《工程力学》第7~8讲平面任意力系

工程力学1任课教师戴勇

第三章主要研究平面力系的简化和平衡问题。

2回顾第一章构件静力学基础力的基本概念和公理（四公理+二推论），约束类型，构件的受力图等。第二章平面汇交力系和力偶系

力的投影和力的分解，平面汇交力系的合成与平衡，力矩和力偶，平面力偶系的合成与平衡。第三章

平面任意力系§3.1平面任意力系的简化一、平面任意力系向一点简化

为了便于计算或工程实际的需要，需要在一个平面内将力系简化到一个特定的（也是所谓的任意点）点——“O”上。它的理论根据是“力的平移定理”。3根据力的“平移定理”

原力系＝新的汇交力系+附加力偶系新的汇交力系+附加力偶系＝合力+附加合力偶对于整个力系而言，则有：FR’=F1+F2+…+Fn=∑Fi

（简称主矢——它与简化中心位置无关）其在X、Y方向上的大小：

FRX’=∑FiXFRY’=∑FiY则主矢的大小和方向：5与平面汇交力系相同？同理：根据平面力偶理论，附加的力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩为：MO=M1O+M2O+…+MnO=∑MO（Fi）

（简称主矩——它与简化中心位置有关）6总结：原力系向其所在平面内任一点“O”简化，其结果是得到一个与原力系合力等大的主矢（各力的矢量和）和一附加主矩（各力对“O”之矩的代数和）。主矢与简化中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。二、平面任意力系简化结果的分析四种结果讨论：1、FR’≠0，MO=0。原力系正好简化为一合力。（物体系在力系作用下可移动，但不能转动）。2、FR’=0，MO

≠0。原力系的合力为零。（物体系在力系作用下不可移动，但可转动）7

3、FR’≠0，MO

≠0。

此时力系没有简化至最简单形式，可以采用如图形式将力系简化成一个主矢。8

4、FR’=0MO=0

原力系的合力与附加力偶矩均为零。整个物体系处于平衡状态。这个结论在后面的学习中将大量用到。9注意：此时仅说明合力为零，并不说明构件不受力的作用。§3.2平面任意力系的平衡方程及其应用一、一力矩式当：FR’=0

MO=0。10

这是一组独立的方程式，从数学视角分析，可解得三个未知数。

该方程组又称“一力矩式”。显然可得：平面图形上各力及力偶对“O”之矩的代数和为零。解：1、选研究对象——AB杆11G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。2、画受力图（CB是二力杆，A点是固定铰支座）3、列平衡方程（★一步解一个未知量）∑MA（F）＝0（得F）∑FX=0（得NAX）∑FY=0

（得NAY）12G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。3、列平衡方程（★一步解一个未知量）∑MA（F）＝0（得F）0×NAX+0×NAY+0×Fcos300+6Fsin300–3G–4Q=0（正号表示原所设方向与实际吻合）F=（3G+4Q）/6sin300=（3×4000+4×12000）/（6×0.5）=20000N=20KN13G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。故

NAX=Fcos300=20×0.866=17.32KN3、列平衡方程（★一步解一个未知量）∑FX=0（或写∑X=0）（得NAX）NAX—Fcos300＝0注意：G、Q和NAY在X轴上的投影为零。今后遇类似情况，

这些力不在平衡方程中出现。14G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。NAY=G+Q—Fsin300=4+12—20×0.5=6KN3、列平衡方程（★一步解一个未知量）∑FY=0（或写∑Y=0）

（得NAY）NAY+Fsin300—G—Q=0解：1、选研究对象——AB杆15G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。2、画受力图（CB是二力杆，A点是固定铰支座）3、列平衡方程（★一步解一个未知量）∑MA（F）＝0（得F）∑FX=0（得NAX）∑FY=0

