2023年高考数学一轮复习课件：第八章立体几何

第八章§8.1空间几何体及其表面积与体积考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述

现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，

能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相

且____多边形互相

且____侧棱___________相交于

但不一定相等延长线交于____侧面形状________________________1.多面体的结构特征平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等，____于底面相交于_____延长线交于____

轴截面全等的_____全等的__________全等的_____________侧面展开图_______________

2.旋转体的结构特征垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为

，z′轴与x′轴和y′轴所在平面

.(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍

，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

，平行于y轴的线段在直观图中长度为

.垂直45°或135°平行于坐标轴不变原来的一半

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝_________4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrlπ(r1＋r2)l5.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝___锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝______台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝_____V＝_____Sh4πR21.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(

)(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.(

)(3)菱形的直观图仍是菱形.(

)(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(

)×√××1.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱√2.已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A.1cm B.2cmC.3cm D.cm√设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为______.设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，1∶47TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1

(2021·全国甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是题型一空间几何体命题点1三视图√根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.例2有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.命题点2直观图命题点3展开图√设圆锥的母线长为l，1.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A.三棱锥

B.三棱柱C.四棱锥

D.四棱柱教师备选√由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.2.(2022·益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为√√设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，思维升华(1)由几何体求三视图，要注意观察的方向，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的基本要求，由三视图推测几何体，可以先利用俯视图推测底面，然后结合正视图、侧视图推测几何体的可能形式.(2)①在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.②S直观图＝

S原图形.跟踪训练1

(1)(2021·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是√方法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为2)的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形(腰长为1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积(2)(2022·中卫模拟)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝

，那么△ABC是一个A.等边三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.钝角三角形√根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系中的图形，如图，则BC＝B′C′＝2，所以△ABC是一个等边三角形.(3)(2022·曲靖模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为√如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，则由题意可得2π×4＝12θ，在△POP′中，OP＝OP′＝12，则小虫爬行的最短路程为例4

(1)(2022·成都调研)如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是√题型二表面积与体积命题点1表面积如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.√∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为_____.教师备选36∴该几何体的表面积为36.思维升华(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.命题点2体积例5

(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为√作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，(2)(2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为___.1如图，由正方体棱长为2，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，(3)(2022·大同模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是A.4立方丈

B.5立方丈C.6立方丈

D.8立方丈√如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形.(2022·佛山模拟)如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，则该几何体的体积为______.教师备选如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，AD＝ACcos30°＝3，BD＝AB－AD＝1，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，该几何体是以AB为直径的半个球中间挖去两个同底的半圆锥，思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2

(1)(2022·武汉质检)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为√如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为

，如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥.圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，所以圆锥的半径为

，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，(2)(2022·天津和平区模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为√如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，又

＝23＝8，KESHIJINGLIAN课时精练1.下列说法不正确的是A.圆柱的每个轴截面都是全等的矩形B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱台的侧面是梯形D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面基础保分练√12345678910111213141516B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行.2.(2022·梧州调研)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为A.2丈4尺

B.2丈5尺C.2丈6尺

D.2丈8尺√1234567891011121314151612345678910111213141516如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为＝26(尺)，即为2丈6尺.3.(2021·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为√1234567891011121314151612345678910111213141516根据三视图可得如图所示的几何体－正三棱锥O－ABC，其侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，4.(2022·兰州模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，筒高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为(单位：cm3)A.23.04－3.92π B.34.56－3.92πC.34.56－3.12π D.23.04－3.12π√12345678910111213141516由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，123456789101112131415165.(2022·商洛模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为12345678910111213141516√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，12345678910111213141516∴D1E＋CE的最小值为D1G，7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为12345678910111213141516√8.(2022·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为

米，则A.正四棱锥的底面边长为4米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24

平方米D.正四棱锥的侧面积为12

平方米12345678910111213141516√如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB，设底面边长为2a.因为∠SHO＝30°，123456789101112131415169.如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为_____.1234567891011121314151612345678910111213141516利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.在Rt△B′D′C′中，10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝_______cm2.123456789101112131415162600π将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形.11.(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是__________cm3.1234567891011121314151612345678910111213141516螺帽的底面正六边形的面积12.(2022·佛山质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SBA为等边三角形，且面积为4

