桥梁设计理论第七讲三

第七讲薄壁杆件的组合扭转上二讲分别讨论了薄壁杆件的自由扭转和约束扭转，建立了相应的扭转角微分方程。而实际工程中的杆件受扭时，扭转角应该是自由扭转和约束扭转的综合变形。即作用在截面上的扭矩（图7-1）为自由扭转剪应力（）形成的扭矩及约束扭转剪应力（）形成的扭矩（或）的组合，亦即（或）以及开口截面（7-1-1）闭口截面（7-1-2）a)自由扭转a)自由扭转b)约束扭转c)组合扭转图7-1第一节开口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于开口薄壁截面杆件自由扭转和约束扭转，分别取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有（7-2）上式对求导（见图7-2a）），两边同时除以，得：（7-3）此式即为开口薄壁杆件扭转角微分方程。式中：（7-4）称为薄壁截面的弯扭特征。即截面自由扭转刚度和约束扭转刚度之比。而（7-5）为扭矩沿杆长的分布集度。第二节闭口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于闭口薄壁杆件，仍从式（7-1）出发，此时约束扭转力矩以待定函数表示，即用式（6-44）代入，于是组合扭转微分方程可表达为：秆弟须薪除册纹垒（姐7-煌6疤）末（陵7-惠1舒）宿方程中包捐括两个未棋知函数居及蛛。现根据迅静力学条尚件建立未晃知量球及埋间的关系匙，以便与烛式汁（贼7-勒6怪）联立求跃解。电设自由扭胆转与约束宗扭转产生脸的总剪力幻流为圆，它对扭节转中心的林扭矩应等贤于作用于享截面的荷北载扭矩保。即扯丝匆能拨缝洁查支丑（换7-识7捏）跑根据虎克差定律并引炮用式夸（颂6-常2行），剪力砌流可写成攀：吧或膝搅达葛陈让看导李货穿央奇侄已（腥7-始8显）脾而污央久全同禽裁柔衡冷鸟咐持贿（卧7-划9系）凝（番6-1孟5扇）秘上式对甚求导后代浙入式侦（蓝7-床8伞），再将鼓式素（肥7-伐8舅）代入式斜（蜻7-想7尿），积分棚化简得：胶骂茅敲抓霉言羊瓶（旋7-1切0跳）净其中爽：聋记旷赏匀挖荣宗尚台帝效窝未（错7-1绸1额）险称为截面副翘曲系数朵。刘对于单室挥截乌面存眯对于多室静截专面晕弹而绣为截面的险极惯矩，悲下同。痕式也（批7-1忧0们）推导如柴下：顾由式宋（恭7-要8伶）有范：权纲而由式旗（杏7-迹9谦）有牙：昏宰则式借（羡7-胸8宜）的第一遮项贴街舌阵良堤溪徒烦麦（保a毛）盼有式陵（宏6-1贩3仇）有诸：捷末将其代入蹦式坏（株a乒）得：脑检旺柴树咸次腔物（借7-1绑3江）艺将式跪（设7-1迟3施）代入式验（滋7-秤8扬）有：栏明踢扬捞坐龟（费b互）研又截面内尖剪应力叙与内力装有如下关且系：卫将式临（闸b判）代入后击积分得：沸潜披微（忠c菠）浆又有式晴（溉5-4理6连）有：达半很斗秃主态千舌长圣（刃d闲）动而垫拨搞际志尖扇羊壮道托京搜岁激扬（雾e饭）批将即及式漫（尺d劲）、半（昏e锋）代入式喷（猾c绞）可得：故或其中：。育若打为炸的二次或每二次以下弟的函数，冬即有文，则由式寇（秃7-1兴0箭）可得：思纹恨肤铅鼻呆币（棍7-1夕4侦）豪（裕7-1茧0贸）颤将其代入批式倚（释7-标6梨），便得裕出闭口薄嗓壁杆件的鹿扭转变形劝微分方程查膛厕纺仿为（榴7-1本5盐）红（创7-鱼6注）倦其中艘：熔脆温黄骡齿控征屋牛捆城笛帽（尚7-1弟6斗）粮（角7-社4够）舍比较式心（悦7-1陪5琴）与式疤（板7-狭3臭）和式均（堂7-1芦6萄）与式井（行7-虑4鞋）可以看萍出，对于许闭口截面蓬，可利用英开口截面趋的扭转微结分方程的挠表达式，祝而以回代替况即可。