2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题22 空间几何体及其表面积与体积（教师版含解析）

专题22空间几何体及其表面积与体积十年大数据全景展示年份题号考点考查内容球的表面积公式、球的截面性质、圆锥的截面性质等基础知识，逻辑推理能力、运算求解能力文16球的切接问题球的截面性质、三棱锥的外接球、棱锥的体积公式，空间想象能力和运算求解能力2011理15球的切接问题理6文8三视图与直观图简单几何体的三视图及空间想象能力空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，空间想象能力、逻辑推理能力文19简单几何体的体积文8球的切接问题球的截面性质、球的体积公式，空间想象能力和运算求解能力三棱锥的体积、三棱锥的外接球，空间想象能力和运算求解能力三视图与直观图2012理11球的切接问题理7文7三视图与直观图简单几何体的体积简单几何体的体积线面平行与垂直的判定与性质、简单几何体的体积，空间想象能力和运算求解能力卷2文18简单几何体的体积卷2文15球的切接问题四棱锥的体积、四棱锥外接球的表面积，空间想象能力和运算求解能力空间线面、线线垂直的判定与性质及棱柱的体积公式，空间想象能力、逻辑推论证能力卷1文19简单几何体的体积卷1文15球的切接问题2013球的截面性质及球的表面积公式，空间想象能力理7文9理8三视图与直观图卷2空间直角坐标系中简单几何体及其三视图，空间想象能力三视图与直观图简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，空间想象能力和运算求解能力卷1卷1文11简单几何体的体积理6球的切接问题球的截面圆性质、球的体积公式，空间想象能力、运算求解能力线面平行的判定、点到面距离、锥体的体积计算等基础知识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积，空间想象能力和运算求解能力卷2文18简单几何体的体积2014卷2文7简单几何体的体积三视图与直观图卷1卷2文8简单几何体的三视图空间想象能力理6文6三视图与直观图简单几何体的体积三视图与直观图简单几何体的三视图及体积的计算，空间想象能力和运算求解能力卷1理12简单几何体的三视图及最值问题，空间想象能力和运算求解能力几何体的截面及简单几何体的体积，空间想象能力和运算求解能力卷2文19简单几何体的体积简单几何体的表面积面面垂直的判定与性质、简单几何体的体积与表面积，空间想象卷1文18简单几何体的体积能力和运算求解能力理9卷2球的切接问题简单几何体的外切球体积最大值，空间想象能力和运算求解能力文102015理6卷2三视图与直观图简单几何体的三视图、简单几何体的体积，空间想象能力和运算求解能力文6简单几何体的体积理11三视图与直观图简单几何体的三视图、简单几何体的表面积，空间想象能力和运卷1文11简单几何体的表面积算求解能力理6卷1卷2简单几何体的体积球的切接问题以传统文化为背景圆锥的体积，空间想象能力和运算求解能力文6文4长方体的外球体积的表面积问题，空间想象能力和运算求解能力三棱锥中空间垂直的判定与性质及简单几何体体积的计算，空间想象能力和运算求解能力卷1文18简单几何体的体积理10卷3卷3球的切接问题简单几何体的内切球体积最大值，空间想象能力和运算求解能力简单几何体的三视图、简单几何体的表面积，空间想象能力和运文11理9三视图与直观图2016文10简单几何体的表面积算求解能力理6文7三视图与直观图简单几何体的表面积简单几何体的三视图、简单几何体的表面积，空间想象能力和运算求解能力卷2三视图与直观图简单几何体的体积简单几何体的表面积理6文7简单几何体的三视图、简单几何体的体积与表面积，空间想象能力和运算求解能力卷1卷3理8文9球的切接问题圆柱的外接球问题及圆柱体积，空间想象能力和运算求解能力本题长方体的外接球的表面积，空间想象能力和运算求解能力2017卷2文15球的切接问题简单几何体的体积主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体的体积卷1文18简单几何体的表面积与表面积计算，空间想象能力和运算求解能力．卷1文16球的切接问题三棱锥的体积与外接球的表面积，空间想象能力和运算求解能力圆柱的外接球问题及圆柱体积的最值，空间想象能力和运算求解卷2卷2理8球的切接问题理4文6三视图与直观图简单几何体的三视图及其体积计算，空间想象能力和运算求解能简单几何体的体积力主要以折叠问题为载体三棱锥体积的最大值，空间想象能力和运卷1理16简单几何体的体积算求解能力．简单几何体的三视图及表面的图形，空间想象能力和运算求解能卷1理7三视图与直观图力圆锥的截面面积、线面角的计算、圆锥的体积计算，空间想象能力与运算求解能力卷2文16简单几何体的体积卷1卷3文5理10文12简单几何体的表面积圆柱的截面积与表面积，空间想象能力与运算求解能力球的切接问题球内接三棱锥的体积最大值问题，空间想象能力与运算求解能力2018卷33三视图与直观图卷2理16简单几何体的表面积理7简单组合体的三视图与传统文化，空间想象能力圆锥中的线面角、圆锥的截面及圆锥的侧面积，空间想象能力及运算求解能力简单几何体的三视图及其表面上的最短距离问题，空间想象能力及运算求解能力卷1三视图与直观图文9空间线面垂直的判定与性质、空间几何体体积计算，空间想象能力和运算求解能力卷2文17简单几何体的体积折叠问题中空间共面问题的判定、空间面面垂直的判定及及截面的面积问题，空间逻辑推理能力及运算求解能力卷3问19共面与共线问题理162019卷3简单几何体的体积简单空间几何体的体积及空间想象能力和运算求解能力文16理16文16卷2球的切接问题球与正多面体的内接问题，空间想象能力和运算求解能力球与多面体的内接问题、球的体积，空间想象及运算求解能力卷1理12球的切接问题空间几何体的侧面正棱锥中截面直角三角形的应用，正四棱锥的概念及面积的计算，3理10球的切接问题2020卷1积正四棱锥中截面的性质球与多面体的内接问题，球的表面积文12理10球的切接问题球与正三棱锥的内接问题，点面距的计算卷2文11理7三视图与直观图三视图与直观图简单几何体的表面积简单几何体的三视图空间想象能力理9简单几何体的三视图及表面积计算，空间想象及运算求解能力文9卷3理15球的切接问题圆锥内切球，球的体积计算文6大数据分析预测高考出现频率2021年预测考点74共面与共线问题75三视图与直观图1/45因新课标中已没有简单几何体的三视图，故在2021年高考中不在考三视图，重点考简单几何体的表面积或体积，理科为小题，文科为解答题第二小题，难度为中档题，球与简单几何体的切接问题或与之有关的最大值，为题型为选择题或填空题，难度为难题18/45考点76简单几何体的表面积8/4577简单几何体的体积78球的切接问题20/4519/45十年试题分类探求规律考点74多面体与旋转体的几何特征、共面与共线问题1．