（得NAY）总结讨论：16G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。

当平面任意力系平衡时，各力在X轴、Y轴上的投影的代数和为零；各力对任一点“O”的力矩的代数和为零。（投影和力矩都为零）“一力矩式”表示什么？∑FX=0

；∑FY=0

；∑MA（F）＝0二、二力矩式∑MA（F）＝0，

∑MB（F）＝0，

∑FX＝0。力的投影轴X轴线不能与AB的连线垂直。17×图（1）符合上边三式要求，但仍有可能有一个通过A、B点的力存在(d=0)。此时力系并不平衡，故有上述要求！如果选Y为投影轴能否得到NAX？∑MB（F）＝0（得NAY）

∑MA（F）＝0（得F）

选Y为投影轴（Y轴垂直AB连线）∑FY=0（得NAX？）。18G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。

三、三力矩式∑MA（F）＝0，

∑MB（F）＝0，

∑MC（F）＝0。

A、B、C不能连成一直线！19×图（1）符合上边三式要求，但仍有可能有一个通过A、B、C点的力存在(d=0)。此时力系并不平衡，故有上述要求！同理：∑MA（F）＝0（得F）

∑MB（F）＝0（得NAY）

∑MC（F）＝0（得NAX）20G=4KN，Q=12KN，L=6m，X=4m，

α=300。H=3.46m求拉杆CB的拉力和铰链A的约束力。讨论：

能在AB杆上找一个矩心求NAX吗？“三力矩式”要求三个矩心不能连成一直线！解：1.取小车为研究对象画受力图2.建立坐标系列平衡方程求约束力

例3-4

图示为高炉加料小车的平面简图。小车由钢索牵引沿倾角为α的轨道匀速上升，已知小车的重量G和尺寸a、b、h、，不计小车和轨道之间的摩擦，试求钢索拉力FT和轨道对小车的约束力。

GFAFByxFT技巧坐标选择本课小结

主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代数和的平方和再开方,作用在简化中心上。主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。一、平面任意力系的简化平面任意力系向平面任意点简化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

1.平衡条件平面任意力系平衡的必充条件为FR=0Ｍ0=0。二、平面任意力系的平衡方程

2.平衡方程

为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。作业：P51习题:3-2；3-3C）、d）P51习题：3-5注意：1、关注二力杆。2、有角度，可能有力的分解问题。3、坐标的选择技巧。2324祝同学们学习愉快25工程力学任课教师戴勇第三章

平面任意力系§3.3固定端约束和均布载荷26又称悬臂梁。注意它的约束力有三个：FYA、FXA、MA。一、固定端约束固定端（插入端）支座实例：27二、均布载荷

载荷集度为常量的分布载荷称为均布载荷。xABqLO在构件一段长度上作用均布载荷q(N/m)。1.均布载荷的合力Fq均布载荷的合力Fq的大小等于均布载荷集度q与其分布长度l的乘积，即Fq=qLFqL/2

2.均布载荷求力矩：

由合力矩定理可知，均布载荷对平面上任意点O的力矩等于其合力Fq与分布长度中点到矩心距离的乘积，即

M0(qL)=qL·(x+L/2)

。

例1——求A点约束力。（解题步骤与方法）29解：1、选研究对象AB杆

均布载荷力学意义：单位长度上载荷。如q=40N/m或q=F/a等

。如:q=1KN/m，那么0.01m长度上的力是多少呢？则q×0.01m=1KN/m×0.01m=10N。30解：1、选研究对象AB杆均布载荷力学意义：单位长度上载荷。如q=40N/m或q=F/a等

。为方便计算，可用平面图形的面积来表示构件的受力大小，图形的高为q，则长×高=q×L=面积（力的大小）。31解：1、选研究对象AB杆2、画受力图A点是固定端约束

3、列平衡方程

∑FY=0（视均布载荷为集中载荷——得NYA）

∑MA（F）＝0（视均布载荷为集中载荷——得MA）

∑FX=0（∵水平方向无主动力，∴NXA=0）32该均布载荷可以简化为位于其中间的集中载荷F（F=2Lq）。∑FY=0NYA—2Lq=0，NYA=2Lq（约束力设定方向正确）∑MA（F）＝0MA—2L（2Lq）=0,