这乐一比拟关匠系，对以霸后直接根依据开口截苹面的变形菊公式写出摊闭口截面陶的变形公愉式，颇为秩有用。迫务必注意乓，对于闭翁口截面，厘尽管可以血用涉代替弱，从而直已接套用开剧口截面中狂关于扭转淘角堤的微分方泉程，但因嗽闭口截面念约束扭转墙双力矩毕及扭转力苍矩狂均与蜜的导数有挂关，故由挠式或（是7-1宴0姓）有：贤偷防誉胀侵棋睡肿（随7-1婚7舱）辉第三付节砍惭扭转角微声分方程的伐初参数解胞法监扭转角微染分方程式锤（朽7-谷3窗）及式蚀（闭7-1筑5示）为四阶闭常系数（裙等截面）阶非齐次线伴性方程，够其解由齐念次解和特部解两部分土组成，齐选次解将有揉四个积分匪常数，由乞问题的边袭界条件确滑定。挥一、开口搞薄壁杆件伙扭转角微酿分方程的五初参数解赶法邪先讨论开雹口薄壁杆新件扭转角壁微分方程许式债（桑7-拥3游）的解法侦。微分方雪程滩血醋朗循射更仇垄（拾7-1创8跳）于（离7-悟3幼）嚼其齐次解泥为：幕巾腔绞猴歉逼（愉7-1捆9情）振据此，不踪难求得各路阶导数，绿进而得到赢扭转角的净变化率撑、约束扭洁转双力矩臂、总扭矩孙的表达式肿。驰贸和朵险旧课法勉（偿7-2梁0屿）纸雾冲业港充虎（巨7-21者-求1寻）茫泛守娘居能（睁7-21乌-帆2尺）臂盟缸湾龟峡休剃冻动（猾7-2晒2姐）中式中积分捆常数吴、贿、毛、订可表达为风杆件在坐油标原点处告（优=羊0番）的扭转少角（群）、扭转套角的变化娱率（涛）、双力轧矩（撇）及扭矩便（衰）搭的寄把函数。将决=便0臣代入式卷（躺7-1具9呼）、宴（珍7-2冷0饱）、罪（反7-2框1座）及垂（般7-2识2喇）有：榜（柳7-2服3担）寻解此方程壮得：虹将其代入秘式吨（钢7-1泛9和）～裹（络7-2柄2机），便得宴到以初参巨数励表达的烧、驱、枕及至的解析式由：表馅次激（都7-2柏4平）些（怒7-1务9她）淡块弊派饶梢（斑7-2脉5品）映（伍7-2荒0训）卡笼辩握厉（误7-2弟6鄙）娘（胃7-2晒1裳）奇（即7-2丑7被）痕-错（巧7-2馅2病）跨式中冷仍为未定凳常数，可饥根据初始眉值的物理盘意义，由葛起始点（微=栋0炊）边界条下件直观确井定。避微分方程抢的特解，石可根据作较用在杆件滥上的扭转券荷载形式锻，利用微想分方程的碰特征方程落式，用待筛定系数法票求得。对董于常见的裕荷载（净图挡7-盼2茎）包括集里中双力矩关，集中力新矩记，分布扭源矩燃，特解可昨写成一般线的形式，智即a)a)b)图7-2陶（姿7-2脾8盆）描式中缝、罩、剃、油及横均表示自房计算截面卡（拖）沿坐标商轴艺的负方向露量取的距分离，故式巴（黎7-2洒8探）为主的线性函孕数。式伪（怠7-2滑8漠）对唇求导，得迟到扭转率阔、双力矩好和扭矩的春特解如下见：盘（呼7-2胀9场）收（口7-3奏0宽）慕（训7-3界1门）爽微分方程纲的通解则撕为：刊（拒7-3尾2鹅）至将式做（搭7-2佩4释）榜～帝（止7-2蒙7瞒）乐及式不（欣7-2谎8散）细～先（臂7-3患1插）建代入式听（习7-3黎2虏）椅，即得到跑开口薄壁胆杆件扭转熄变形的最延后解答式奶。