(2020浙江6)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,l，则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的()A．充分不必要条件【答案】B．必要不充分条件．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路导引】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．,,l三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线,,l两两相交，如图，,,l,,l,,l要不充分条件，故选．解法二：依题意,,l是空间不过同一点的三条直线，当,,l在同一平面时，可能mnl，故不能得出,,l两两相交．当,,l两两相交时，设mn,mlB,nlC，根据公理2m,n确定一个平面Bm,Cl即l,,l，根据公理可知，直线1在同一平面．两两相交”的必要不充分条件．故选B．(2020上海15)在棱长为10的正方体ABCDABCD中，P为左侧面AP到AD1综上所述，“,,l在同一平面是“,,l1111111的距离为3，P到的距离为2，则过点PAC平行的直线相交的面是()11A．ABCD【答案】A．BBCC．CCDDD．AABB111111【解析】如图由条件可知直线AP交线段AD于点M，连接，过点P作AC的平行线，必与相11交，那么也与平面相交，故选A．．(2018上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A4．8C12D16【答案】D【解析】如图以为底面矩形一边的四边形有AACC、AABB、AADD、AAEE4个，每一个面1111111114个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D．(2019图1是由矩形ADEBRtABC和菱形BFGCAB1，BEBF2，FBC60．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．证明：图2A，C，G，D四点共面，且平面ABCBCGE；2中的四边形ACGD的面积．【解析】证明：由已知可得AD//BE，CG//BE，即有AD//CG，则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；由四边形ABED为矩形，可得ABBE，由ABC为直角三角形，可得ABBC，又BCBEE，可得ABBCGE，ABABC，可得平面ABCBCGE；BG，AG，由ABBCGE，可得ABBG，在BCGBCCG2，BCG120，可得BG2BCsin6023，22，在ACG5，CG2，，4522512，即有sin，552则平行四边形ACGD的面积为254．5考点75三视图与直观图(2020全国Ⅱ理7)，M在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．E．F．GD．H【答案】A【思路导引】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点．【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E，故选：A．(20187文9)某圆柱的高为2M在正视图上的对应点为AN在左视图上的对应点为BM到N的路径中，最短路径的长度为()A．2．25．3D．2【答案】B【解析】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2225，B．．(2018•新课标Ⅲ，理3文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A．C．．D．【答案】A【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从3A，A．．(2017•新课标Ⅰ，理7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10【答案】B．12．14D．161【解析】由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形梯形的面积之和为6212，故选B．224，这些62．(2014新课标Ⅰ，理12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为()A．62B．42C．6D4【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D，其中ABBC4,AC42，25，2DA4246，故最长的棱的长度为6C(2014新课标I8)几何体是()A．三棱锥【答案】B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解析】由三视图知，该几何体是放到的底面为等腰直角三角形的直三棱柱，故选B．(20137文9)一个四棱锥的顶点在空间直角坐标系Oxyz的坐标分别是(101)(11，，(011)，(000)，画该四面体的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为【答案】A【解析】根据题意可画出如图所示的四面体OzOxA与A'B与B'重合，故其正视图可以为如图所示，故选A．．•新课标，理6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为【答案】D【解析】由几何体的正视图与俯视图知，其对应的几何体如图所示是半个圆锥与棱锥的组合体，故其侧视图选D．．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1B2．3D．4【答案】C将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如∥，1，ADABPA2，ABAD，PA平面PAD，PABPA为直角三角形，∵，，，且平面平面，又A平面PABPB平面PAB．