MA=4L2q（约束力设定方向正确）3、列平衡方程采用积分法求力矩。该面积是高为q,宽为dx，力臂为X。33三、应用举例

例2

图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，作用集中力F=ql和力偶M0=ql2,求固定端的约束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：1.取AB为研究对象画受力图2.列平衡方程求约束力第三章

平面任意力系§3.4静定与静不定问题的概念物体系统的平衡问题一

、静定与静不定的概念

如果我们所求物体系的力的未知量数少于或等于独立平衡方程数，则称之为静定问题。反之称为静不定问题（未知量数＞独立平衡方程数）。

——静定与静不定的概念

如果我们所求物体系的力的未知量数少于或等于独立平衡方程数，则称之为静定问题。反之称为静不定问题（未知量数＞独立平衡方程数）。

36

由n个物体组成的物体系中，最多能建立3n个独立的平衡方程；如遇汇交力系、平行力系、力偶系，则总独立平衡方程数随之减少。

静不定问题是由于过度约束导致的，大量存在于工程之中，其目的是为了通过增加约束提高构件的刚性和可靠性。静不定问题有许多求解的办法（包括计算办法，如利用变形协调条件等），也有一些专家通过实验来推出经验公式或表格。37讨论：

BD是柔索，此题静定还是静不定问题？38此处设轮与销为一体讨论：当BD杆是二力杆时，此题是静定还是静不定问题？39此处设轮与销为一体讨论：当BD杆是二力杆时，此题是静定还是静不定问题？（平面汇交力系只有两个独立方程）。40归纳梳理

1.平面汇交力系

2.平面力偶系

3.平面平行力系

4.平面任意力系

平面汇交力系有一组二个独立的平衡方程，解出二个未知数。

平面力偶系有一个独立的平衡方程，解出一个未知数。

平面平行力系有一组二个独立的平衡方程，解出二个未知数。

平面任意力系有一组三个独立的平衡方程，解出三个未知数。二、物体系统的平衡问题

在我们讨论以前的问题时，多次遇到了物体系（整体）问题。凡是由两个或两个以上物体组成的系统（可以是部件或机构或机器等）就是物体系。42讨论：如图BC杆和CDA杆受力问题。讨论例3：下图BC杆和CDA杆的三力平衡汇交问题4344整体分析：这是一个平面一般力系。图上有4个约束力，但是独立方程仅三个，无法解出全部未知量。例3：求解A、B、C、D处约束力大小及方向。h)45设F=100N

（一）总体分析

整体分析约束力情况，在B、D、A点有约束力4个，无法一步一结果，故先从有主动力F的CB杆开始求约束力。之后再求解ADC杆上的约束力。

（二）选研究对象，画受力图1、BC杆。B点是活动铰支座，C点是中间铰。目前暂时确定这些力的方向。2、ADC杆。根据作用与反作用定律，C点力的方向已定；再根据约束类型设D、A点力方向。46

（三）列平衡方程，求解约束力BC杆：∑MC=01.4NBsin450—0.7F=0NB=0.7F/1.4sin450=

0.7×100/(1.4×0.707)=70.7N∑X=0—XC—NBcos450=0

XC=—NBcos450=—70.7×0.707=—50N(“—”说明假设方向与实际方向相反)∑Y=0NBsin450—F+YC=0

YC=F—NBsin450=100—70.7×0.707=50N47设F=100N

BC杆：

我们还有其它办法解题目吗？48能否？∑MB=0∑Y=0∑X=0能否？∑MB=0∑X=0∑Y=0能否？∑MB=0∑MC=0∑X=0能否？∑MB=0∑MC=0∑Y=0二力矩式:

ADC杆：

根据作用与反作用定律，YC=YC’=50N，XC=XC’=—50N。∑MA=01YD—2YC’=0YD=2YC’=2×50=100N∑Y=0YA+YD—YC’=0

YA=YC’—YD=50—100=—50N(与假设方向相反)∑X=0XC’—XA=0XA=XC’=—50N(与假设方向相反)

49“将错就错”将“XC’=—50N”代入。P52习题3-10

曲柄连杆机构在图示位置时，F=5kN，试求曲柄OA上应加多大的力偶矩Ｍ才能使机构平衡?

