第4讲高二学科素养能力竞赛双曲线专题训练

第4讲高一学科素养能力竞赛双曲线专题训练【题型目录】模块一：易错试题精选模块二：培优试题精选模块三：全国高中数学联赛试题精选【典型例题】模块一：易错试题精选【例1】动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，知，当时，，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．故选：C.【例2】已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（

）A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线【答案】A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离只差可知.【详解】由题意及图可知，，因为O、M分别为的中点，所以，所以故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线.故选：A【例3】已知双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根据已知条件求出的值，再利用双曲线的定义可求得.【详解】解：双曲线C的渐近线方程为，则，所以，，，由双曲线定义可知，则或，又因为，故，故选：A．【例4】已知曲线的方程为，下列说法正确的是（

）A．若，则曲线为椭圆B．若，则曲线为双曲线C．若曲线为焦点在轴的椭圆，则D．若为双曲线，则渐近线方程为【答案】BD【分析】根据椭圆及双曲线的标准方程可判断ABC，由双曲线的性质可判断D.【详解】对于A，当时，满足，曲线不为椭圆，故错误；对于B，当时，由双曲线标准方程知，是双曲线，故正确；对于C，由可得，若表示焦点在轴的椭圆，则，即，故错误；对于D，若为双曲线，则由可得，即双曲线的渐近线方程为，故正确.故选：BD【例5】设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，可得|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1.【详解】由题意可知：双曲线焦点在x轴上，a=4，b=3，c=5，设双曲线的右焦点F2（5，0），左焦点F（﹣5，0），由OM为△PFF1中位线，则丨OM丨=丨PF2丨，由PF与圆x2+y2=16相切于点N，则△ONF为直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣16=9，则丨NF丨=3，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣3，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣3﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣3=×2a﹣3=1，∴|MN|﹣|MO|=1，故选：B．【例6】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C.【例7】已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是______．【答案】72【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积.【详解】由可知，因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积,故答案为：72【例8】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．【例9】设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．【答案】【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为．【例10】已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义及几何性质结合向量的数量积直接可得离心率.【详解】，则，又因为，，即，所以，，所以，则，故选：B.【例11】已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圆的对称性，并联立渐近线方程求、坐标，结合已知易得，根据得到齐次方程求参数关系，即可得离心率.【详解】设以为直径的圆的方程为，且、关于原点对称，由，解得或，∴，．∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴．故选：D【例12】（多选题）设双曲线的左右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于､两点，且，则的离心率可以为（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】当直线与双曲线交于两支时，设过的切线与圆相切于点，从而可求得，过点作于点，由中位线的性质求得，在中，可求得，利用双曲线的定义可得的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率【详解】当直线与双曲线交于两支时，设过的切线与圆相切于点，则，因为，所以，过点作于点，所以∥，因为为的中点，所以，，因为，为锐角，所以，所以，所以，所以，因为，所以，化简得，所以，所以离心率为，当直线与双曲线交于一支时，记切点为，连接，则，过作于，则，所以，因为，所以为锐角，所以，所以，，所以,所以，化简得，所以，所以离心率为，综上，双曲线的离心率为或，故选：BD【例13】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】设双曲线的焦点在轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率必须满足，∴，，既有，又双曲线的离心率为，∴．【例14】（2022四川成都七中高三开学考试（理））已知双曲线，，是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】将题意转化为以，为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可.【详解】以，为直径的圆与线段BF有两个不同的交点，所以，，解得；且圆心到直线BF：的距离，化简得，所以，，又，解得，所以双曲线离心率的取值范围是．故选：B【例15】（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由条件得出为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长，短半轴，长半焦距的关系，从而得出椭圆的离心率；然后在焦点三角形中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为，半焦距为的关系，从而得出双曲线的离心率，依次对选项验证即可。【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为，则，所以，则．在中，，设，，双曲线的实半轴长为，则（在中，由余弦定理可得），故，故，又，所以，即，故，，，，选BD．故选：BD【例16】（多选题）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（

