2023年高考数学一轮复习课件：第五章 §5.1　平面向量的概念及线性运算

第五章§5.1

平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：长度为__的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于________长度的向量.(4)平行向量：方向相同或____的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向_____的向量.(6)相反向量：长度相等且方向_____的向量.方向长度(或模)01个单位相反相同相反向量运算法则(或几何意义)运算律加法

交换律：a＋b＝_______；结合律：(a＋b)＋c＝_________2.向量的线性运算b＋aa＋(b＋c)减法

a－b＝a＋(－b)数乘|λ

a|＝_______，当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝___λ(μ

a)＝_______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_______.b＝λa常用结论常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.(

)(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(

)√××(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(

)√④海拔、温度、角度都不是向量.则所有正确命题的序号是A.①②

B.①③C.②③

D.③④1.给出下列命题：①若a与b都是单位向量，则a＝b；②直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；√①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.√3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1

(1)给出下列命题，正确的有A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同√题型一平面向量的概念C.a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线.(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是√下列命题为假命题的是A.若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B.若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC.两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件教师备选√思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.D.若a＝b，b＝c，则a＝c跟踪训练1

(1)下列命题不正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0√A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；D项，由向量相等的定义知D正确.(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件.例2

(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是______，最小值是___.题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义2023

0当单位向量e1，e2，…，e2023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；当单位向量e1，e2，…，e2023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值为0.例3

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且

＝3，F是AE的中点，则下列关系式不正确的是命题点2向量的线性运算√所以选项A正确；所以选项B正确；所以选项C不正确；所以选项D正确.命题点3根据向量线性运算求参数√如图所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，教师备选√如图所示，∵D为BC的中点，√思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.如图所示，由题意可知√√如图所示，由题意知，例5

设两向量a与b不共线.题型三共线定理及其应用又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.A.2 B.3C.4 D.8教师备选√2.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，

(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________.又a，b为两个不共线的非零向量，思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.√由题意知，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.√因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，因为A，B，D三点共线，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞).KESHIJINGLIAN课时精练根据正六边形的性质，基础保分练√123456789101112131415162.若a，b为非零向量，则“

”是“a，b共线”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√12345678910111213141516A.a∥b

B.a＋b＝aC.a＋b＝b

D.|a＋b|＝|a|＋|b|由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.√123456789101112131415164.(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是A.若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λbB.若a∥b，b∥c，则a∥cC.若a·b＝0，则a＝0或b＝0D.|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|12345678910111213141516√若a∥b，且b＝0，则可有无数个实数λ使得a＝λb，故A错误；若a∥b，b∥c(b≠0)，则a∥c，若b＝0，则a，c不一定平行，故B错误；若a·b＝0，也可以为a⊥b，故C错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确.12345678910111213141516如图所示，√12345678910111213141516B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反D.向量的模是一个正实数√12345678910111213141516B项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C项，向量a与b平行时，若a或b为零向量，不满足条件，故错误；D项，向量的模是一个非负实数，故错误.1234567891011121314151612345678910111213141516√连接AE(图略)，因为F为DE的中点，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且

.下列关系中正确的是1234567891011121314151612345678910111213141516所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b.12345678910111213141516123456789101112131415163如图，设F为BC的中点，12345678910111213141516又G，D，E三点共线，在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516技能提升练直角因为点P是△ABC所在平面内一点，1234567891011121314151612345678910111213141516如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，∵B，D，C三点