数学教案－函数的应用举例

数学教案－函数的应用举例1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简洁的实际问题．

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中消失的量及其数学含义．

(2)能依据实际问题的详细背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培育同学分析问题，解决问题的力量和运用数学的意识，也体现了函数学问的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.通过对实际问题的讨论解决，渗透了数学建模的思想．提高了同学学习数学的爱好，使同学对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析

（1）本小节内容是全章学问的综合应用．这一节的消失体现了强化应用意识的要求，让同学能把数学学问应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培育同学分析解决问题的力量和运用数学的意识是本小节的重点，依据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的`学问有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对学问的复习，也是对方法和思想的再熟悉．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特殊是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，其次步应依据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最终是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关学问解决某些简洁的实际问题．

2.通过对实际问题的讨论，培育同学分析问题，解决问题的力量

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高同学用数学的意识，及学习数学的爱好．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是依据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程（.）

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学学问，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今日我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于同学是初次讨论，所以可先选择以数学学问为背景的应用题，让同学讨论)

首先由同学自己阅读题目，老师可利用计算机让直线运动起来，观看三角形的变化，由同学提出讨论方法．由同学说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类争论．分界点应在，再由另一个同学说出面积的计算方法．

当时，，(采纳直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算其次段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问同学这是什么函数?定义域应怎样计算?让同学明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由老师简洁小结一下讨论过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看其次个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开头到2023年底期间的生产总值持续增长的两个三年方案，估计生产总值年平均增长率为，则其次个三年方案生产总值与第一个三年方案生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让同学搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年方案的总产值．

设1999年总产值为，第一步让同学依次说出2000年到2023年的年总产值，它们分别为：

2000年2023年

2023年2023年

2023年2023年(板书)

其次步再让同学分别算出第一个三年总产值和其次个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后老师可以让同学总结一下关于增长率问题的讨论应留意的问题．最终老师再指出关于增长率的问题常常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以常常会用到指数函数有关学问加以解决．

总结后再提出最终一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采纳买一个这种商品赠送一个小礼品的方法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在肯定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节约时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求同学仔细读题，找出关键量．再引导同学找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让同学思索后，列出销售量的式子．再找同学说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让同学观看解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是同学比较生疏的，方法也是同学不熟识的)所以同学遇到思维障碍，老师可适当提示，如可以先详细计算几个值看一看能否发觉规律，若看不出规律，能否把详细计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让同学意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满意

同时成马上解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