3，CD5，22不是直角三角形，故选．．(2017北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A32【答案】B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，B23C22D22222223B．2最长的棱长是体对角线，所以(2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是【答案】B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形，故选．．(2014北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【答案】22PA平面PA2，，2，，2226，222，∴三棱锥最长棱的棱长为22．2考点76简单几何体的表面积1．(2020全国I文理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()51515151A．．C．D．4242【答案】C【思路导引】设CDa,b1POb2CD得到关于a,b，利用的方程，解方程即可得到答案．221a2【解析】如图，设CDa,bab，由题意PE2OE2b224a21bb15ab，化简得4()2210b2，解得(负值舍去)，故选．42aaa4．(2020全国Ⅲ文9理8)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．642【答案】CB．442C．623D．423【思路导引】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积．【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，1S△△22222，根据立体图形可得：△2△ADB是边长为22的等边三角形，根据三角形面积公式可得：11323，该几何体的表面积是：3223623，△ABADsin60(22)2222C．．(20204)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为A．63D．1223()B．623C．123【答案】D【解析】由题意正三棱柱的高为2，底面的边长为2，该三棱柱的表面积为133222221223D．224．(2018•新课标Ⅰ，文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O，O，过直线OO的平面截该圆柱所得1212的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．【答案】B．12．8D．10【解析】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O，O，12过直线OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R8，解得R2，212则该圆柱的表面积为：(2)2222B．2．(2016•新课标Ⅰ，理6文7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是()3A．17．18．20D．28【答案】A174【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图所示，∴R3，解883373得R2．它的表面积是：2222，A．846．(2016•新课标Ⅱ，理6文7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20．24．28D．32【答案】C423，在轴截面中圆锥的母线长是1244圆锥的侧面积是24直径是44圆柱表现出来的表面积是2C．224空间组合体的表面积是28，．(2016•新课标Ⅲ，理9文10)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18365．54185．90D．81【答案】B【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个斜四棱柱，如图所示，其上底面和下底面面积为：33218，侧面的面积为：(3633262)218185，故棱柱的表面积为：1821818554185B．．(2015•新课标Ⅰ，理圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620r()A．1．2．4D．8【答案】B【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼1111其表面积为：r2r22rr2r2rr2r24r该几何体22222的表面积为1620，r24r16，解得r2，故选B．2．(2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．．C．4D．4【答案】D12121122234，故选D．是2．(2015安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．13【答案】B【解析】在长、宽、高分别为、11的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P-，表面积为．23．122D．22123122(2)223，故选．24(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为．21A．213．183D．【答案】A13S226112(2)213，2【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，∴A．表24．(2014浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是A902B1292．1322D．1382【答案】D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S1S正方形S2SSS是长方体的表面积，S是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，23斜面12S3是三棱柱的一个底面的面积，可求得S138()D．2(2014福建)以边长为1A．．