生物统计学-单因素方差分析

章单因素方差分析One-factorAnalysisofVariance（ANOVA)2021/5/91为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙和高剂量钙（1.5%）3种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？表7.13种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值学过的统计学知识进行检验?常规剂量钙(0.5%)中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)332.96253.21232.55297.64235.87217.71312.57269.3216.15295.47258.9220.72284.25254.39219.46307.97200.87247.47292.12227.79280.75244.61237.05196.01261.46216.85208.24286.46238.03198.41322.49238.19240.35282.42243.49219.562021/5/92单因素方差分析的典型数据

重复次数

Y1Y2Y3…Yi…Ya(level)1y11y21y31yi1y.12y12y22y32yi2y.23y13y23y33yi3y.3..jy1jy2jy3jyijy.j..ny1ny2ny3nyiny.n平均数Y1.Y2.Y3.…Yi.…Y..因素也称为处理(treatment)因素（factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”，a个处理组）,各重复n次。一.方差分析基础2021/5/93第一类错误的概率增大a=0.05(犯第一类错误的概率，假阳性）1-a=0.95（不犯第一类错误的概率）检验3次，不犯第一类错误的概率为：0.953=0.857375犯第一类错误的概率为：1-0.857375=0.142625

统计资料的浪费，检验准确性的降低2021/5/94AnalysisofVariance(ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称F检验（Ftest）。用于推断多个总体均数有无差异方差分析基础2021/5/95一.方差分析的基础二.完全随机设计的单因素方差分析三.多个样本均数间的多重比较四.方差分析的假定条件2021/5/96单因素方差分析的典型数据

重复次数

Y1Y2Y3…Yi…Ya(level)1y11y21y31yi1y.12y12y22y32yi2y.23y13y23y33yi3y.3..jy1jy2jy3jyijy.j..ny1ny2ny3nyiny.n平均数Y1.Y2.Y3.…Yi.…Y..因素也称为处理(treatment)因素（factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”，a个处理组）,各重复n次。一.方差分析基础2021/5/971.方差分析的基本思想所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。2021/5/981.离均差=（x-）2.离均差之和=∑（x-）=03.离均差平方和SS=∑（x-）2虽然离均差（deviationfromaverage)

可以衡量变异程度，但是离均差之和为0，所以不是理想的指标为了合理地计算平均差异，用平方和的办法来消除离均差的正负号，离均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不同样本的观察值个数不同，所以离均差平方和也不是理想指标将离均差平方和求平均数，称为样本方差(均方差meandeviation,MD)，目的是消除观察值个数的影响样本均方开方，目的是使变异还原，即标准差（

StandardDeviation）。2021/5/991.方差分析的基本思想所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。一.方差分析基础总变异（Totalvariation,SS总）：全部测量值Yij与总均数

间的差异

组间变异（betweengroupvariation,SS组间）：各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation,SS组内)：每组的每个测量值Yij与该组均数的差异2021/5/9103.三种“变异”的计算

总变异（totalvariation):所有测量值之间总的变异程度

包含了：处理效应和随机误差

组间变异（variationbetweengroups):各组均数Yi的变异程度

包含了：处理效应和随机误差

2021/5/911

组内变异（variationwithingroups):

各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度

包含了：随机误差

2021/5/912离均差平方和的分解组间变异总变异组内变异2.三种“变异”之间的关系离均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)SS总=SS组间+SS组内V总=V组间+V组内检验样本平均数之间的变异（方差）的大小2021/5/913One-FactorANOVA

PartitionsofTotalVariationVariationDuetoTreatmentSSBVariationDuetoRandomSamplingSSWTotalVariationSSTCommonlyreferredtoas:SumofSquaresWithin,orSumofSquaresError,orWithinGroupsVariationCommonlyreferredtoas:SumofSquaresAmong,orSumofSquaresBetween,orSumofSquaresModel,orAmongGroupsVariation=+2021/5/914均方差，均方(meansquare，MS)变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。

F值与F分布

如果各组样本的总体均数相等（H0），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间均方与组内均方的比值称为F统计量

F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F值越大，拒绝H0的理由越充分。2021/5/915F分布曲线数理统计的理论证明，当H0成立时，F统计量服从F分布2021/5/916二.完全随机设计的单因素方差分析为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙和高剂量钙（1.5%）3种不同的高脂饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？体重：观测变量单因素（onefactor):不同剂量的钙(控制变量）水平（level）：3个，高中低完全随机涉及：36只肥胖模型大白鼠随机等分为3组2021/5/917常规剂量钙(0.5%)中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)332.96253.21232.55297.64235.87217.71312.57269.3216.15295.47258.9220.72284.25254.39219.46307.97200.87247.47292.12227.79280.75244.61237.05196.01261.46216.85208.24286.46238.03198.41322.49238.19240.35282.42243.49219.56平均数293.37239.50224.78252.552021/5/918方差分析的基本步骤解:1.H0:3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平相同建立假设检验确定检验水准H1:3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同a=0.052021/5/9192021/5/920方差分析的基本步骤解:1.H0:3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平相同3.根据v1=v组间=2，v2=v组内=33，在附表中无v=33,在保守的原则下取不大于33且接近于33的数值，30，得F0.05(2,32)=3.316,F0.01（2,32）=5.390，由F=31.36知P<0.01,按照P<0.05水准，拒绝H0,差异具有统计学意义，可以认为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同。建立假设检验确定检验水准计算检验统计量确定P值作出推断H1:3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同a=0.052.方差分析表2021/5/921三.平均值之间的多重比较不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足分析终止拒绝H0，接受H1,表示总体均数不全相等哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？

