北京高一新教材数学一元二次函数方程和不等式

第3讲不等式的性质和基本不等式［玩前必备］.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>bOb<aO传递性a>b,b>c=a>c=可加性a>bOa+c>b+cO可乘性a>b'c>0,=ac>bc注意c的符号a>b'c<0,=ac<bc同向可加性a>b]>"a+c>b+dc>dJ=同向同正可乘性a>b>0c>d>0>=ac>bdJ=可乘方性a>b>0=an>bn(neN+，n>1)a,b同为正数可开方性a>b>0=na>nb(neN+，n>1).两个实数比较大小的方法a-b>0Oa>b(1)作差法<a—b=0Oa三b (a,beR)、a—b<0Oa<bab>>10a>b一.Ia(2)作商法b=10a三b (aeR,b>0)la-<10a<bb.基本(均值)不等式\；0bw中(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0,b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.几个重要的不等式(1)a2+b222ab(a,bGR).(2)^+彳^2(a,b同号).Ja+b\ a2+b2,a+b^(3)abW(-yj2(a,bGR).(4)^—:("yj2(a,bGR)..算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a++b，几何平均数为4晟，基本(均值)不等式可叙述为：乙两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数..利用基本(均值)不等式求最值问题已知%>0,y>0,则：(1)如果积冲是定值p，那么当且仅当0时，％+y有最小值是2•而.(简记：积定和最小)⑵如果和％+y是定值p，那么当且仅当*y时，%y有最大值是p2.(简记：和定积最大)［玩转典例］题型一不等式的性质应用例1(1)给出下列命题：①若ab>0,a>b，则-<7；ab②若a>b,c>d，贝lja—c>b—d；③对于正数a,b,m，若a<b，则a<等.其中真命题的序号是 .bb十m(2)已知a,b,c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3,Q=2(a十b十c)，那么P与Q的大小关系是()A.P>QB.P>QC.P<QD.PWQ(3)已知12Va<60,15<b<36.求a—b和1的取值范围.【玩转跟踪】.下列命题中一定正确的是()A.若a>b，且：>b，则a>0,b<0B,若a>b,bW0,则a>>1C.若a>b，且a+c>b+d，贝ljc>dD-若a>b，且ac>bd,则ljc>d.已知1Wa-bW2且2Wa+bW4,求4a-2b的取值范围..已知实数a,b,c满足b+c—6—4a+3a2,c—b—4—4a+a2,则lja,b,c的大小关系是(C.c>b>aDC.c>b>a题型二基本不等式求最值角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值例2(1)已知0。<1,则％(3-3%)取得最大值时％的值为()1A.311A.31B.2乙C，4 D,3(2)若函数f(%)―%+—(%>2)在％―a处取最小值，则a等于()%—2A.1+ .,：2 B.1+V3 C.3D.4⑶①已知%<4，求f(%)—4%—2+4%—5的最大值;②已知%为正实数且%2+户一1,求%--,17+2的最大值;③求函数y―③求函数y―Y%—1%+3+\''%—1的最大值.角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值例3已知a>0,b>0,a+b=1,则1+1的最小值为 ^ab ［探究1］本例的条件不变，则［1+0（1+1）的最小值为.［探究2］本例的条件和结论互换即：已知a>0,b>0,1+1=4,则a+b的最小值为ab［探究3］若将本例中的“a+b=1”换为“a+2b=3"，如何求解？题型三均值不等式实际应用例4某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产％件，则平均仓储时间为^天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与8仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A.60件 B.80件 C.100件 D.120件［玩转跟踪］.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润M单位：万元）与机器运转时间％（单位：年）的关系为y=—%2+18%—25（%£N*）,则该公司年平均利润的最大值是万元.［玩转练习］.如果a<0,b>0,那么下列不等式中正确的是（ ）A.1<1 B.'.J—a<\babC.a2<b2 D.Ial>lbI.若a,b,c£R,且a>b，则下列不等式一定成立的是（）A.a+c、b—c B.ac>bcC.c2 C.c2 一a—b>0D.(a—b)c220.给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0,b>0；④a<0,b<0.其中可使b+a22成立的个数是（）A.1B.2C.3D.4.若a,bGR且ab>0,则下列不等式中恒成立的是（）A.a2+b2>2ab"12 ^a、。C.-+,>-^ D.+22ab7ab ab.设%>0,则3—3%—1的最大值是( )xA.3 B.3—2\'2C.—1 D.3—2后X2-X+1 TOC\o"1-5"\h\z.已知 1(%>1)在％=t时取得最小值，则t等于( )X—1A.1+\；2 B.2C.3 D.421.已知正数a,b满足a+2b=2,则a+1的最小值为.211.已知a>0,b>0,+〃=a，若不等式2a+b29机恒成立，则m的最大值为( )ab6A.8B.7C.6D.5.设a>b>c>0,x=\:a2+(b+c)2,y=\；b2+(c+a)2,z="c2+(a+b)2,则x,y,z的大小顺序是..在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为m..若一1<a+b<3,2<a—b<4,求2a+3b的取值范围..已知x>0,y>0且2x+5y=20.(1)求xy的最大值；(2)求：+!的最小值.xy.某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km,按交通法规定：这段公路车速限制在40〜100（单位：km/h）之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为G+^L/h,其中％（单位：km/h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速％是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）第4讲一元二次不等式［玩前必备］1.一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+bx+c、0,ax2+bx+c忘0,其中aW0,a,b,c均为常数2.一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式/=b2—4ac/>0/=0/<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2)有两个相等的实数根bx1=x2=—2a卫没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x1x<x1,或x>x2}[b\x"-2ajRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x1x1Vx<x2}00［玩转典例］题型一解不含参的一元二次不等式例1解下列不等式:⑴一x2+5x-6>0；(2)3x2+5x—220；(3)x2—4x+5>0.