，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________.1234567891011121314151612345678910111213141516又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh＝8；又r2＋h2＝16，13.(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________________________(写出符合要求的一组答案即可.)12345678910111213141516技能提升练图①图②图③图④

图⑤③④(答案不唯一，②⑤也可)根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤.若是③④，则原几何体如图1所示；若是②⑤，则原几何体如图2所示.12345678910111213141516图1

图21234567891011121314151614.(2022·南京模拟)小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图①所示)，并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图②所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则

的值为______.图①

图②∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1，∴设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a，12345678910111213141516l2＝4×4a＋4×2a＝24a，图①图②15.鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为拓展冲刺练12345678910111213141516图1

图2√12345678910111213141516由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2＋2

的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为

，图1

图21234567891011121314151616.(2022·寿光模拟)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的

(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)12345678910111213141516A.沙漏中的细沙体积为

cm3B.沙漏的体积是128πcm3C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约

为2.4cmD.该沙漏的一个沙时大约是1985秒√12345678910111213141516A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，12345678910111213141516C项，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，本课结束第八章培优课§8.2球的切、接问题例1

(1)已知正方体的棱长为a，则它的外接球半径为_______，与它各棱都相切的球的半径为______.题型一特殊几何体的切、接问题(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为______.圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，思维升华(1)正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝

a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝

a.思维升华跟踪训练1

(1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为A.4π

B.8π

C.12π

D.16π√如图所示，设球O的半径为R，由球的体积公式得设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝2cosα，圆柱的高为4sinα，∴圆柱的侧面积为4πcosα×4sinα＝8πsin2α，∴圆柱的侧面积的最大值为8π.(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____.易知AC＝10.设△ABC的内切圆的半径为r，因为2r＝4>3，所以最大球的直径2R＝3，A.2π

B.4π

C.6π

D.8π√题型二补形法由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为____，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为____.6π如图添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，直三棱柱ADF－BCE的体积为如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，连接DO，DO即为球的半径，所以外接球的表面积为4π·DO2＝6π.思维升华补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解.√跟踪训练2

已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，设外接球的半径为R，则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.√题型三定义法例3

(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，延伸探究

本例(1)条件不变，则四面体P－ABC的内切球的半径为________.设四面体P－ABC的内切球半径为r.由本例(1)知，(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为A.12π B.34πC.68π D.126π√如图，由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r，设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，则(2R)2＝PM2＋(2r)2，即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，所以外接球的表面积为4πR2＝68π.思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.跟踪训练3

(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

，底面周长为3，则这个球的体积为_____.设正六棱柱的底面边长为x，高为h，(2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为√如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点E，则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，则PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE⊂平面PAD，可知AB⊥平面PAD，由△PAD为等边三角形，E为AD的中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球的球心.设外接球半径为R，KESHIJINGLIAN课时精练√1234567891011121.正方体的外接球与内切球的表面积之比为123456789101112设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，√123456789101112123456789101112作出圆锥的轴截面如图所示.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R，3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为A.16π B.20πC.24π D.32π√123456789101112123456789101112如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，O1为底面对角线的交点，O为外接球的球心.设正四棱锥外接球的半径为R，则OC＝R，OO1＝3－R，所以外接球的表面积为4π×22＝16π.4.已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为√123456789101112123456789101112如图将棱长为1的正四面体B1－ACD1放入正方体ABCD－A1B1C1D1中，所以正方体的体对角线123456789101112因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，5.(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为A.3π

B.4π

C.9π

D.12π√123456789101112123456789101112如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，123456789101112所以△ACD∽△CBD，因此，这两个圆锥的体积之和为6.(2022·蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：

