第6讲高一学科素养能力竞赛三角函数图象与性质专题训练

第6讲高一学科素养能力竞赛三角函数图象与性质专题训练【题型目录】模块一：易错试题精选模块二：培优试题精选模块三：全国高中数学联赛试题精选【典例例题】模块一：易错试题精选【例1】已知函数，给出下列结论：①的最小正周期为：

②是奇函数：③的值域为；

④在上单调递增．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①，画出函数图象可以判断最小正周期；②，利用定义判断奇偶性；③，配方后求出最值，求出值域；④代入检验判断单调性.【详解】，画出函数图象如下：显然的最小正周期为，①正确；，故，且，所以是非奇非偶函数，②错误；，因为，所以在取得最大值，，当时，取得最小值，，所以的值域为，③正确；当时，，由复合函数单调性知单调递增，④正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题关键是作出函数的大致图象，数形结合分析，考查了学生转化与化归的能力.【例2】若函数f（x）同时满足：①定义域内任意实数x，都有；②对于定义域内任意，当时，恒有；则称函数f（x）为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，确定函数具有的性质，借助性质脱去法则“f”即可求解作答.【详解】由①知，，由②知，在定义域内单调递增，，依题意，，即，整理得：，而，，不等式成立，于是得，所以锐角的取值范围为.故选：B【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.【例3】设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】先求出函数的单调区间，根据题意得出参数的范围，设，则，由，得出函数在上的零点情况出答案.【详解】由，，得，，取，可得.若在上单词递增，则，解得.若，则.设，则，因为所以函数在上的零点最多有2个.所以在上的零点最多有2个.故选：A【例4】已知函数，现给出下列四个结论：①为偶函数；②的最小正周期为；③在上单调递增；④在内有2个解．其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①利用函数的奇偶性判断即可.②由可知.③利用复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减.④数形结合判断即可.【详解】因为的定义域为R，，所以为偶函数，①正确．由，可得的最小正周期为，②错误．当时，函数单调递增，值域为，当时，函数单调递增，故在上单调递增．当时，函数单调递增，值域为，当时，函数单调递减，故在上单调递减，③错误．，则，，或，．当时，，有两个解，，无解，故在内有2个解，④正确．故选：B.【点睛】本题利用复合函数，综合考察三角函数的基本性质，属于难题.在判断函数的奇偶性时需注意先看函数的定义域是否关于原点对称.【例5】已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：①在区间上有且仅有2条对称轴；②在区间上单调递增；③的取值范围是.其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】对于③，令，得，可知，求得；对于①，利用的对称轴为可判断；对于②，利用利用的增区间为可判断；【详解】对于③，，，令，得，由函数在区间上有且仅有2个不同的零点，即取得0，，所以，解得，故③正确；对于①，当，，由，知，令，由于值不确定，所以不一定取到，故①错误；对于②，当时，，由，知即，即在区间上单调递增，故②正确；所以正确的个数为2个.故选：C【例6】（多选题）已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（

）A．在区间上有且仅有个不同的零点B．的最小正周期可能是C．的取值范围是D．在区间上单调递增【答案】BC【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.【详解】解：由函数（），令，，则，，函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，由，得，即，则，，，，即，，C正确；对于A，，，，当时，在区间上有且仅有个不同的零点；当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；对于B，周期，由，则，，又，所以的最小正周期可能是，故B正确；对于D，，，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；故选：BC．【例7】（多选题）设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（

）A．的取值范围是B．的图象与直线在上的交点恰有2个C．的图象与直线在上的交点恰有2个D．在上单调递减【答案】AB【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故A正确；又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，且，则在上，出现两次最大值，此时函数的大致图象如图示：即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；由于当时，，，当时，取最小值，由于是否取到不确定，故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；当时，，因为，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.【例8】（多选题）设函数，若在有且仅有5个最值点，则（

