

10.定义新运算㊉：当色6时，a®b=a；当时,aeb=b2,则函数次x)=(l㊉x)x-(2㊉x),xG[-2,2]

的最大值等于()

A.-1B.1C.6D.12

【解析】由题意知当一29^1时，/(x)=x—2,

当1〈烂2时，40=/-2,

又/(x)=x—2,/(x)=x3—2在相应的定义域内都为增函数，且负1)=-1,/(2)=6,所以Hx)的最大值为6.

11.(2020•贵阳市高三摸底)函数了=二^在(-1,+oo)上单调递增，则a的取值范围是()

A.。=-3B.a<3C.a<—3D.a>-3

■x-5x—a-2+Q—3「f，

【解析】尸ll2-

所以当a—3Vo时，y=._q_2的单调递增区间是(一8,Q+2),(a+2,+co)；

当a—3却时不符合题意.

又3=入_〃_2在(―1，+oo)上单调递增，所以(一1,+8)q(a+2,+00),所以。+2^—1,即好一3,

综上知，a的取值范围是(一8,-3].

12.(2020•河北大名一中月考)下列函数中，满足％x+y)=/U)/e)”的单调递增函数是()

A./)=皮B../)=X3

C.於>=(；)D.段)=3、

【解析】.危)=《，由)=4_Ax+y)=(x+咕不满足以+刃=/3代)，故A错误；

/(x)=x3,加)=艮，y(x+y)=a+y)3,不满足人x+y)=/3)/(y),故B错误；

在R上是单调递减函数，故C错误；

j[x)=y,fiy)=y,Ax+y)=y+y,满足人工+四=%)/①),且大对在R上是单调递增函数，故D正确.

故选D.

1,x>0,

13.设函数/(x)=<0,x=0，g(x)=x%x—1),则函数g(x)的单调递减区间是

、-1,x<0,

X2,x>i,

【解析】由题意知g(x)=<0,x=l，函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)

「X2,X<1.

[(3d—1)x+4〃，x<l,

14.若外)=।是定义在R上的减函数，则。的取值范围是________

[—ax,x>l

1

-

<3

13a-KO,_11

【解析】由题意知，｛(3々-1)xi+4壮一。，解得<1

>---

-883

[a〉。，_

15.函数/(x)=(£j—log2(x+2)在区间［-1,1］上的最大值为.

【解析】由于夕=(1］在R上单调递减,y=k>g2(x+2)在［-1,1］上单调递增，所以外)在［-1,1］上单调递减，

故段)在