第05讲利用导数研究不等式能成立（有解）问题高频精讲

第05讲利用导数研究不等式能成立（有解）问题(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：分离变量法 2高频考点二：分类讨论法 7高频考点三：等价转化法 12高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题 15高频考点五：值域法解决双参等式问题 19温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.4、最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：分离变量法典型例题例题1．（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行，若存在，使得不等式成立，则实数的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】函数的导数为，由题意可得的图象在处的切线的斜率为，由切线与直线平行，可得，解得.若存在，使得不等式成立，即为在时有解，故在时有解，令，，则，易得，时，恒成立，故时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故时，取得最小值，则，可得的最小值为3.故选：C.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.(1)求函数的解析式；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，因此，解得，此时，当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，所以函数的解析式为.（2），不等式，令，，求导得，因此函数在上单调递减，则当时，，因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，所以实数的取值范围是.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．(1)求的极值；(2)若在时有解，求实数的取值范围．【答案】(1)极小值为0，无极大值；(2)【详解】（1），当时，，当时，，则在上单减，在上单增，故的极小值为，无极大值.（2）在时有解，即在时有解，令，则，由（1）知在上单增，且，则，则当时，单减，当时，单增，所以，故.例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求整数的最小值．【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）5【详解】（1）由题意可知，，，当时，令，或；时，，在单调递增；时，，在单调递减；综上所述，的增区间为，减区间为（2）原式等价于，即存在，使成立．设，，则，设，则，∴在上单调递增．又，，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即，∴.由题意可知，又，，∴a的最小值为5．练透核心考点1．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.【答案】【详解】，，，，令，则若关于的不等式有解，则，，，则当时，，当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，则，则，故实数的取值范围是，故答案为：.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)（1），则．因为函数在处取得极值4，所以，解得此时．易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意．故，．（2）若存在，使成立，则．由（1）得，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．(1)求函数；(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1);(2).(1)∵，由，得且，解得，，又，∴，经检验，时，满足题意,∴；(2)存在，使得，等价于，∵，当时，，当时，，∴在上递减，在上递增，又，，∴在上的最小值为，∴，解得或，所以的取值范围是．高频考点二：分类讨论法典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.当时，时，；时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，时，；时，所以函数在上单调递增，在上单调递减.综上：时在上单调递增.时在上单调递增，在上单调递减时在上单调递增，在上单调递减.（2）若在区间上有解，即求当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.当时在上单调递增，在上单调递减当时，所以函数在单调递减，所以成立，满足题意.时，函数在单调递减，在上单调递增.所以不成立，舍去时在上单调递增，在上单调递减.所以函数在单调递增，，所以综上的取值范围为：例题2．（2023春·四川遂宁·高三四川省大英中学校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）．(1)若时，求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【详解】（1）若时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意可知，即求成立的的取值范围，因为，，所以，所以（当且仅当时取等号），即，即求对任意成立的的取值范围，当时，，此时在上单调递增，且有，不满足；当时，易知，显然成立；当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为．例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.【答案】（1）只有1个零点；（2）.【详解】（1）函数只有1个零点.(，，当时，，或；当时，，所以在和上递增，在上递减，所以有极大值和极小值，且，所以函数只有1个零点.）（2）令，则，当时，，或，当时，，当时，，或则当变化时，及的变化情况如下表：-200极小值极大值由上表可知，函数的增区间是，减区间是和，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，由，当时，，当时，，所以，轴是函数的图象的渐近线所以，当时，函数的最小值为，若，使关于的不等式能成立，则大于的最小值，即，所以，实数的取值范围是（2）另法：关于的不等式能成立等价于不等式能成立，当时，能成立，满足条件；当时，抛物线开口向上，，使成立，满足条件；当时，只需，即，解得；综上，实数的取值范围是.练透核心考点1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数．（1）讨论的单调性﹔（2）若存在，求的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，，当时，，则在上递增，当时﹐由得，由，得，由，得，于是有在上递增，在上递减；由，得，，当时，，满足题意，当时，令，，在上递增，则不合题意，当时，由，得，由，得，于是有在上递减，在上递增，，则时，，综上，的取值范围为．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；(2).【详解】(1)由题意知，，令，当时，恒成立，∴当时，，即；当时，，即；∴函数在上单调递增，在上单调递减.(2)因为，由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①当时，对任意，都有，∴函数在上单调递减，成立，解得，；②当时，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又，，解得无解；③当时，对任意的，都有，∴函数在上单调递增，，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.高频考点三：等价转化法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设函数，若存在，使得，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1）当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；当a＞0时，令得；令得；综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；（2）由题意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解则ax≤x－2＋2lnx，．令，xg'(x)＋0－g(x)↗极大值↘所以，因此有所以a的取值范围为：例题2．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知函数，(1)若，试确定函数的单调区间；(2)若，且对于任意，恒成立，求实数的取值范围；(3)令，若至少存在一个实数，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)(3)【详解】（1）若，则，可得，令，解得，则，；，；故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）则，可得，令，解得，则，；，；故的单调递增区间为，单调递减区间为.当，即时，在上单调递增，则，即符合题意；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则，解得；综上所述：实数k的取值范围为.（3）若，则，可得，故原题意等价于至少存在一个实数，使成立，构建，则对恒成立，故在上单调递增，则，可得，故实数k的取值范围为,练透核心考点1．（2023秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知函数在处有极值．（1）求的解析式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【详解】（1），，因为函数在处有极值，得，，解得，，所以；（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则不等式对任意的恒成立，则.．又函数的定义域为.①当时，对任意的，，则函数在上单调递增．又，所以不等式不恒成立；②当时，．令，得，当时，；当时，．因此，函数在上单调递增，在上单调递减．故函数的最大值为，由题意得需.令，函数在上单调递减，又，由，得，，因此，实数的取值范围是；高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题典型例题例题1．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，）【答案】C【详解】，使得成立，则，由题得，所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增，所以，由题得，∴故选：C例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________.【答案】【详解】由题意得，时，故在上单调递增，，时，时故在上单调递增，在上单调递减，，解得故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2).【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而，当时，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，任意，存在，使等价于，恒成立，则有，成立，令，则，当时，，当时，，即有在上单调递增，在上单调递减，，因此当时，最大值为，则，所以实数的取值范围是.练透核心考点1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C2．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）已知函数（）．(1)当，求f（x）的极值．(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3(2)【详解】（1）的定义域为，当时，，∴，令，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；（2），令，若，则，∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，∴当时，f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最大值为，，令，得，当时，，∴单调递减，当时，，∴g（x）单调递增，∴在上的最小值为，由题意可知，解得，又∵，∴实数a的取值范围为[1，4）．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若，，使得，求实数a的取值范围.【答案】（1）最大值为1，最小值为；（2）a≥-4.【详解】解：（1），令，则.得当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.因此在区间上的最大值为1，最小值为..（2）依题意知.∵∴，∴在[1，2]上是减函数，∴因此，则高频考点五：值域法解决双参等式问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（）A．[﹣，1] B．[，] C．[，] D．[，2]【答案】B【详解】当x∈[0，]时，y=﹣x，值域是[0，]；x∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣]，∵存在