）A．在有且仅有3个最大值点B．在有且仅有4个零点C．的取值范围是D．在上单调递增【答案】ACD【分析】令，利用图像逐项分析最值点、零点个数，单调性即可.【详解】，，，令，，画出图像进行分析:对于A选项：由图像可知：在上有且仅有这3个最大值点，故A选项正确；对于B选项：当，即时，在有且仅有个零点；当，即时，在有且仅有个零点，故B选项不正确；对于C选项：在有且仅有个最值点，，，的取值范围是，故C选项正确；对于D选项：，，，由C选项可知，，，在上单调递增，故D选项正确.故选：ACD.【例9】（多选题）已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.【详解】函数，,则①,又，则是函数的一个对称中心，故②,两式相减得：，在上单调递增，则,则，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；当时，，，故，此时若，在单调递增，符合题意；当时，，，不符合题意；当时，，，故，此时，因为，则，若，在单调递增，符合题意；当时，，，故，此时，，故在上不单调，不符合题意；故选：AC【例10】已知函数.①函数是偶函数；②函数是奇函数；③函数的值域为；④函数的值域为.其中正确的结论序号为___________.【答案】①③【分析】对于选项①②.利用函数奇偶性的定义,即可判断,对于选项③④,先利用三角函数的和差公式以及倍角公式化简,再通过换元,转化为二次函数最值问题即可.【详解】解:因为,所以函数定义域关于原点对称,又,故函数为偶函数.所以①正确,②错误.,令,,所以,所以,函数的值域为,所以③对,④错.故选:①③.【例11】已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或10##10或4【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.【例12】设函数，.若方程在上有4个不相等的实数根，则的取值范围是___________.【答案】【分析】，令，则，由题意，原问题等价于在区间上有两个不相等的实数根，由一元二次方程根的分布即可求解.【详解】解：，令，则，当时，有两个不相等的实数根，当时，有且仅有一个实数根，因为方程在上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于在区间上有两个不相等的实数根，所以有，解得，故答案为：.【例13】若函数的最大值和最小值分别为M、m﹐则函数的图像的对称中心是_________．【答案】(，1)##(0.5，1)【分析】对函数进行化简，结合奇偶性考虑最值，可求出，从而可得函数为定值可求g(x)的对称中心﹒【详解】函数，令，h(x)定义域为R关于原点对称，且，是奇函数，若的最大值为，最小值为，则，∴，，，∴，∴当a＝1时，，∴g(x)关于(，1)中心对称.故答案为：(，1).【例14】已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.(1)图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故的解析式为，令，得函数的递减区间为，.(2)，，，方程可化为，解得或，即或当时，或或解得或或当时，，所以综上知，在时，方程的所有根的和为【例15】已知函数．(1)当时，恒成立，求实数m的取值范围；(2)是否同时存在实数a和正整数n，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在；当时，；当时，；当时，.【分析】（1）求得在区间上的值域，根据二次函数在区间上恒成立问题的等价转化，即可求得的不等关系，求解即可；（2）根据题意，对参数进行分类讨论，(1)当时，，，则要使对任意恒成立，令，则对任意恒成立，只需，解得，实数的取值范围为．(2)假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，即函数与直线在上恰有2021个交点，故数形结合分类讨论如下：①当或时，函数与直线在上无交点；②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，此时要使函数与直线在上有2021个交点，则；③当或时，函数直线在上有两个交点，此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点，不符合；④当时，函数与直线在上有3个交点，此时要使函数与直线在上恰有2021个交点，则；综上所述，存在实数和正整数满足条件：当时，；当时，；当时，.【点睛】本题考查三角函数值域的求解以及图象的绘制、涉及恒成立问题的处理，以及函数零点问题的求解，属综合困难题.模块二：培优试题精选【例1】已知函数，以下结论正确的是（

）A．是的一个周期 B．函数在单调递减C．函数的值域为 D．函数在内有6个零点【答案】C【分析】对于A，根据即可判断；对于B，当将化简，然后检验即可；对于C，求出函数在一个周期的值域，先求当，再求当的值域即可判断；对于D，根据函数为偶函数，可通过区间上零点个数从而确定其零点个数.【详解】因为，所以A错误；当，，其中，不妨令为锐角，所以，所以，因为，所以B错误；因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，，，所以，即；因为关于对称，所以当时，故函数在上的值域为，故C正确；因为函数为偶函数，所以在区间上零点个数可通过区间上零点个数，由，在图像知由2个零点，所以在区间上零点个数为4个，所以D错误．故选:C.【例2】已知函数在R上满足，且时，对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，按、分别探讨函数的性质，借助图象关系及已知列出不等式，求解作答.【详解】令，当时，，若，则当时，，当时，，，函数的图象是由的图象向右平移个单位而得，显然的图象总在的图象的上方，即恒成立，因此，若，当时，，因为奇函数，函数在R上的图象，如图，把的图象向右平移个单位得的图象，要，恒成立，当且仅当射线经平移后在射线及下方，于是得，则，综上得，即，而，解得，所以实数的取值范围为.故选：D【点睛】关键点睛：由一个函数经左右平移得另一函数，两个函数式为不等式的两边的不等式恒成立问题，作出原函数图象，借助图象分析求解是解决问题的关键.【例3】已知函数的图象关于对称，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为，其中，，由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，所以，即，所以，故选：C.【例4】已知函数在上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】先由题意得，在上有且只有一个解，再根据，的值域得到关于b的不等式，进而得到b的取值范围【详解】令，，由函数在上有且仅有1个零点，则方程，其中，有且只有一个解，从而的值域为有限区间，故必有，从而有的值域为，所以，即，从而可以选，故选项C正确．故选：C．【例5】已知，其中.若对一切的恒成立，且，则的单调递增区间是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式，化简得．根据对一切恒成立，可得当时函数有最大值或最小值，从而得出，．再由知，，进而得到，最后根据正弦函数单调增区间即可求得的单调递增区间．【详解】根据题意，可得，其中．对一切恒成立，当时，函数有最大值或最小值．因此，，解得，，，，从而取得到．由此可得，令，得，的单调递增区间是，，．故选：B．【例6】已知函数，现有下列四个结论：①的最小正周期为；②；③的图象关于直线对称；④.其中所有正确结论的序号为(

