向量组等价线性相关性

关于向量组等价线性相关性第1页，课件共30页，创作于2023年2月存在非零列向量及非零行向量，使得而中至少有一个元素非零又积的秩不超过因子矩阵的秩21、设A为矩阵,证明有解

有解已证第2页，课件共30页，创作于2023年2月1、或表示方法：求出方程组的解作组合系数矩阵表示形式：复习：向量、向量组的线性表示向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！第3页，课件共30页，创作于2023年2月表示系数为列！2、向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题！第4页，课件共30页，创作于2023年2月线性表示,

m=s时系数矩阵为方阵！表示系数为行！任何向量组可由单位向量组表示！能由向量组A线性表示第5页，课件共30页，创作于2023年2月能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价.等价的充要条件（p84定理2推论）4、向量组与向量组等价定义（p83)向量组的等价关系具有:自反性、对称性、传递性！则向量组E与向量组A等价？第6页，课件共30页，创作于2023年2月例2(p86)设证明证所以第7页，课件共30页，创作于2023年2月向量组A与向量组B等价反之不一定！

等价的必要条件

向量组与单位向量组等价的条件能由向量组A线性表示与向量组等价？第8页，课件共30页，创作于2023年2月即B的行的向量组可由A的行的向量组线性表示，

所以，A的行的向量组可由B的行的向量组线性表示。重要但A~B

不能保证A与B的行向量组或列向量组等价向量组的等价与矩阵的等价同理，A~B

A的列组与B的列组等价.

思考第9页，课件共30页，创作于2023年2月但A~B不能保证A与B的行向量组或列向量组等价其标准型但但其列、行组都不等价思考B与PA的列向量组等价，B与AQ的行向量组等价B与A的列向量组等价，B与A的行向量组等价例：所以第10页，课件共30页，创作于2023年2月若组A~组B,矩阵一般不成立！A,B不一定同型！同型组A可用组B表示组B可用组A表示反之含向量个数相等的同维数的向量组等价时矩阵等价！m=l

情况下——A与B列满秩可逆！P70例9的结果A、B列满秩时，系数矩阵可逆第11页，课件共30页，创作于2023年2月这时，组A与组B同解方程组A

方程组B

线性方程组的等价

设有方程组组B的每个方程都是方程组A的线性组合！（即B

中方程皆由A中方程经线性运算得到）方程组A和方程组B能互相线性表示！方程组B能由方程组A的线性表示

B的增广矩阵的行向量组

可由A的增广矩阵的行向量组线性表示.故这时，组A的解也是组B的解方程组A的线性组合：由A中方程经线性运算得到的方程！（用矩阵解决方程组的深层依据）方程组B能由方程组A线性表示：方程组B与方程组A等价（互推）：第12页，课件共30页，创作于2023年2月？对齐次线性方程组有同样结论A与B行等价是从而，方程组Ax=o与Bx=o同解反之，第13页，课件共30页，创作于2023年2月第14页，课件共30页，创作于2023年2月向量组矩阵线性方程组行向量组为行构成矩阵列向量组为列构成矩阵矩阵的一行（列）元素构成一个行（列）向量矩阵的全部行（列）向量构成行（列）向量组一个方程的系数及常数项构成行向量一个未知数的系数构成列向量系数矩阵、增广矩阵对应行（列）向量组向量组A与B等价方程组等价（同解）向量组线性组合方程组线性组合矩阵的乘法向量组由向量组表示方程组由方程组表示矩阵的初等变换向量由向量组表示方程组有解矩阵的初等变换矩阵的行或列等价第15页，课件共30页，创作于2023年2月C的列向量组可由A的列向量组线性表示，系数矩阵就是B

C的行向量组可由B的行向量组线性表示，系数矩阵就是A两个方程组等价（同解）B是矩阵方程AX=C

的解A是

矩阵方程YB=C

的解表示系数？表示系数？

常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价方程组有解第16页，课件共30页，创作于2023年2月本节重点掌握