C2D．1【答案】A【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为，S侧11，故选A．．(2014陕西)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为A．．．D．【答案】C【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为，其侧面积S，故选．．安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A48B32+8．48+8D．80【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积1S2(2444242116448817，故选．2．(202014】已知圆锥展开图的侧面积为2，且为半圆，则底面半径为【答案】1．【思路导引】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径．rl，解得rl2，故答案为：1．r【解析】设圆锥底面半径为，母线长为l12r2l27(201816)已知圆锥的顶点为SSA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成845SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为【答案】．778【解析】圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得1()2．SAB的88118面积为5SA2sinASB51525SA45SA与圆锥底面所成角为45，2221可得圆锥的底面半径为：452则该圆锥的侧面积：410440．22．(2014山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．【答案】12133h62h23h1，24底面正六边形的中心到其边的距离为33121为2．2．(2012辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【答案】38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为241．．•新课标Ⅰ，文18)如图，在四棱锥PABCDAB//CDBAPCDP90．证明：平面PABPAD；8若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．3【解析】证明：(1)在四棱锥PABCDBAPCDP90，ABPA，CDPD，又AB//CD，ABPD，PAPDP，ABPAD，ABPAB，PABPAD．解：设PAPDABDCaADO，连结PO，PAPDABDC，APD90，平面PABPAD，2POABCDa2a2a，a，28四棱锥PABCD的体积为，3由ABPADABAD，1PABCDSPO3四边形ABCD11218aaaa3，33233a2，PAPDABDC2，22，2，PC4422，该四棱锥的侧面积：侧SSSS1111222()2222111122222222822222623．．•新课标Ⅰ，文18)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BEABCD．Ⅰ)证明：平面AECBED；6Ⅱ)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．3【解析】证明：()四边形ABCD为菱形，ACBD，BEABCD，ACBE，则ACBED，ACAEC，AECBED；3xⅡ)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120x，GBGD，22BEABCD，BEBGEBG为直角三角形，13x，222则22x，211的体积VACGDACD66三棱锥x3，E323x2AB2，ABC120，1222ABBC44222()12，22即AC1223，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AEECED，2AEEC，EAC为等腰三角形，则2222，11266，从而得AEECED6，EAC的面积S663，2211在等腰三角形EADE作EFAD于F621(6)225，221EAD的面积和ECD的面积均为S255，故该三棱锥的侧面积为325．2考点77简单几何体的体积．(20205)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()733A．B．C3D．6【答案】A【思路导引】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积．【解析】如图，几何体是上下结构，下面是三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边为，高为1高是2，上面是三棱锥，平面DAC平面ABC，且，三棱锥的高是1，∴几何体的体积1111111111V212211，故选A．327232．(2017•新课标Ⅱ，理4文6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90．63．42D．36【答案】B【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，1V3210326，故选B．2(2015(圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为．62立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米约有()A．14斛．22斛．36斛D．66斛【答案】B1611163209rr8r()251斛2439米的体积约为1．62立方，22，故选B．．(2015•新课标Ⅱ，理6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()1171615A．．．D．8【答案】D正方体切掉部分的体积为111511111，剩余部分体积为1，截去部分体积与剩余部分体积的比值为，D．326665(20146文6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()172759102713A．．