)A．①③④ B．①②④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根据绝对值对函数图像的影响，作出函数图像，有图像即可判断①③；根据时f(x)的值域可判断范围，根据f(x)在的单调性，可比较的大小.【详解】作出的部分图象，如图所示，由图可知，的最小正周期是，且的图象关于直线对称，故①③正确；当时，，而，∴，故②错误；∵在上单调递增，且，∴，故④正确.故选：A.【例7】（多选题）已知函数，则（

）A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称C．是奇函数D．有4个零点【答案】BD【分析】根据对称性，利用公式，可得A，B的正误，根据函数的图象变换，构造新的函数，利用奇偶性的定义，可得C的正误，根据零点的定义，三角函数与对数函数的性质，可得D的正误.【详解】对于A，，故错误；对于B，，故正确；对于C，，令，则，故错误；对于D，由，则，解得，则有两个解，因为，，，令，则，，由，则在内有两个根，故正确.故选：BD.【例8】（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的图像关于原点对称B．函数在上单调递增C．函数在上的值域为D．函数在上有且仅有3个零点【答案】BD【分析】根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.【详解】对于A，的定义域为R．因为，所以，则函数的图象不关于原点对称，故A错误．对于B，，当，在上单调递增，即，令，时，函数在上单调递增，根据复合函数单调性，故B正确．对于C，当，即时，，则问题转化为函数在上的值域，二次函数对称轴方程为，故函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故值域为，故C错误．对于D，令，即，解得或，当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．故选：BD．【例9】（多选题）已知定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有（

）A．的图象关于对称 B．C． D．有100个零点【答案】ABD【分析】由题设有、、，即关于对称且是周期为4的奇函数，利用周期性求、、，判断A、B、C；再画出与的函数部分图象，数形结合法判断它们的交点情况判断D.【详解】由题设，，即，关于对称，A正确；又，则，即是周期为4的奇函数，由，即，，B正确；，，故，C错误；综上，与的函数部分图象如下：当，过点，故时与无交点；由图知：上与有1个交点；上的每个周期内与有两个交点，共有个交点；而与且，即时无交点；当，过点，故时与无交点；由图知：上与有3个交点；上的每个周期内与有两个交点，共有个交点；而与且，即时无交点；综上，共有个零点，D正确.故选：ABD【例10】（多选题）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（

）A．为函数的一个周期 B．函数的值域为C．函数在上单调递减 D．函数在内有4个零点【答案】CD【分析】A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和得到周期性入手，得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.【详解】选项A：因为，所以A错误；选项B、D：函数定义域为R，并且，所以函数为偶函数；因为，为周期函数，故仅需研究函数在区间上的值域及零点个数即可，因为时，；时，；当时，令，则，可得且仅一个零点；当时，令，则，可得且仅一个零点；所以函数的值域为且在上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．选项C：函数在上，有，所以，则得函数在该区间上为单调减函数．故选项C正确．故选：CD．【例11】（多选题）已知函数，则（