）A．的周长 B．的周长与之差C． D．【答案】BD【解析】【分析】如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，可判断A，根据双曲线定义求解可判断B，设，则根据商与积的值可判断CD．【详解】如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，故A不正确；的周长为所以的周长与之差为，故B正确；设，则，由不是常量，故C不正确；由为常量，故D正确；故选：BD【例17】已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．【详解】若，，且，则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，∴，，∴双曲线方程为，其渐近线方程为，则曲线上存在点满足，等价于与双曲线相交，∴．故答案为：．【例18】已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意求得a,b,c,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.【详解】由题意可得，又，故，所以，则双曲线方程为，结合双曲线定义可得，如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，此时直线方程为，联立，解得点Q的坐标为,(Q为双曲线右支上的一点)，故，故选：B模块二：培优试题精选【例1】已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得，,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．则，，解得，，如图：在中,根据余弦定理可得：，整理得，即，设则有，，所以，即有，所以，所以===，设,则,令，得，所以在上恒成立,所以在上单调递减，当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，所以，即：.故选：C.【例2】已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设上的切点分别为H､I､J，则.由，得，∴，即.设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，，当时，；当时，由题知，，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，综上所述，.故选：B.【例3】设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设为的中点，连接.易知，所以，所以.因为为的中点，所以.设，因为，所以.因为，所以.所以.因为是的中点，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因为直线的斜率为，所以，所以，，所以离心率为.故选：A【点睛】求双曲线离心率的方法有：（1）直接法：利用已知条件将求出，从而求得离心率；（2）方程法：利用已知条件列出关于或的方程，化简求得离心率.【例4】已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为，所以是的角平分线，又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，，，可知为的重心，设，，，由重心性质可得，即，又为的内心，所以，因为，所以，，则，所以双曲线的离心率.故选：C.【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设的角，，所对边分别为，，，则（1）的重心满足；（2）的内心满足；（3）的外心满足.【例5】已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（

）A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2【答案】D【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出的取值范围；选项B，利用坐标表示出，从而找到与之间的关系；选项C，由可知；选项D，利用借助基本不等式可得，故该选项错误.【详解】参考结论：已知双曲线方程为：，，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则．推导：由得，，则，，所以解析：，，，，则选项A，双曲线，所以渐近线方程为，直线与双曲线交于P，Q两点，所以，由已知，，所以该选项正确；选项B，，所以该选项正确；选项C，，∴，∴，所以该选项正确；选项D，因为，所以，故该选项错误；故选：D.【例6】已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出，求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出，从而求出离心率.【详解】由题意得：渐近线方程为，设切线方程为，联立得：，由得：，解得：，所以切线方程为，令得：，所以，联立与，解得：，联立与，解得：，因为N为MQ的中点，所以，解得：，所以离心率为故选：A【例7】（多选题）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，为中点．设双曲线的离心率为，则下列说法中，正确的有（

）A． B．C． D．若，则恒成立【答案】ABC【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D.【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确；对继续变形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正确；设，，，将坐标代入双曲线方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正确；设直线，则直线，将代入双曲线方程，可得，则，，将换成即得，则与，的值有关，故D错误，故选：ABC．【点睛】点差法是解决中点弦问题的常用的方法.【例8】（多选题）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为C．为定值 D．存在点，使得【答案】ABD【分析】对于AB，利用双曲线的概念及几何性质可以容易判断；对于C，利用点在双曲线上得到，进而直接化简即可；对于D，利用的范围可以判断得范围，进而可以判断存在点与否.【详解】因为双曲线的右焦点在直线上，易得右焦点坐标为，故，由于离心率为，则，所以，所以双曲线方程为，故B正确；易得双曲线渐近线方程为，故A正确；设点，又、，则，即，故，故C错误；因为在第一象限，则，即，即，，所以，故存在点，使得，故D正确.故选：ABD.【例9】（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（

）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则【答案】ABD【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.【详解】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，则，又，则，A正确；对于B，设，则，由A选项知，即，又，，故，解得，即，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，解得，代入可得，即，解得，则C的离心率为，C错误；对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，则，又，可得，则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，，，在中，可得，即，整理得，D正确.故选：ABD.【例10】（多选题）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．为定值 D．的取值范围为【答案】BCD【分析】求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化简后再判断选项C；求得的取值范围判断选项D.【详解】设，则，因为，，故，依题意有，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，离心率，故选项A错误，选项B正确；因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，所以，故C正确；设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，则，根据对称性不妨设P在x轴上方，则，则，则，因为P在x轴上方，则，或，函数在和上单调递增，所以，故D正确.故选：BCD.【例11】已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为_______．【答案】【分析】由题意写出明确两曲线的焦点，可求得P点坐标，进而求出P点处的切线方程，利用圆的切线性质结合双曲线几何性质求出三角形内切圆圆心的横坐标，再表示出直线的方程，联立解得N点横坐标，即可求得答案.【详解】由题意得，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，即C,E有相同的焦点，则，联立,消去，得，对于椭圆，设为椭圆上一点，令，则椭圆化为圆，即为，由圆上一点处的切线方程可知在处的切线方程为，故可得椭圆在处的切线方程为，即，故由直线为曲线在点处的切线，P点在第一象限，则，可得直线方程为①，设三角形内切圆半径为，则由等面积可得，