向量、向量组、向量组的线性组合、向量由向量组线性表示、向量组等价概念，判定条件，方法，形式

重在理解!第17页，课件共30页，创作于2023年2月引入设有向量组A:零向量可由A线性表示，§2向量组的线性相关性一定有：表示系数全为0我们关心的是：是否还有一组（m个）不全为零的数使得：至少一个不为0这两者的本质不同是什么呢？也就是对与向量组A：仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量？也有组合系数不全为零时其线性组合为零向量？

本质上的不同对向量组而言至关重要！第18页，课件共30页，创作于2023年2月或曰线性相关。若有一组不全为零的数使得：比如至少有则能用其它m-1个向量线性表示，至少一个不为0这样我们就说向量之间有了实实在在的线性关系，即向量组中，至少有一个向量若仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量，则组中任何向量都不能用其它向量线性表示即只有向量之间没有线性关系或曰线性无关。第19页，课件共30页，创作于2023年2月k

0

则它线性相关;线性无关.线性相关

.基本结果：定义4（p87)(1)

当向量组只含一个向量时,若该向量是非零向量,

(2)

两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.线性无关.0则它线性无关.共线若该向量是零向量,(4

)

n维单位坐标向量组(P.88例4，待证)?当且仅当k

i

都为零时,()式成立1(3)

含有零向量的向量组线性相关.当且仅当

时,成立成立第20页，课件共30页，创作于2023年2月相关性条件线性无关只有零解

R(A)=

m线性方程组向量组A:向量组A:线性方程组向量组构成的（列）矩阵R(A)<

m有非零解

矩阵方程矩阵方程判定一个向量组的线性相关性是重要的！用定义，用条件！第21页，课件共30页，创作于2023年2月定理4（p88）向量组R(A)<

m向量组R(A)=

m其中是向量组构成的（列）矩阵

沟通了向量组线性相关性与矩阵的秩之间的联系!!!m为向量组中向量的个数R(A)=n它们所构方阵A可逆（非奇异）。n个n维向量A可逆A构成的向量组（行或列）线性无关特别的

任意n个n维向量线性相关

R(A)<n.

它们所构方阵A不可逆（奇异）m=n时可用|A|是否为零判断第22页，课件共30页，创作于2023年2月例5（p88）判定向量组的线性相关性.解是坐标已知的向量构成的向量组，用判定条件(TH4)线性相关！或：是三个三维向量构成的向量组，用矩阵的可逆性判别A不可逆，从而线性相关第23页，课件共30页，创作于2023年2月用定义判定相关性证(P.88例4)线性无关.

n维单位坐标向量组法一：用条件法二：用定义令则R（E）=n线性无关当且仅当线性无关即第24页，课件共30页，创作于2023年2月例6（p88）证一用定义即只有—(1)设出所讨论向量组的零组合式；

用定义证明向量组相关性(2)由条件从(1)找出组合系数所满足的方程组；(3)由此方程组有无非零解判定出其线性相关性.用方程组解的定理第25页，课件共30页，创作于2023年2月证二用条件证明令向量组不具体（坐标没有给出），将向量组转化为矩阵表达系数作列两种方法的思路分析（p89)寻求线性表示的矩阵表达形式！第26页，课件共30页，创作于2023年2月基本结论

结论也成立称组A是组B的一个部分组整体与部分的相关性的联系

线性无关的向量组中

在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关

.

意即：任何有限个向量构成的的部分向量组都线性无关

.证明

（P89用定理4证明，自阅

)

定理5(P89)

(1)第27页，课件共30页，创作于2023年2月

n<m时,m个n维向量构成的m×n矩阵的秩定理5(P89)

(2)

必n<m

，

n<m时,m个n维向量构成的向量组线性相关.

特别的，n+1个n维向量构成的向量组线性相关.定理5(P89)

(3)则向量b必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.方程个数<未知量个数时,齐次线性方程组必有非零解向