）A．是周期函数 B．在上单调递增C．的值域为 D．的图象关于直线对称【答案】ABCD【分析】A、D应用诱导公式判断、与是否相等即可判断；B、C令，可得，结合二次函数、正弦函数的单调性研究的单调性，并确定值域范围.【详解】A：，故是周期函数，正确；令，则，在且上递增，在且上递减，且且，所以在一个周期内，在上递增，在上递减，而在上递减，在上递增，B：由时，则在上单调递增，正确；C：由上分析知：的值域为，正确；D：，故的图象关于直线对称，正确.故选：ABCD【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合二次函数、正弦型函数及复合函数单调性判断的单调性和值域，代入验证法判断的周期性和对称性.【例12】（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．的周期为 B．关于点对称C．在上的最大值为 D．在上的所有零点之和为【答案】BCD【分析】对A，根据正弦与正切的周期判断即可；对B，计算是否成立即可；对C，求导分析的单调性，进而求得上的最大值即可；对D，根据的对称性与单调性，数形结合分析即可【详解】对A，因为的周期为，的周期为，故的周期为，A错误；对B，因为，故关于点对称，B正确；对C，因为导函数在上为减函数，且当时，，即，故在上，，单调递增；在上，，；对D，分析在上的所有零点即图象交点的横坐标，又均关于对称，故分析时的图象即可.由C选项,在上单调递增；在上单调递减，又关于对称，在上，为减函数，故可画出在区间图象交点有三对关于的对称点，故零点和为,故D正确故选：BCD【例13】（多选题）已知函数，其中，，且满足①；②；③在区间单调，则下述结论中正确的为（

）A． B．C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间单调递增【答案】AB【分析】由①可得在处取得最值，由②可得关于对称，由③可得，结合①②与题设条件可得，进而判断选项【详解】由得：，；由得：，；∴，.由在区间单调得：，，又，综上可得，，，故AB正确；又函数的图象关于点对称，满足在区间单调递减.故CD错误；故选：AB【例14】（多选题）设函数，给出的下列结论中正确的是（

）A．当，时，为偶函数B．当，时，在区间上是单调函数C．当，时，在区间上恰有个零点D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为【答案】ACD【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；对于B选项，当，时，，当时，，此时函数在区间上不单调，B错；对于C选项，当，时，，当时，，由可得，解得，此时在区间上恰有个零点，C对；对于D选项，当，时，，因为，则，①若，即当时，函数在区间上单调递增，则；②若时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，，因为，则，，所以，；③若，即当时，函数在区间上单调递减，则；④若时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，，因为，则，，所以，.综上所述，，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.【例15】已知函数.①函数是偶函数；②函数是奇函数；③函数的值域为；④函数的值域为.其中正确的结论序号为___________.【答案】①③【分析】对于选项①②.利用函数奇偶性的定义,即可判断,对于选项③④,先利用三角函数的和差公式以及倍角公式化简,再通过换元,转化为二次函数最值问题即可.【详解】解:因为,所以函数定义域关于原点对称,又,故函数为偶函数.所以①正确,②错误.,令,,所以,所以,函数的值域为,所以③对,④错.故选:①③.【例16】方程，的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是___________.【答案】1009或1010##1010或1009【分析】构造函数，，分析探讨函数性质，作出函数图象，确定两个函数图象的交点个数计算作答.【详解】方程，令函数，，函数图象关于点对称，函数的图象也关于点对称，其图象如图，区间关于数1对称，函数，在的交点成对出现，它们关于点对称，因方程在上所有根的和等于2024，因此，两函数图象在上有1012对关于点对称的交点，则有或，解得或，所以满足条件的整数m的值是1009或1010.故答案为：1009或1010【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.【例17】高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如．已知函数，函数，则下列命题正确的是__________．①函数是周期函数；

②函数的值域是；③函数的图象关于对称；

④方程只有一个实数根；【答案】②④【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.【详解】由题得函数的定义域为,，所以函数为偶函数，当时，；当时，；当时，；所以函数的图象如图所示，所以函数的图象如图所示，由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；所以函数的值域是，故选项②正确；由，所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；对于方程，当时，，方程有一个实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；故方程只有一个实数根，故选项D正确.故答案为：②④.【例18】函数.(1)若，，求函数的值域；(2)当，且有意义时，①若，求正数的取值范围；②当时，求的最小值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）当时，求得，令，令，，利用双勾函数的单调性可得出函数在上的值域，即可得解；（2）①分析可知，可得出，分、两种情况讨论，化简函数的函数解析式或求出函数的最小值，综合可得出正实数的取值范围；②令，则，可得出，分析可得出，利用双勾函数的基本性质结合比较法可求得.(1)解：当时，，因为，则，令，则，可得，设，其中，令，则，令，其中，下面证明函数在上单调递增，在上单调递减，任取、且，则，当，则，此时，当，则，此时，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，则，因此，函数在上的值域为.(2)解：因为，则，令，设，①若，必有，因为，则，当时，即当时，则，可得，合乎题意；当时，即当且时，则，合乎题意.综上所述，；②令，则，则，令，下面证明函数在上单调递减，在上为增函数，任取、且，则，，所以，，所以，，故函数在上单调递减，同理可证函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，因为，则，且，所以，，又，，，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，当时，，，，由双勾函数性质可得，综上所述.【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果.【例19】已知函数．(1)若，，求的对称中心；(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)或;(2);(3).【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值；（3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围．(1)∵的最小正周期为，又∵，，∴的最小正周期是，故，解得，当时，，由，的对称中心为；当时，，由，的对称中心为；综上所述，的对称中心为或.(2)∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，∴.又∵是的一个零点，，即，∴或，解得或，由可得∴，最小正周期.令，则即或，解得或，；若函数在（且）上恰好有10个零点，故要使最小，须、恰好为的零点，故.(3)由（2）知，对任意，存在，使得成立，则，当时，，当时，，由可得，解得，故实数的取值范围为.【点睛】本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．【例20】已知．(1)当时，求的值；(2)若的最小值为，求实数的值；(3)是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，的取值范围为【分析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论，求出最小值时m的值；（3）换元法，参变分离，转化为在恒成立，根据单调性求出取得最大值，进而求出的取值范围.(1)，当时，(2)设，则，，，其对称轴为，的最小值为，则；

