高考数学一轮复习-数列章末大盘点课件

一、函数思想数列是一种特殊的函数，很多数列的问题，往往可以从函数的观点去研究，求解数列中的量如a1，an，Sn，n，d(或q)等常用通过解方程(或方程组)来解决，前面已介绍许多，不再举例.【示例1】首项为正数的等差数列{an}，其中S3＝S11，问数列的前几项和最大？[解]法一：设Sn＝A2n＋Bn(A≠0)，∵S3＝S11，∴9A＋3B＝121A＋11B，即14A＋B＝0，又Sn＝An2＋Bn＝∴当n＝＝7时，Sn有最大值为S7.法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

∴当n＝7时，Sn取得最大值，即数列{an}前7项的和最大.[领悟]

本题给出的两种解法都是利用函数思想，法一是利用待定系数法找出A、B的关系，法二是利用求和公式.这两种方法都表示为n的一元二次函数，求最大值.二、方程思想在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1、d(或q)、n、an及Sn，这5个量中知道其中任意3个量的值，就可以通过运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值.【示例2】已知等差数列{an}与等比数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且a2＝b3＝12，a5＝b4＝18.(1)求an，bn；(2)求T6；(3)若Sn＝190，求n.[解]

(1)由a2＝12，a5＝18，等差数列{an}的公差d＝∴an＝a1＋(n－1)d＝10＋2(n－1)＝2n＋8.由b3＝12，b4＝18，设等比数列{bn}的首项b1，公比为q，得(3)由Sn＝na1得10n＋n(n－1)＝190，∴n2＋9n－190＝0，解得n＝10或n＝－19(舍去)，∴n＝10.(2)T6=[领悟]

本题由已知条件列a1和d(q)的方程，问题便可解决.三、分类讨论思想分类讨论在等比数列求和中经常对公比q进行分类，而有的数列通项公式以分段函数给出，或以(－1)n形式给出的，要分类求解.【示例3】

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝

(n∈N*)，又bn＝(－1)n·Sn，求数列{bn}的前n项和Tn.⇒＋(2－2n)an＋(1－2n)＝0⇒(an＋1)[an＋(1－2n)]＝0，∴an＝－1(舍)或an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴bn＝(－1)n·n2.当n为偶数时，[解]Tn＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2＝1＋2＋3＋…＋n＝当n为奇数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋(n－1)2－n2＝1＋2＋3＋…＋(n－1)－n2[领悟]

本题在求Sn时，灵活运用了前n项和公式，求Tn时有一个细节，需对n分奇数、偶数进行讨论.四、转化、化归思想在数列中，许多有关等差或等比数列的问题，均可转化为首项与公差或公比的相应问题，这一思想在教材的例题中随处可见.【示例4】设{an}是等差数列，a1＝1，Sn是它的前n项和；{bn}是等比数列，其公比q的绝对值小于1，Tn是它的前n项和，如果a3＝b2，S5＝2T2－6，b1＝9(1－q)，求{an}，{bn}的通项公式.[解]设数列{an}的公差为d，则解得1.(2009·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，

则＝(

)A.2

B.C.D.3解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，答案：B2.(2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2

＋a4＋a6＝99.又Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值

的n是(

)A.21

B.20C.19D.18解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＋a5＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，d＝a4－a3＝33－35＝－2，∴{an}是递减数列.an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，an≥0，－2n＋41≥0，n≤∴当n≤20时，an>0，∴n＝20时，Sn最大.答案：B3.(2009·厦门质检)已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1,2a2，a3

成等差数列，则a3＋a4＋a5等于(

)A.33B.72C.84D.189

解析：解题时只需直接利用已知条件列方程求解即可.设等比数列公比为q，则依题意有4a2＝4a1＋a3⇔12q＝12＋3q2⇒q＝2，于是就有a3＋a4＋a5＝a1(q2＋q3＋q4)＝3(22＋23＋24)＝84.答案：C4.(2010·海淀模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，为非零不共线向量且若＝λ

，则S2010＝(

)A.2010B.1005C.1D.22010答案：A解析：∴＝(1＋λ)a2010＝－2λ，∴a1＝2＋2λ，∴a1＋a2010＝2，∴S2010＝(a1＋a2010)＝2010.5.(2010·长郡模拟)数列{an}，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3

＋…＋an＝2n－1，则等于(

)A.(2n－1)2B.(2n－1)C.(4n－1)D.4n－1解析：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n－1－1，∴an＝2n－2n－1＝2n－1，∴＝4n－1，答案：C6.(2009·北京高考)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an

(n∈N*)，则a5＝

，前8项的和S8＝

(用数字作答).解析：∵an＋1＝2an，∴＝2.∴数列{an}是等比数列.∴an＝2n－1.∴a5＝24＝16，S8＝答案：16

2557.(2009·全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，

则＝

.答案：9解析：8.(2010·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都

有且1＜Sk＜9(k∈N*)，则a1的值为

，

k的值为

.解析：当n＝1时，可知a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝即{an}是等比数列，得an＝－1(－2)n－1，得a1＝－1，a2＝2，a3＝－4，a4＝8，a5＝－16，因为S3＜0，S4＝5，S5＝－11，S6＝21，所以当k＝4时符合题意.答案：－1

4可知=-29.(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n

项和，满足

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项.解：(1)设公差为d，则由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0，所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0，又由S7＝7得7a1+

＝7.解得a1＝－5，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－7，前n项和Sn＝n2－6n.因为t是奇数，所以t可取的值为±1.当t＝1，m＝2时，t＋－6＝3,2×5－7＝3是数列{an}中的项；t＝－1，m＝1时，t＋－6＝－15，数列{an}中的最小项是－5，不符合.所以满足条件的正整数m＝2.令2m-3=t,则10.(2009·天津高考)已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn＝a1

＋a2q＋…＋anqn－1，Tn＝a1－a2q＋…＋(－1)n－1anqn－1，

q≠0，n∈N*.(1)若q＝1，a1＝1，S3＝15，求数列{an}的通项公式；

(2)若a1＝d且S1，S2，S3成等比数列，求q的值；

(3)若q≠±1，证明(1－q)S2n－(1＋q)T2n＝，

n∈N*.

解：(1)由题设知，S3＝a1＋(a1＋d)q＋(a1＋2d)q2.将q＝1，a1＝1，S3＝15代入上式，解得d＝4.所以，an＝4n－3，n∈N*.(2)当a1＝d时，S1＝d，S2＝d＋2dq，S3＝d＋2dq＋3dq2.因为S1，S2，S