酱对于薄壁茫杆件扭转玩的具体问议题，先按迟实际作用那的荷载，赞列出式黎（锦7-3藏2慎）灵，由于通伍常情况下糊荷载沿杆州件纵向是蜻不连续的忆，故式中嗽必须是分蛾段表达（悲见本讲算蜘例），然废后根据边啄界条件求原解初始参撞数，再由穗式映（鸡7-3漏2绘）嗓计算任意宇截面的扭亲转角喷，扭转率傅，双力矩拢和扭矩让。倍容易看出偶，这里介挂绍的初参寻数法与梁煤弯曲理论吴的初参数逢法是相似尽的。满二、闭口庭薄壁杆件答扭转角微挠分方程的摘初参数解摩法旧对于闭口艺薄壁杆件欧，由于其丰扭转角微绢分方程式惜（肌7-1要5腐）屿与开口薄傲壁杆件扭妄转角微分餐方程式漫（榴7-青3盘）相似，禽在数学问滋题上属于垫同一类问侵题，故式袖（盛7-1把5揪）的齐次岗解，与开承口薄壁杆众件的具有义相同的形骄式。由于仰闭口薄壁龙杆件的纵疗向位移、卧双力矩、肥扭矩等都柿与函数饼的导数有大关（见式踪（泻6-3怠1爪）、拖（机6-3无4须）、努（备6-4书4帜）伞）砖,肺因此，对论应于式垄（残7-2哪9蒸）～扎（衰7-3优1够），引入很闭口薄壁钉杆件的床函数，由愉式控（冷7-1茂0磨）及式继（痰7-1弟7护），考虑症微分方程缎的齐次解厌（米）时，另与函数喷间有如下傻的关系：株即辛页捆辽宫浴姓（景7-3痕3火）毅（触7-1软0特）尿（纹7-1境7万）燕于是仿照专（熟7-2奴4闻）美-洞（俩7-2速7通）的推导蜂，可得到惧闭口薄壁逝杆件扭转能角微分方籍程的齐次娃解，这拿时式中的亡系数估取式册（知7-1革6突）的形式如。着突壮（队7-3酷4疗）售（飞7-2按4磁）宏新量壁（汽7-3方5筋）疾（颂7-2咱5曲）庭李合敌月（耽7-3介6巧）宿（酿7-2缴6蚁）削做鹊稻设毫及互俗滴（衰7-3顷7究）连（烛7-2按7虾）颠由式拼（悲7-2影4件）～衰（攀7-2策7似）与式讲（屿7-3僵4誓）盐-馒（亚7-3咽7愚）可以看找出，闭口糊薄壁杆件冬的齐次解砌，可由开城口薄壁杆理件的对应权齐次解，伞以过代替两得到。跑对于周图玉7-毛2佩所示各种恐荷载形式蒸的特解，江上述代换它也是适用结的，故有污：使（查7-3骑8页）垃（此7-2汗8口）科呈涌（孩7-3祥9稍）克（御7-2垮9市）俱控礼（泊7-4誓0牲）攀（催7-3负0久）奋诞修盲信谅弱辨（并7-4非1损）缎（浊7-3娇1昼）评同样，微取分方程式图的通解则浊为：MACROBUTTONMTEditEquationSection2咳要浪薯嫁祖舒SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h惰灭太榴芳梦广摧（坝7-4六2客）百（酸7-3纱2疮）警第四捉节鞠捏边界条件遗组合扭转监微分方程害的通解式拘（显7-3寄2拴）或式弟（肌7-4封2典）中的初晶始参数辫需由具体录问题的边胶界条件定纵出。对于会工程中常筐见的情况归，边界条祝件可归结嘱为烦表皆7-能1敌。享1舱、简支端走如惰图掩7-鹿3岭所示，表拴示杆端扭恨转被完全政约束（昼=绘0辣），但允商许其自由贝翘曲，相渴应的边界陶条件为首=0嫌a)构造b)图示c)图示a)构造b)图示c)图示图7-3扩2讲、固定端厌表示杆件衡的支座完沫全阻止了肉截面的扭茄转（缓=雹0已）和翘曲沟（疤=惩0宣），如汽图纺7-夫4词所示，相争应的边界酷条件为：梯=0捆a)构造a)构造b)图示图7-4挂3蒸、自由端体即杆端截蔽面无任何绳约束，可既以自由变锅形，其扭蹲转角、翘傍曲位移均具不为零。沾4压、中间支定承阁当杆件具先有中间支车承时，相粒应的扭转饱受到约束带=盘0税，杆件在货此截面左均右的内力啦及变形相通等。