解1：1.分别取曲柄OA、滑块B画受力图FO10cm20cm10cmBAMF10cm20cm10cmOABMFABFBF'ABFOxFOy

2.取滑块B列平衡方程求约束力

3.取OA列平衡方程求约束力10cm20cm10cmOBAM解2：取整体为研究对象画受力图FBFOxFOyF

本课节小结一、静定与静不定问题的概念1.静定问题力系中未知数的个数少于或等于独立平衡方程个数，全部未知数可由独立平衡方程解出。二、物体系统的平衡问题

外力和内力系统外物体对系统的作用力称为物系外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。

物系平衡物系处于平衡，那么物系的各个构件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系为研究对象；也可以选单个构件或部分构件为研究对象。2.静不定问题力系中未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出。如图示：请判断一下他们对静定与静不定问题的答案对吗？

作业一：（对者打√,反之打X）1.静定问题未知数的个数少于或等于独立平衡方程个数时，全部未知数可由独立平衡方程解出，这类问题称为静定问题。2.静不定问题未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出，这类问题称为静不定问题。静定问题静不定问题静不定问题静不定问题静不定问题静定问题静定问题作业二：P52

习题3-8；

习题3-9b）；

习题3-11（分二块研究，设BC=h,求G？）；

习题3-12a)、d)。注意：1、悬臂梁根部有三个约束力（特别注意约束力偶）。2、销子的受力是难点，要理清销子与杆件的连接关系。5354祝同学们学习愉快55工程力学任课教师戴勇ΣFi=ma当a=0，F=0。ΣMA(Fi)=0时，则物体处于平衡状态，物体既不能移动，也不能转动。此时，

ΣFi

=0ΣMA(Fi)=0（物体处于平衡状态）F1X+F2X+……+FnX=0（物体在X方向处于平衡状态）F1Y+F2Y+……+FnY=0（物体在Y方向处于平衡状态）MA(F1)+MA(F2)+……+MA(Fn)=0（物体不能绕任一点转动）

56求解未知力的工具第七讲

模块2平面力系的合成与平衡§2.4平面力系的平衡计算复习：

平面力系平衡方程各种形式的应用。平面任意力系：一力矩式；

二力矩式；三力矩式。57主矢与简化中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。平面特殊力系：汇交力系——两投影式。

∑FX=0,∑FY=0平行力系——一投影式，一力矩式；

∑FX=0,∑MA=0

或二力矩式：∑MA=0，

∑MB=0。力偶系——

∑M=0指一张受力图而言！讨论与练习例1：b），C）。1、要求单号组同学画出b）图OB杆约束力并计算其力大小。2、要求双号组同学画出C）图OB杆约束力并计算其力大小。58哪组上台演练？例3：典型夹具问题或汽车千斤顶问题

这是工程中常用的增力机构。AB和BC是二根二力杆。当力作用于销子时，则形成一个三力平衡汇交问题（该力系只有两个独立方程式）。59关关注销AB和BC是二根二力杆。当力作用于销子时，则形成一个三力平衡汇交问题（该力系只有两个独立方程式）。当“α”愈小，则二根杆的增力效果愈佳！60关关注销

当“α”愈小，则二根杆的增力效果愈佳！∑X=0FNABcosα—FNBCcosα=0FNAB=FNBC

∑Y=0FNABsinα+FNBCsinα—FP=0FP=2FNABsinα

。当FP一定，“α”愈小，则FNAB愈大。61研究对象是“销”！例6：这是一个典型的平面平行力系问题，讨论吊塔倾覆问题。

已知：G=500KN，b=1.5m;Pmax=250KN,L=10m;X=6m;a=3m。Q=?62解：1、研究对象

吊机2、画受力图

仅两约束力3、列平衡方程式

当吊机处于向右倾覆的临界状态时，A点约束力为零。此时配重Q