C．D．【答案】C【解析】原来毛坯体积为：326(cm2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为，高为)，)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为224322(cm2的圆柱和右侧底面半径为3cm2cm(cm2则切削掉部分的体积为，故选C．(20147)正三棱柱ABC的底面边长为23，D为111锥AB的体积为11323A．3．C．1D．2【答案】C【解析】连结AD，∵△是正三角形，且D是的中点，∴AD⊥BC，∵⊥面ABC，∴⊥11AD，∵∩，∴AD⊥面BBCC，∴AD是三棱锥AB的高，∴11111113VA11=S=33=1，故选C．DBC3．(2013新课标Ⅰ，理8文某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．8C．D．8【答案】A2高为4宽为2高为2长1方体，故其体积为24422=，故选A．22．(2012•新课标，理7文7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6【答案】B．9．12D．18【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3，底面三角形斜边长为63的等腰直角11三角形，此几何体的体积为V6339，B．329．(2019浙江4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家．他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式VSh如图所示，则该柱体的体积是A158【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积．162．182D3211求解，即(43(23，高为，则该柱体的体积是V622B．．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是A2B4C6D．8【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积1V226．故选C．2(2017浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．1．3C．1D．32222【答案】A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成如图)，11(111(21A．322其体积为：322．(2016山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为12π132π132πD．12πA．．．33366【答案】C111V12113321V2322半径为R，则2R2，即R，所以半球的体积()，故该几何体的体积2223612VVV．故选．1236．(2015浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是．3B．123．3D．333【答案】C1【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积V23222，故选C．33．(2015重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为1212A．B．C．D．3333【答案】A1112(12)11V12【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，A．2323．(2015湖南)某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为材料利用率新工件的体积原工件的体积=)84(2312(23A．．C．D．【答案】A2x，x2hh，则由三角形相似可得，，所以h22x，x，长方体体积12xx22x2(2x)2h2x2(22x)≤)3，当且仅当x=22xx时取等号，3381V122，故材料利用率为A．3323．(2014辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A．8．8．8D．824【答案】B1【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l的圆柱，所以该几何体的体积为41232128，故选B．24．(2013江西)一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A200+9π【答案】AB200+18πC140+9πD．140+18π【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱，故选A．．(2012广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为A12πB45π．D．【答案】C1【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为V3523253，故选C223．(2012湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为8π310π3A．．3π．D．6π【答案】B1【解析】由三视图可知该几何体的体积：V12212，故选．22(2020边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是cm3．【答案】32【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为1，内孔的体积为正六棱1柱的体积为2V622602123,V(0.5)1222，22∴VVV123．122(201916文16)学生到工厂劳动实践，利用3D体ABCD，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，1111分别为所在棱的中点，ABBC6cm，14，3D打印所用原料密度为0.9g/3制作该模型所需原料的质量为g．【答案】8【解析】该模型为长方体ABCD，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中1111E，F，G，H，分别为所在棱的中点，ABBC6cm，14，11该模型体积为：VOEFGH664(46432)3ABCDABCD1111323)，3D打印所用原料密度为0.9g/3质量为：g)．