题现将开口斯和闭口薄医壁杆件的驻边界条件炮，分别列单于饺表损7-1葡开口和闭竟口薄壁杆很件的边界太条蚁件御品住表秋7-1妖支承情况雅开口截面锤闭口截面参简支端继自由端晃固定端踢中间支承剥截面变化舅处拿第五负节厘稠算鉴佣群例炉[桌例期7-1]卧民图疲7-冶5提所示两端湾简支杆，称=20甜m抢，跨中承棉受集中扭慈矩盲=200劫0kN治m境作用。分庄别计算凉（开1骂）工字型村截面；吊（穷2详）单室双补箱截面发她生扭转时泊的应力寺。截面尺阿寸参见第老五讲泡图后5-历8膏。b)单位：b)单位：图7-51010a)(单位：m)c)单位：d)单位：[解]钓一、工字术型截面尘1安、边界条焰件晚由杆件的克对称性可连知屈,神杆端约束配反力均为扰，方向如钱图并7-5倡a左）所示。沿由讲表舍7-西1活可知，简闸支端的边续界条件为屋：时浪酿效（灿a著）时占高侍（橡b纲）衔2奋．计算截迎面的抗扭横特性波由第五讲功例扫5-上1庆和第六讲银例敬6-丢1肚知：（c）莲绘豪（勾d总）角3幻．计算内凭力双力矩蒜信届（色e黄）怀将式轰（撇b扮）中作、诊代入式逆（雪e织）有：则吨怎就（岸f暴）判由式米（欢e衫）知，当祸时，有：船碎民（暖g倦）当时，赔捉耀（使h情）怖则坊取得最大嗽值。并将冬值代入，伯则障淘错州（帅k偏）痒双力矩分起布图如匆图歼7-5末b乒所示。温将式拍（避g嗓）邪,翼（钞h摆）分别代鸡入约束扭朽转力矩禾得：穿杰坑催（诵l黑）（m）帅于是，当圆时，左右项截面得扭搞转力矩为尤：持拆村（桑n美）睡而智=面0质时，年同样，当揭时训约束扭转搂力矩得分鞋布如近图雷7-5闷c尸）所示。驾自由扭转雨力矩森，则储自由扭转掠力矩勤分布图如英图金7-5里d闸）所示。坚4扶、应力计音算芝约束扭转协正应力终在截面内扫为烧的影响函伴数（或称涨分布函数渗），观察乱第六讲烈图右6-3虏b唤）可知，洗最大值发浙生在四个末角上（甚）名,怪相应的续，又有第除六讲血例健6-脏1恩已知久，故沟据此作拳图，如萄图获7-6糠b魂）所示25252525250.430.43a)b)图7-6鼠约束扭转夫剪应力炸或窄。收由上式可蚁见，呢为概的影响函冒数，观察适图题6鼻-淘4直c钉）跌可知，猎最大值发次生在翼缘槽的中部（告、鼻点）相应井的主扇形怒矩铅＝坡0.07桨5近（条），故毁沿截面的提分布如图世7薯-名7b插）所示。洽二、单箱厨双室截面农1粉、杆件的返边界条件封同式（生a苦）、式（粉b脆）。扣2财、闭口截负面的翘曲京系数柜，而极惯衰矩：故说其中见系引用第啄六讲例呼6滥-忠1幸的计算结军果。惑3截、截面弯无扭特性市由第五讲阅例伪5牧-优1飘及第六讲株6经-贺1玻知旷4赚、内力计肉算申同开口截修面一样，目将式（类7碌-患36阅），式（壁7烛-骡40附）代入（毅7炼-慨42尿）后，利驱用边界条宴件忍得到：衬将数据代息入，则由有：坏唱士（局）（）支于是，当冲时，截面掉左右的扭铁转力矩：单升乡（铃q个）时、漏分布图如草图嫌7-5秒b骂）慧、秋c蛇）所示，竟图中括号放内的数字戚即为单箱烈双室截面边的数值。只5窝、应力计宋算乡翘曲正应同力剑翘曲剪应炼力权其中使、续、描、痛的数值均迎取自第六毙讲时例骡6-脂1杯。初及赛分布图如虎图伟7-菜6乐和橡7-附7凳所示。2.52.52.5b)图图7-70.26纵向预应力筋纵向预应力筋0.26纵向预应力筋纵向预应力筋1.07纵向预应力筋纵向预应力筋0.88纵向预应力筋纵向预应力筋a)图纵向预应力筋纵向预应力筋0.88