2023年高考数学一轮复习课件：第十二章 12-3绝对值不等式

第十二章§12.3绝对值不等式考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：

|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x

－a|＋|x－b|≥c.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a_________∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔

.②|ax＋b|≥c⇔

.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则

≤|a±b|≤

.(2)如果a，b，c是实数，那么

，当且仅当

时，等号成立.||a|－|b|||a|＋|b||a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(

)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(

)(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.(

)(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(

)×√×√1.不等式3≤|5－2x|<9的解集为

A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)√∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为___________.(－∞，4)①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).3.设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是_____.R∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1

(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；题型一绝对值不等式的解法当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x≥1时，2x＋2≥6，得x≥2；当－3<x<1时，4≥6，此时没有x满足条件；当x≤－3时，－2x－2≥6，得x≤－4.综上，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}.f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，当且仅当(x－a)(x＋3)≤0时，等号成立.所以f(x)min＝|a＋3|>－a，当a<－3时，－a－3>－a，无解；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围.已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)<4的解集；教师备选∵f(x)<4，∴－2<x≤－1或－1<x≤1或1<x<2，故不等式的解集为(－2,2).(2)若不等式f(x)－|a＋1|<0有解，求a的取值范围.∵f(x)＝|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，∴f(x)min＝2，当且仅当(x＋1)(x－1)≤0时取等号，∵f(x)－|a＋1|<0有解，∴|a＋1|>f(x)min＝2，∴|a＋1|>2，∴a＋1<－2或a＋1>2，即a<－3或a>1，故a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞).思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.跟踪训练1

(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；作出图象，如图所示.(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围.函数f(x＋a)的图象即为将函数f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位长度，当a≤0时，即为将函数f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到f(x＋a)的图象，此时函数f(x＋a)的图象始终有部分图象位于函数g(x)的图象下方，无法满足f(x＋a)≥g(x)，则要满足f(x＋a)≥g(x)，需a>0，f(x＋a)＝|x＋a－2|，题型二利用绝对值不等式的性质求最值当x>4时，3x－3≤6，即x≤3(舍去).综上得f(x)≤6的解集为[－1,1].∵f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，∴a2－8a>9，(a－9)(a＋1)>0，a<－1或a>9，∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求实数a的取值范围.已知f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－k|(其中k≥2).(1)若k＝4，求f(x)＋g(x)<9的解集；教师备选若k＝4，则f(x)＋g(x)<9，即|x－3|＋|x－4|<9，解得－1<x<3或3≤x≤4或4<x<8，∴原不等式的解集为{x|－1<x<8}.∵k≥2，且x∈[1,2]，∴x－3<0，x－k≤0，∴f(x)＝|x－3|＝3－x，g(x)＝|x－k|＝k－x，则∀x∈[1,2]，不等式f(x)－g(x)≥k－x恒成立，即∀x∈[1,2]，x＋3≥2k恒成立，∴4≥2k，即k≤2，又k≥2，∴k＝2.(2)∀x∈[1,2]，不等式f(x)－g(x)≥k－x恒成立，求实数k的值.思维升华求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值的三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值.跟踪训练2

已知f(x)＝|x＋1|－|2x－1|.(1)求不等式f(x)>0的解集；由题意得|x＋1|>|2x－1|，所以|x＋1|2>|2x－1|2，整理可得x2－2x<0，解得0<x<2，故原不等式的解集为{x|0<x<2}.(2)若x∈R时，不等式f(x)≤a＋x恒成立，求a的取值范围.由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，设g(x)＝f(x)－x，所以a的取值范围是[1，＋∞).例3

设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；题型三绝对值不等式的综合应用y＝f(x)的图象如图所示.(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5.(2020·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；教师备选当a＝2时，f(x)＝|x－4|＋|x－3|当3<x<4时，1≥4，无解；将题目转化为f(x)≥4恒成立，即f(x)min≥4.因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，所以(a－1)2≥4，即|a－1|≥2.解得a≥3或a≤－1.所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.跟踪训练3

(2022·白山联考)已知函数f(x)＝|x－2|－a|x＋1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)<x的解集；由已知不等式|x－2|－|x＋1|<x，得|x－2|<x＋|x＋1|，当x≥2时，不等式为x－2<x＋x＋1，解得x>－3，所以x≥2；当－1<x<2时，不等式为2－x<x＋x＋1，当x≤－1时，不等式为2－x<x－x－1，解得x>3，此时无解.(2)当a＝2时，若关于x的不等式f(x)>m＋1恰有2个整数解，求实数m的取值范围.由题意，函数f(x)＝|x－2|－2|x＋1|，f(x)的图象如图.f(－3)＝1，f(－2)＝2，f(－1)＝3，f(0)＝0，因为关于x的不等式f(x)>m＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m＋1<2，所以0≤m<1，故m的取值范围为[0,1).KESHIJINGLIAN课时精练1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若函数f(x)的值域为[2，＋∞)，求实数a的值；12345∵|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－1.(2)若f(2－a)≥f(2)，求实数a的取值范围.12345由f(2－a)≥f(2)，得3|a－1|－|a－2|≥1，123452.已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；1234512345所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不符合题意；当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意.(2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围.12345设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示.易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1<a<0.所以实数a的取值范围为(－1,0).123453.已知函数f(x)＝|2x＋a|－|x－3|(a∈R).(1)若a＝－1，求不等式f(x)＋1>0的解集；12345因为a＝－1，所以不等式f(x)＋1>0等价于12345解得x<－1或x>1.所以不等式f(x)＋1>0的解集为{x|x<－1或x>1}.12345(2)已知a>0，若f(x)＋3a>2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围.123