≈2.45，π≈3.14)A.20cm3

B.22cm3C.26cm3

D.30cm3√123456789101112123456789101112如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1并延长交AC于F，易知O1为△ABC的中心，点F为边AC的中点.123456789101112∵VD－ABC＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－ABD＋VO－ACD√123456789101112123456789101112三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，取BC的中点O1，∴O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图.当OD⊥截面时，截面的面积最小，123456789101112∴截面面积为πr2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].√1234567891011128.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为连接OO1，则OO1⊥平面ABC，1234567891011129.已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的半径是____.123456789101112如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R，则(2R)2＝12＋22＋22＝9，123456789101112123456789101112如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE.因为△ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心.123456789101112因为PD＝1，设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，11.等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5，BC＝6，将它沿高AD翻折，使二面角B－AD－C成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为________.123456789101112123456789101112由题意，设△BCD所在的小圆为O1，半径为r，又因为二面角B－AD－C为60°，即∠BDC＝60°，所以△BCD为边长为3的等边三角形，由正弦定理可得，设外接球的半径为R，且AD＝4，在Rt△ADE中，123456789101112123456789101112设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，123456789101112即直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半径R＝2，本课结束第八章§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.四个公理公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过

的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相

.两点不在一条直线上有且只有一条平行2.空间中直线与直线的位置关系共面直线

直线

直线异面直线：不同在

一个平面内，没有公共点平行相交任何3.空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：

、

、________________三种情况.直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行4.空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有

、

两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

.平行相交相等或互补判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(

)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(

)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.(

)(4)没有公共点的两条直线是异面直线.(

)×√××1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是A.AB与CD是异面直线B.GH与CD相交C.EF∥CDD.EF与AB异面√把展开图还原成正方体，如图所示.还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错.2.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与bA.共面

B.平行C.是异面直线

D.可能平行，也可能是异面直线√α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线.3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，AC＝BD∴AC＝BD.(2)当AC，BD满足条件____________________时，四边形EFGH为正方形.∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，AC＝BD且AC⊥BD∴AC＝BD且AC⊥BD.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1

如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：题型一平面基本性质的应用(1)D，B，F，E四点共面；∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：教师备选(1)E，C，D1，F四点共面；如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E，F分别是AB，AA1的中点，又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，即E，C，D1，F四点共面.(2)CE，D1F，DA三线共点.∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.跟踪训练1

(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是√对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面.(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点PA.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上，也不在直线BD上√如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.例2

(1)下列推断中，错误的是A.若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合√题型二空间位置关系的判断对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是A.直线MN与直线A1B是异面直线B.直线MN与直线DD1相交C.直线MN与直线AC1是异面直线D.直线MN与直线A1C平行√如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误.1.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C.若a，b不同在平面α内，则a与b异面D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面教师备选√2.如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有______.(填序号)②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.跟踪训练2

(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是A.平行

B.异面C.相交或平行

D.平行或异面或相交均有可能√根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交√如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；图1

图2如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.A.三角形

B.四边形C.五边形

D.六边形√题型三空间几何体的切割(截面)问题先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形.(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，

为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为___.延伸探究

将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_____.如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为____.教师备选如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，∴等腰梯形MNDB的高为∴梯形MNDB的面积为思维升华(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.跟踪训练3

(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是√在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图.则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________.在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9

a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，KESHIJINGLIAN课时精练1.给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是A.0

B.1

C.2

D.3基础保分练√1234567891011121314151612345678910111213141516①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误.2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D.若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行√1234567891011121314151612345678910111213141516m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误.3.(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√1234567891011121314151612345678910111213141516空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行.所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立.故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件.4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是√12345678910111213141516设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2a，作点E在平面ABCD内的射影点G，连接EG，GF，12345678910111213141516连接DE，因为E为平面ADD1A1的中心，又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C，又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN与EF异面，故选项B错误.123456789101112131415165.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是A.直线AC

B.直线ABC.直线CD

D.直线BC12345678910111213141516√12345678910111213141516由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6.(2022·厦门模拟)下列说法正确的是A.两组对边分别相等的四边形确定一个平面B.和同一条直线异面的两直线一定共面C.与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D.一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交√1234567891011121314151612345678910111213141516两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；图1图212345678910111213141516如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误.图112345678910111213141516②④12345678910111213141516①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a⊥α，a⊥β可得出α∥β，所以②是真命题；③根据直线与平面的位置关系，可得a与b可以是平行或相交或异面，所以