需要进一步作多重比较。2021/5/922

H0:μi=

μjH1:μi≠

μj事先指定的两个组(i,j)进行比较：一类错误的概率为：比较性错误率（comparison-wiseerrorrate,CER)任意两组之间的比较：一类错误的概率为：试验性错误率(Experiment-wiseerrorrate,EER)避免应用t检验反复进行比较避免没有任何生物学意义的反复比较2021/5/9231.LSD-ttest(leastsignificantdifference)法联合估计的方差，用MSE代替(所有组联合估计，比两个组的数据联合估计更好）MSE的自由度，临界值：t0.05,N-a

适用于：事先指定的两个组进行比较2021/5/924应用解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：μA=μB,即两对比组总体均数相等H1：μA≠μB,即两对比组总体均数不等α=0.052.计算检验统计量3.确定P值，作出判断按照α=0.05水准，组次1与2比较，拒绝H0,差别有统计学意义，喂养中等剂量钙9周后体重不同。2021/5/925应用解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：μA=μB,即两对比组总体均数相等H1：μA≠μB,即两对比组总体均数不等α=0.052.计算检验统计量3.确定P值，作出判断按照α=0.05水准，组次1与3比较，拒绝H0,差别有统计学意义，喂养高等剂量钙9周后体重不同。2021/5/9262.

SNK(student-Newman-Keuls)SNKqtest根据q值的抽样分布作出统计推论。1．将各组的平均值按由大到小的顺序排列：顺序 (1) (2) (3)

平均值 YB YC YA

原组号 B C A 2.计算两个平均值之间的差值及组间跨度a3.计算统计量q值4.根据计算的q值及查附表得到的q界值，作出统计推断。2021/5/927应用解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：μA=μB,即两对比组总体均数相等H0：μA≠μB,即两对比组总体均数不等a=0.052.计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次3.确定P值，作出判断按照a=0.05水准，组次1与2、1与3比较均拒绝H0,差别有统计学意义，喂养9周后体重差值不同。组次2与3不拒绝H0,差别无统计学意义，喂养9周后体重差值相同。2021/5/9282021/5/929<<<<<2021/5/9302.其他方法：Bonferroni法，Dunnett法等(了解，自学）

Bonferroni方法采用α＝α’/c作为下结论时所采用的检验水准。c为两两比较次数，α'为累积I类错误的概率。适用性当比较次数不多时，Bonferroni法的效果较好。但当比较次数较多(例如在10次以上)时，则由于其检验水准选择得过低，结论偏于保守，犯假阳性几率低。2021/5/931应用解：1.建立假设检验，确定检验水准H0：μA=μB,即两对比组总体均数相等H0：μA=μB,即两对比组总体均数不等α=0.05,α’=0.01672.计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次3.确定P值，作出判断按照α=0.05水准，组次1与2、1与3比较均拒绝H0,差别有统计学意义，喂养9周后体重差值不同。组次2与3不拒绝H0,差别无统计学意义，喂养9周后体重差值相同。2021/5/9322021/5/933一般不鼓励！！！没有预先计划的任意两组之间的比较翻来覆去的比较，寻找有意义的结果两两比较预先规定的两两比较（LSD）

Posthoc两两比较（SNK）两两比较的Bonferroni比较

2021/5/934四.方差分析的假定条件1.正态性:各处理组样本是相互独立的随机样本,其总体服从正态分布；（专业知识)2.方差齐性（Bartlett检验法）:相互比较的各处理组样本的总体方差相等即具有方差齐同（homogeneityofvariance）上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。最大方差与最小方差之比大于2.5,考虑方差齐性检验2021/5/935Bartlett检验法:仅仅适用于正态分布2021/5/936Lavene检验法:

适用于正态分布和非正态分布

适用于两个以及多个样本

SAS,SPSS统计学软件的默认方法2021/5/9373.数据变换改善数据的正态性或方差齐性。使之满足方差分析的假定条件平方根反正弦变换——适用于二项分布率（比例）数据。2.平方根变换——适用于泊松分布的计数资料3.对数变换——适用于对数正态分布资料

数值为负，加上a值，再取对数）2021/5/93818例已型脑炎患者随机分成3组,分别接受A,B,C三种不同的处理，记录发热的天数，问三种处理的平均效应是否相同处理潜伏期方差均值A4520151857.3