线面垂直判定定理(用)

2.3.1（一）直线与平面垂直的判定2021/5/91

一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停的走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直.复习引入2021/5/92讲授新课1.直线和平面垂直的定义lP2021/5/93讲授新课

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l⊥.lP1.直线和平面垂直的定义2021/5/94讲授新课

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l⊥.l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.1.直线和平面垂直的定义lP2021/5/95讲授新课

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l⊥.l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.1.直线和平面垂直的定义lP2021/5/96讲授新课

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l⊥.l叫平面的垂线，叫直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.1.直线和平面垂直的定义lP2021/5/97举例：生活中直线与平面垂直的现象有哪些？2021/5/98举例：生活中直线与平面垂直的现象有哪些？→提问：你觉得垂直的依据是什么？2021/5/99举例：生活中直线与平面垂直的现象有哪些？→提问：你觉得垂直的依据是什么？→思考：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？2021/5/910nml2.直线和平面垂直的判定B2021/5/911

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.l2.直线和平面垂直的判定nmlB符号语言:若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥.2021/5/912练习如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，与平面B'C'CB垂直的直线有

；与直线AA'垂直的平面有

.BD'C'A'B'ADC2021/5/913例1已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.ab2021/5/914b例1已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.mabn2021/5/915例1已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.mabn线面垂直→线线垂直→线面垂直2021/5/916例2在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD2021/5/917直线与平面垂直的判定方法：1.定义；2.定理；3.两条平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.线面垂直→线线垂直课堂小结2021/5/918瀛海学校杨宇2.3.1(二)三垂线定理2021/5/919

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。

斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；

斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。2.斜线斜线段AC在的射影ACB2021/5/920AaOP

已知PO是平面的斜线，

PA⊥

、AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理2021/5/921证明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aAaOP2021/5/922三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。a⊥POPA⊥OA是PO在内的射影a

⊥AOa由三垂线定理AaOP2021/5/923PAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线影垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直2021/5/924PCBA例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求证：PC⊥BC证明:PA⊥平面ABCAC是PC在平面ABC上的射影

BC平面ABCBC⊥AC

由三垂线定理得

BC⊥PC2021/5/925例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD2021/5/926三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα2021/5/927线影垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？2021/5/928

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα三垂线定理的逆定理a⊥AOPA⊥OA是PO在内的射影a

⊥POa由三垂线逆定理2021/5/929三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线影垂直线斜垂直定理逆定理2021/5/930例4在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AD⊥BC求证：AC⊥BD∴BC⊥DO，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBAB⊥CD，CD

面BCD，同理BD⊥CO，于是O是△BCD的垂心，由三垂线逆定理CD⊥BO，2021/5/9311.已知PA、PB、