②，又由于P在双曲线上，设三角形内切圆圆心，各边上的切点分别为，如图：由圆的切线性质可得，则,即，即M点横坐标为1，由可得直线的方程为

③

，联立①②③，化简可得；又，故答案为：【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的几何性质的应用，综合性强，涉及到知识面比较广，计算量大，解答时要能熟练掌握切线的求解，以及圆的几何性质的应用，并能熟练应用椭圆以及双曲线的几何性质.【例12】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.【答案】##【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.【详解】解：如图：设的中点为，连接，，因为，所以，因为为的中点，所以，由，得，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，即，整理可得，即，所以，所以或（舍），所以离心率，故答案为：.【例13】如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值______．【答案】【分析】根据题意得到，求得，设，可得，进而求得和，即可求得的值.【详解】因为以为直径的圆内切于菱形，可得点到直线的距离为，又因为虚轴的两端点为，所以，在中，由三角形的面积公式值，即，因为，可得，即，又因为，解得，设，可得，所以，在中，可得，所以，菱形的面积，所以.故答案为：.【例14】已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，e，则___________.【答案】【分析】根据双曲线的定义，设，结合利用余弦定理可得，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可【详解】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得故答案为：【例15】已知椭圆C：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为，且，①求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；②当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)①证明见解析，定点；②.【分析】（1）由给定的双曲线求出a，再由椭圆过的点求解作答.（2）①直线斜率存在时，设出其方程并与C的方程联立，利用韦达定理结合已知计算判断，再验证斜率不存在的情况作答；②由①中动直线，确定点O到直线AB的最大距离即可求解作答.（1）双曲线的实半轴长为，则，即椭圆C：过点，有，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为：，，由消去y并整理得：，，有，则，，，，，即，整理得，满足，直线AB的方程：，即，直线AB过定点，当直线斜率不存在时，设，则，，，解得，直线：过点，所以直线恒过定点，此定点坐标为.②由①知，直线过点，显然在椭圆内，并且为定值，因此当且仅当直线时，坐标原点O到直线AB的距离最大，此时直线AB的斜率，方程为，所以直线AB的方程为.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.【例16】设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．【答案】(1)1；(2)证明见解析.【分析】（1）求出双曲线C的渐近线方程，再利用给定条件列式计算作答.（2）设出直线l与x轴的交点坐标及直线l的方程，与双曲线C的方程联立，借助韦达定理及向量共线求解作答.（1）双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，所以．（2）由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，设，则，由消去y并整理得，显然有且，化简得且，则，，而，F，N三点共线，即，则，因此，又，有，整理得，于是得，化简得，即直线：，过定点，所以直线l经过x轴上的一个定点．【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.【例17】已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM､AN分别交双曲线于M､NAM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.(1)求双曲线的方程；(2)过点A作（D为垂足），请问：是否存在定点E，使得为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，定值为【分析】（1）设出M、N点的坐标，代入双曲线方程后利用两式相减以及斜率公式即可求得双曲线的方程.（2）根据是否垂直分情况讨论，利用直线和双曲线方程联立后用韦达定理即可求得为定值.（1）解：设､，线段AM､AN的中点分别为､，由已知，得；两式相减，得，即①根据中点坐标及斜率公式，得，，，.代入①，得②同理，得③，②③相乘，得.∵，，∴④由，与④联立，得，，双曲线的方程为：.（2）解：①当时，设，，，，由AM､AN互相垂直，得，由解得（此时无实数解，故舍去），或（此时M､N至少一个点与A重合，与条件不符，故舍去）.综上，此时无符合条件的解.②当不成立时，设直线，､代入得，且∵∴，即，解得：或.当时，过点，与条件不符，舍去.∴，，过定点∴AP中点，由于（D为垂足），故.综上所述，存在定点，使得为定值.【例18】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）双曲线上任一点P到两渐近线的距离分别为，则的积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式表示出，整理化简即可.【详解】双曲线的两渐近线方程为：或.设点，则，即.所以，所以.故选：A【例2】（2021·全国·高三竞赛）已知的四个顶点均在双曲线上，点在边上，且，则的面积等于_______.【答案】【解析】【分析】由对称性，知O为平行四边形的中心，设，得，将点A、B的坐标代入双曲线方程，求得A、B的坐标，利用等面积法知，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O为平行四边形的中心，由A、B、C、D四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A、D在左支上，B、C在右支上，如图：考虑A、B关于双曲线中心的对称点，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知，所以的对称中心为O.设，由，得.将点A、B的坐标代入双曲线方程得，解得：或所以或.故.故答案为：【例3】（2013·黑龙江·高三竞赛）设、分别是双曲线：(，)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点，使得，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（