，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的(201816)已知圆锥的顶点为SSA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30SAB的面积为8，则该圆锥的体积为【答案】．1SSA，SB互相垂直，SAB的面积为88SA4，SA22与圆锥底面所成角为30．可得圆锥的底面半径为：23，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：1V(23)22．3(201716)O5cmABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FABD、E、F重合，得到三棱锥．当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：3)的最大值为．【答案】433【解析】解法一：由题意，连接ODBCG，由题意得ODBC，，6即OG的长度与BC的长度成正比，设OGx，则23x，DG5x，三棱锥的高13h2210xx2x210x，SABC(23x)233x，22215则VSh3x22510x325x410xf(x)x410x5x)f(x)x350x4，5ABC32f(x)0x42x30x2f(x)f(2)V34体积3令最大值为43．1333解法二：如图，设正三角形的边长为xOGxx，FGSG5x，326633x)25(53)，1SOhSG2GO2(5x)2(三棱锥的体积V3SABCh6631331533535(5x)5x4x5b(x)5x4x5(x)20x34x，34312333x4令(x)04x30，解得x43，max4854415(3)．324．(2019北京某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．【答案】40【解析】由三视图还原原几何体如图所示，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体1．2+424=40的体积VV-四棱柱444-正方体2(2018天津)已知正方体ABCD的棱长为1ABCD1111，FG，HM(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为．1【答案】AD，，BA，BC，E，H分别为AD，EH∥，11111111，因为F，G分别为BA，BC的中点，所以∥，，所以∥，1122，为正方形，1132)211M到平面的距离为，所以四棱锥M的体积为(212．22．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．4【答案】313432(2)22，则该正八面体的体积为．1．(2017山东)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．4【答案】22【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，1，圆柱的高为1，底面圆半径为1，所以π12πV211212．42．(2016天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_______m3．【答案】22m1m3m1体积为2132(3)．m3．(2015天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为m3．8【答案】3【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为12半径为1181的圆锥，所以该几何体的体积V122211．233S1S294(2014江苏)SSVV，12121V2则的值是．3【答案】2S94r32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r,rl,l1．11212S22lr231Sl923112Sl432个圆柱的侧面积相等，即rlrl1，所以11122l2222ABCD,E,F,AC,1F(2013江苏)分别是111VABC的体积为VV:V12的体积为，三棱柱．1111211A1FCEBAD【答案】124FADE1ABC1ABC的相似比为1之比为18与三棱锥ABCFADEABC与三棱柱的体积之111与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥1111：．32．福建)三棱锥P中，PA⊥底面，PA=3，底面是边长为2的正三角形，则三P的体积等于______．【答案】3111VPAS322sin603【解析】332(201917)ABCD的底面ABCDEBEEC．111111证明：BEEBC；11若AEAE，AB3，求四棱锥EBBCC的体积．111【解析】证明：由长方体ABCD，可知1111BCA，BEA，111111BC，11，BCC，11111BEEBC；11由(1)知BEB90，由题设可知RtABERt△ABE，111AEBAEB45，AEAB3，26，111在长方体ABCDAA//BBCC，E，BBCC，11AB11111111E到平面BBCC的距离dAB3，111四棱锥EBBCC的体积V36318．113(201618)PABCPA6P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交ABG．Ⅰ)证明：G是AB的中点；Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．【解析】Ⅰ)证明：PABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，PDABCPDAB，又E为D在平面PAB内的正投影，DE面PABDEAB，PDDED，ABPDE，连接PE并延长交ABG，则ABPG，又PAPB，G是AB的中点；Ⅱ)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PAF，FE在平面PAC内的正投影．正三棱锥ABC的侧面是直角三角形，PPBPA，PBPC，又EF//PB，所以EFPA，EFPC，因此EFPAC，F为E在平面PAC内的正投影．CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．2()G是AB的中点，所以D在CG上，故．321由题设可得PCPAB，DEPAB，所以DE//PC，因此，．33由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，32，22．在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2．1114所以四面体PDEF的体积VDES222．PEF3323(2015ABCD中，AB16，BC10，AA8E，F分11111AB，DCAEDF4E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形111111Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)Ⅱ)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．【解析】Ⅰ)交线围成的正方形EFGH如图所示；Ⅱ)作EMAB，垂足为MAE4，，8．111EFGH为正方形，所以EHEFBC10，226，AH10，HB6．因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，9所以其体积的比值为．7(2014新课标Ⅱ，文18)P为矩形，PA平面，EPD是的中点．Ⅰ)证明：PB//；Ⅱ)设3，三棱锥PABD的体积3VA到平面的距离．4【解析】Ⅰ证明：连结BD交于点O，连结．∵底面为矩形，∴点O为BD的中点，又E为PD的中点，∴∵平面，平面，∴PB平面Ⅱ)∵底面为矩形，PA，133∴P=PA=BC，⊥，AB=6643BC，2过A在平面内作AH交于H，∴BC⊥AH，PB∩BC=B，AH⊥面PBC，132PAAB313在直角三角形PBPA2AB2=AHPB13313A到平面PBC的距离为．13．(2013新课标Ⅰ，文19)如图，三棱柱BC中，CA=CBA，∠BAA=600．11111Ⅰ)ABA1；Ⅱ)若AB=CB=2A，求三棱柱BC的体积1111【解析】Ⅰ)取中点E，连结CE，AB，AE，11，=01是正三角形，11∴1E⊥，CA=CB，∴⊥，∵CEAE，∴AB，∴⊥AC；111Ⅱ)∵AB=AC=BC=2，∴3，在正中，AB=2，∴AE=3，111E2CE21E⊥，AAC12()知AE⊥ABABCE=EAE⊥面ABC，11∴AE是三棱锥ABC的高，11113∴三棱锥ABC的体积为S1E=232=3．1114．(2013新课标Ⅱ，文18)如图，直三棱柱ABCD，E分别是AB，的中点．1111(Ⅰ)证明：BC//ACD；111设AAACCB2，22，求三棱锥CADE的体积．11【解析】Ⅰ)交ACF，连结DF，11F为1的中点，又∵D是AB中点，则1∥DF，DF面CD，1面，ACD1∴∥面ACD11Ⅱ)∵ABC是直三棱柱，111∴1⊥，AC=CBD是AB的中点，⊥AB，∵1∩，⊥面AABB，11由1=AC=CB=2，AB=22得，∠o2，AD=6，3，AE=3，11AD12DE1E2AD12．∴11∴C1DE=632=1．3212(201219)ABCACB=90°AC=BC=AAD1111AA1的中点．(Ｉ)证明：平面11Ⅱ)1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥，BC⊥AC，CCC，∴面A，又∵DC1面1111A，∴，111ADCADC45001由题设知，∴=1，11C，∴DC1，⊥面1；∵DC面BDC，111121Ⅱ)设棱锥B的体积为V，=1，由题意得，V=1=，111322由三棱柱ABC的体积V=1，111∴VV):V=1：，∴平面BDC分此棱柱为两部分体积之比为：1．11140．(2014广东)如图2，四边形为矩形，PD⊥平面，AB1，2，作如图3折叠，折痕EF∥．其中点E，F分别在线段PD，上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥．()证明：MDF；()求三棱锥M的体积．【解析】Ⅰ)证明：PDABCD,PCD,，，，MD，∴MD，,,,,M，∴CF．Ⅱ,0,011==,221,即=2333DC,32441333436SCDECDDE，22PE22()2(2),28421MD1362VMCDES.CDE338216．(2014辽宁)如图，和所在平面互相垂直，且2，ABC1200，E、F、G分别为、、AD的中点．(Ⅰ)求证：EF；(Ⅱ)求三棱锥D的体积．1附：锥体的体积公式V，其中S为底面面积，h为高．3【解析】Ⅰ)由已知得，因此，又G为AD的中点，；；AD，又EF∥AD，∴EFBCG．Ⅱ)在平面内，做的延长线于O，，由平面知，又G为AD的中点，G到平面的距离h是的一半，在sin603，11所以DGSh．32PBAD60．已知．(2013安徽)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，6．Ⅰ)证明：；EPAP的中点，求三棱锥的体积．Ⅱ)若为【解析】Ⅰ)证明：连接，交于于O点，连接．因为底面ABCD是菱形，ACBD,BO，PBPD．由OBD面，．11Ⅱ)解：因为E是的中点，所以VCVVPCB22PBPDABAD2ABDPBD由BAD60，POAO3,AC23,BO1．PA6,PO2AO2PA2,即POAC又．1故SPOAC3．21111BO面APC,因此PVBOS(1)．B2232(2012江西)AB∥EF是线段ABDEABAB，AB=12，AD=5，2，DE=4ADE分别沿DE，A，B两点重合与点G，得到多面体．求证：平面；求多面体的体积．【解析】由已知可得AE=3BF=4，则折叠完后EG，GF=4，又因为EF=5，所以可得，又因为CF，CFG，所以平面CFG．过G作GO垂直于EFGO即为四棱锥G-EFCD的高，11所以所求体积为S45．3351∥．辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，QAABCDQAQAAB=PD．2(I)证明：；(II)求棱锥—ABCD的的体积与棱锥—的体积的比值．(I)由条件知PDAQ为直角梯形因为QAABCDPDAQABCD．又四边形ABCD为正方形，DC，DCPDAQ，．2PDQD在直角梯形PDAQ中可得DQPQ=2DCQ．(II)设ABa．