【玩转跟踪】1解下列不等式：(1)4%2—4%+1>0；(2)—％2+6%—10>0.题型二解含参的一元二次不等式例2设a£R,解关于%的不等式a%2+(1—2a)%—2>0.【玩转跟踪】.若a>0,求关于%的不等式%2—(a+：)%+1W0的解集..设p：14%—3|<1；q：%2—(2a+1)%+a(a+1)S0,若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是()1B1B.（0,2）A.[0,2]c.c.(一如0]u弓+②)D.（一如0）U（2，+s）题型三三个“二次”间的关系及应用例3已知二次函数y—ax2+(b-8)x—a—ab，且y>0的解集为{x1一3<x<2}.(1)求二次函数的解析式；(2)当关于x的不等式ax2+bx+cW0的解集为R时，求c的取值范围.例4若方程x2+(k-2)x+2k-1―0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是.［玩转跟踪］1.已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为,x3<x<2>.(1)求a,c的值；(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c>0.题型四不等式恒成立、能成立问题例5 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立，求实数k的取值范围；⑵若不等式一x2+2x+3Wa2-3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.例6当1WxW2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值范围.例7已知函数y―mx2—mx-6+m，若对于1WmW3,y<0恒成立，求实数x的取值范围.［玩转跟踪］1.设函数y—mx2—mx—1,1^xW3,若y<一m+5恒成立，求m的取值范围.4x+m2.若存在xGR，使得—--22成立，求实数m的取值范围.题型五不等式恒成立、能成立问题例8某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购。万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.［玩转跟踪］1.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入/x2—600)万元作为技改费用，投入

50万元作为固定宣传费用，投入f万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？［玩转练习］TOC\o"1-5"\h\z(2019-全国1)已知集合M={fI—4<f<2},N={fIf2-%—6<0},则MnN等于( )A.{%|—4<%<3} B.{%|—4<%<—2}C.{%I—2<%<2} D.{%I2<%<3}.若0<m<1,则不等式(%—m)(%—£)<0的解集为()f 1 〕一i%m<%<mA.一i%m<%<mC.<% %>m或%<—> D.〔 mJ.二次方程a%2+b%+c—0的两根为一2,3,如果a<0,那么a%2+b%+c>0的解集为(A.{%I%>3或%<—2} B.{%I%>2或%<—3}C.{%I—2<%<3} D.{%I—3<%<2}.若不等式5%2—b%+c<0的解集为{%I—1<%<3},则b+c的值是( )A.5B.—5C.—25D.10%3.与不等式—>0同解的不等式是（）(%—3)(2—%)(%—3)(2—%)>00<%—2<1C.2—%%—3>0D.(%—3)(2—%)>0.若关于%的不等式a%—b>0的解集为{%I%>1},则关于%的不等式号>0的解集为（）%—2A. {%I%>1或%<—2} B. {%I1<%<2}C. {%I%>2或%<—1} D. {%I—1<%<2}7.已知不等式一%2+4%>a2—3a在R上有解，则实数a的取值范围为（ ）A. {a—1WaW4} B. {a—1<a<4}C.{aIa24或aC—1} D.{a|-4CaW1}.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入.则这批台灯的销售单价%(单位：元)的取值范围是()A.{%I10C%<16} B.