的最小值为；则综上，或(3)由，对所有都成立.设，则，恒成立，

在恒成立，当时，递减，则在递增，时取得最大值得,∴所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为【例21】已知函数，，.(1)求函数的定义域；(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角关系式及三角函数的符号可得，然后利用对数函数及余弦函数的性质即求；（2）由题可得，结合条件可得，然后利用正弦函数的性质可得，即求.(1)∵函数，∴，又，∴，∴，同理，∴，由，得，由，得，即，∴函数的定义域为；(2)∵，∴在区间上为增函数，∴，，∴，令，；解之得，则函数的单调递增区间为，，∴，解之得，，又，∴，∴.【例22】已知函数，则的最小正周期为___________；当时，的值域为___________.【答案】

【分析】先根据函数周期性的定义说明是函数的一个周期，在利用导数说明函数的单调性，从而证明是最小正周期；根据函数的单调性可求得最大值，再比较时端点处的函数值大小，即可求得答案.【详解】因为，故为的一个周期,而当时，，由题意可知，令，得，故，，因为当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为π，且在上的最大值为，而，，故，故当时，函数的值域为,故答案为：；模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（2018吉林预赛）已知，则对任意，下列说法中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，所以该式不一定成立，sinx有可能是负数，所以选项A错误；.所以选项B正确；=表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到，所以选项C正确；，所以选项D正确.故答案为A【例2】（2018四川预赛）函数的最大值为（

）.A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【详解】因为，令，则，于是令，则.由知或1.因为，于是的最小值是，所以的最大值是.故答案为:B【例3】（2019全国竞赛）对任意闭区间，用表示函数在上的最大值．若正数满足，则的值为．【答案】或【详解】若，,与条件不符，所以，此时，，于是存在非负整数，使得①，且①处至少有一处取到等号。当时，得或，经检验得或均满足条件；当时，由于，故不存在满足①的。综上或。【例4】（2016全国竞赛）设函数，其中是一个正整数。若对任意实数，均有，则的最小值为【答案】16【详解】由条件知，其中当且仅当时，取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点，从而，即．反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时成立．综上可知，正整数的最小值为．【例5】（2019全国竞赛）函数的值域为（

）（表示不超过实数的最大整数）.A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】..下面的讨论均视.（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当或时，；（5）当时，；（6）当时，；（7）当时，.综上，.故答案为D【例6】（2021全国竞赛）函数的最小正周期为____________．【答案】【解析】【详解】解析：当时，，当时，，其中且，画出图象可得函数周期为．故答案为：.【例7】（2021浙江竞赛）若，则函数的最小值为______.【答案】【详解】令，,当且仅当即时取等号.故答案为：.【例8】（2015全国竞赛）设是正实数，若存在，使得，则的取值范围是【答案】【详解】由知，，而，故题目条件等价于：存在整数，使得．①当时，区间的长度不小于，故必存在满足①式．当时，注意到，故仅需考虑如下几种情况：(i)，此时且无解；(ii)，此时;(iii)，此时,得．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到亦满足条件，可知．【例9】（2019江苏竞赛）已知函数的最小值为－6，则实数a的值为________.【答案】【解析】【详解】令，则，∴，∴，当，时，函数的最小值为：，解得：，不合题意，舍去；当，时，函数的最小值为：，解得：，不合题意，舍去；当，时，函数的最小值为：，解得：，满足题意.故答案为：．【例10】（2018全国竞赛）已知函数在有最大值2.求实数的值.【答案】【解析】【详解】注意到，.令.则.由，有以下两种情形.（1）.由，知，矛盾.（2）.若，即时，；若，即时，，矛盾；若，即时，，矛盾.综上，.【例11】（2007全国竞赛）设函数。