1由题设知为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q—的体积Va3.132(I)知为棱锥—的高，而PQ=2a，△的面积为2，a21所以棱锥P的体积为Va3.23故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥—的体积的比值为1．考点78球的切接问题1．(2020全国I文12理10)已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O为的外接圆．若⊙O的11面积为4π，1，则球O的表面积为()A．64π．48C．36D．32【答案】A【思路导引】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO的值，根据球截面性质，1求出球的半径，即可得出结论．【解析】设圆O半径为，球的半径为R，依题意，得rr2,r2，1由正弦定理可得2r6023，123，根据圆截面性质OO，1OOO,ROAOO1A12212r24O264，故选A．，球的表面积S4R11934(2020全国Ⅱ文理10)已知是面积为OO的表面积为16，则球O到平面的距离为()33A．3．．1D．22【答案】CO的表面积和ORr的面积可求得球的半径和外接圆半径可知所求距离dR2r2．O【解析】设球的半径为R4R216R2，解得：．设ra外接圆半径为，边长为，139393aa3，，解得：是面积为的等边三角形，242242a229，到平面ra293OR2r2431．C的距离d3434．(20205)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．．．D．144【答案】C【思路导引】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解．【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即222232323，所以这个球的表面积为S4R，故选．2432R324．(2019•新课标Ⅰ，理12)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为()A．8．4．2D．【答案】D【解析】如图，由PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥PABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，则ACBGPOAC，POOAC平面PBGPBACE，F分别是PA，AB的中点，EF//PBCEF90EFCEPBCEPB平面PAC正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为6，则球的体积为(6)，D．4D22PC26半径为3O232(2018•新课标Ⅲ，理10文12)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．3．3．3D．3【答案】B3【解析】ABC为等边三角形且面积为9393AB6OABC的2423外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：C623，42(23)2，则23213三棱锥DABC高的最大值为：6，则三棱锥DABC体积的最大值为：63B．3346．(2017•新课标Ⅲ，理8文9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A．)．D．．424【答案】B【解析】圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径13，该圆柱的体积：V(3)r12()221B．2224(2016文在封闭的直三棱柱ABC内有一个体积为VABBCAB6，111BC8，AA的最大值是(3V)1A．．．D．23【答案】B68【解析】ABBCAB6BC8AC10故三角形ABC的内切圆半径r2AA13，234332故直三棱柱ABC的内切球半径为，此时V的最大值()3，故选B．11122．(2016体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()32A．12．．D．3【答案】A8，可知其边长为2444233，所以球的表面积为(3)A．2．(2015•新课标Ⅱ，理9文10)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36．64．144D．256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径111为ROABCCAOBR322RR336R6O的表面积为RC．26(20136)8cm()500π3866π31372π32048π3A、cm3、cm3、cm3D、cm3【答案】A【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则53500π3R2(R242，解得R=5，∴球的体积为=cm3，故选A．3．(2012•新课标，理已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角SCO的直径，且SC2，则此三棱锥的体积为()14222A．．．D．46【答案】COABC三点的小圆的圆心为OOO平面ABCCO交球于点DSD11123316263平面ABC．CO，1，高1，ABC是边长为1的1133323132623正三角形，SABC，VC．三棱锥SABC4343612．(2012•新课标，文8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为((A)6π(B)43π【答案】B)(C)46π(D)63π（）312(2)23=4．313．(2020全国Ⅲ文16理15)已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．2【答案】3【思路导引】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值．【解析】解法一：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，3，且点M为边上的中点，设内切圆的圆心为O，13222222222，设内切圆半径为，则：r21111△S△SSABrBCrACr332r