）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由数量积为0推导出，在中求得，由双曲线定义把用表示，在用正弦的定义可得离心率．【详解】∵，∴，即，，∴，在中，∴，又，∴，，∴，，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于的齐次式，本题中利用向量的数量积得出，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得的齐次式，从而求得离心率．【例4】（2018·全国·高三竞赛）已知双曲线的左焦点为，左、右顶点为、，为双曲线上任意一点，则分别以线段，为直径的两个圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能【答案】B【详解】如图所示，若在双曲线左支，则，即圆心距为半径之和，两圆外切；若在双曲线右支，则，两圆内切，所以两圆相切，故选．【例5】（2021·全国·高三竞赛）已知双曲线的左右焦点为、，过的直线与双曲线右支交于A、B两点，则、的内切圆面积之和的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】解析：令、的内切圆心为、，与x轴切于M，N，则，所以M、N重合于双曲线右顶点．过的直线与双曲线右支交于A、B两点，令，内切圆面积和为．故答案为：.【例6】（2017·广西·陆川中学高二竞赛（理））设，是椭圆与双曲线的公共焦点（、分别为左、右焦点），它们在第一象限交于点，离心率分别为和，且线段的垂直平分线过，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合椭圆、双曲线的定义列方程，结合椭圆、双曲线的离心率以及基本不等式求得正确答案.【详解】依题意可知：在第一象限，且，根据椭圆、双曲线的定义有，两式得，，当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.故选：D【例7】（2021·全国·高三竞赛）设双曲线的中心为O，右焦点为F，点B满足．若在的右支上存在一点A，使得且，则离心率的取值范围为___________．【答案】【解析】【详解】在平面直角坐标系中考虑问题．不妨设A在第一象限．A是以O为圆心，为半径的圆与的交点．设的左焦点为X，则，，即．在上取一点C，使，则．由双曲线的定义知（a是实半轴长），即（c是半焦距）．代入，得．解得．故答案为：【例8】（2017·广西·陆川中学高三竞赛（理））已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断出三角形是直角三角形，结合求得的关系，再结合双曲线的定义列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由，得，即以为直径的圆，于是，即三角形是直角三角形，由于，则，于是，，由，得，所以.故选：D【例9】（2021·全国·高三竞赛）双曲线，左右顶点分别为､，P为双曲线右支上一点，且，则___________.【答案】【解析】【详解】设直线的倾斜角分别为，则，故，而，故，故答案为：.【例10】（2022·江苏苏州·高二竞赛）已知双曲线C：（，）的左､右焦点为，，离心率为，若过的直线l与圆相切于点T，且l与双曲线C的右支交于点P，则___________.【答案】4【分析】根据离心率得出的关系，作交于点，是的中点求得，，利用和求出可得答案.【详解】如图，由题可知，则,，则，因为，，所以，作交于点，因为是的中点，所以是的中点，所以，，因为，所以，即，又，可得，则，所以，，所以..故答案为：【例11】（2019·四川·高三竞赛）双曲线的右焦点为F，离心率为e，过点F且倾斜角为的直线与该双曲线交于点A、B，若AB的中点为M，且|FM|等于半焦距，则_____.【答案】【解析】【详解】设点，则.两式相减，得，所以AB的斜率为.又，所以M点的坐标为.所以，所以.故答案为：．【例12】（2018·黑龙江·高三竞赛）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.【答案】【分析】先根据题意得，再根据双曲线的定义得，，再在中，利用勾股定理即可求得.【详解】解：如图，可设为双曲线右支上一点，由，在直角三角形中，，由双曲线的定义可得：，由，即有，即为，，解得，，由勾股定理可得：，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出之间的关系，求出离心率．【例13】（2019·福建·高三竞赛）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中F1为左焦点．点P为两曲线在第一象限的交点，e1、e2分别为曲线C1、C2的离心率，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e2﹣e1的取值范围为_____．【答案】【分析】由是以为底边的等腰三角形，得到，根据椭圆和双曲线的定义，求得，结合离心率的概念，得出，再结合，即可求得取值