高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)doc

中学数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离假如一条直线和一个平面平行，则直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上随意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形中，，E、F分别是、的中点.例1题图例1题图(2)求和间的距离；【规范解答】(1)证明：连结，，由已知可得.又因为，所以⊥交于E.同理⊥交于点F.所以是和的公垂线.(2)在△中，,所以222=2，即.例2题图由(1)知是、的公垂线段，所以和间的距离为例2题图【例2】如图,正四面体的棱长为1，求异面直线、之间的距离.设中点为E，连、.∵.∴⊥.同理⊥.∴⊥平面.设的中点为F,连，则⊥.同理可证⊥.∴是异面直线、的距离.∵,∴,∠90°.∴、的距离是.【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）假如两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）假如两条异面直线分别在两个相互平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3题图例3题图【例3】如图(1),正四面体的棱长为1，求：A到平面的距离；过A作⊥平面于O，连并延长与相交于E，连.∵,∴.∴O是△的外心.又＝＝，∴O是△的中心，∴.又＝1，且∠90°,∴.∴A到平面的距离是.在梯形中∥,∠3a且∠,又⊥平面,求：(1)二面角P——A的大小;(2)点A到平面的距离.【规范解答】(1)作⊥于F,连结,∵⊥平面⊥,∴⊥,∴∠就是二面角P——A的平面角.在△中,∠90°,∠3a,∴,在△中∠,∴∠.(2)∵⊥平面,∴⊥,又⊥,∴⊥平面,作⊥,则⊥,∴⊥平面,∵⊥,如图，所示的多面体是由底面为的长方体被截面1F所截面而得到的，其中4，2，1=3，1.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点C到平面1F解法1：（Ⅰ）过E作交1于H，则1，，且.∵∥1，∴∠∠C1.∴△≌△1.∴12.（Ⅱ）延长C1E与交于G，连，则平面1F与平面相交于过C作⊥，垂足为M，连C1M由三垂线定理可知⊥C1M.由于⊥面C1且面1F，所以平面1F⊥面C1在△C1CM中，作⊥1，垂足为Q，则的长即为C到面1F解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.∵1F（）设为面1F的法向量，的夹角为a，则∴C到平面1F的距离为正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点。（1）求点到直线的距离.（2）求直线到平面的距离．解：（1）连结，，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线的距离。在中．（2）因为与平面交于ＡＣ的中点Ｄ，所以到平面的距离等于Ａ点到平面，，，即直线到平面的距离是．【解后归纳】求空间距离留意三点：1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．【范例4】如图，在长方体1中，1=1，2，点E在棱上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；.解析：法1（1）∵⊥面11，A1D⊥1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面1的距离为h，在△1中，1=，1=，故（3）过D作⊥于H，连D1H、，则D1H⊥，∴∠1为二面角D1——D的平面角.设，则2－x（1）（2）因为E为的中点，则E（1，1，0），设平面1的法向量为，，从而，所以点E到平面1C的距离为（3）设平面D1的法向量，由令1,∴2,2－x，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角D1——D的大小为.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.把边长为a的正△沿高线折成60°的二面角，则点A到的距离是()B.C.D.2.△中，9，15，∠120°.△所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，则点P到平面α的距离为()A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P向α引两条斜线为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2和12,则P到α的距离是()A.4B.3或4C.6D.4或64.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段上，动点Q在线段上，则P与Q的最短距离为()A.B.C.5.在四面体P—中，、、两两垂直是面内一点，且点M到三个面、、的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形沿较短的对角线折成60°的二面角，则与的距离是()A.B.C.D.第6第6题图第7题图7.如图，四棱锥P—的底面为正方形，⊥底面，＝1，设点C到平面的距离为d1，点B到平面的距离为d2，则有()A.1<d1<d21<d2<11<1<d22<d1<18.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△的重心为G.假如A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，则等于()A.2dB.3dC.4dD.以上都不对第8第8题图第9题图9.如图，菱形边长为a，∠60°，E、F、G、H分别是、、、上的点且，沿和把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面的距离是()A.B.C.D.二、思维激活10.二面角αβ等于60°，平面α内一点A到平面β的距离的长为4，则点B到α的距离为.11.在60°的二面角α—l—β中，A∈α⊥l于C，B∈β，⊥l于D，又，则A、B两点间距离为.12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4和1，与平面α所成的角是60°，则线段的长是.13.在直角坐标系中,已知A(3,2)(-32)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A——B后,∠90°，则α的值是.三、实力提高14.在边长为a的菱形中，∠60°，⊥平面，E是的中点，求点E到平面的距离．15.在直三棱柱—A1B1C1中，∠为直角，侧面1与侧面1所成的二面角为60°，M为1上的点.∠A11=30°，∠1=90°，(1)求与侧面1所成角的正切值.第15题图(2)求顶点A到面1第15题图16.已知斜三棱柱—A1B1C1的侧面A11与底面垂直.∠90°22,且1⊥1C11（1）求侧棱A1A与底面所成角的大小（2）求侧面A11与底面所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A11的距离.17.如图，在棱长为a的正方体—A1B1C1D1中，E、F分别为棱与的中点，与交于H(1)求二面角B1——B的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面1，并证明你的结论(3)求点D1到面1的距离.第第17题图空间的距离习题解答1折后,∴点A到的距离为.2.∴△外接圆半径,∴点P到α的距离为3设⊥α垂足为,∠β,∠γ,则β-γ=45°,βγ(β-γ)45°绽开左边并整理得2-1024=0,解得x1=62=4.4P、Q的最短距离即为异面直线与间的距离，当P为的中点，Q为的中点时符合题意.5.6取的中点O连、，作⊥于E，则为所求，∴.7点C到平面的距离d1=,点B到平面的距离d2=，∵,∴d2<d1<1．8′，又.∴3d.9设的中点为O，∴，点A到平面的距离为.10.2作⊥于C，连，则⊥，第13题图解∴∠第13题图解∴平面⊥平面α，作⊥于D，则⊥α，∴的长即为所求，得2．11..12.2或当点A、B在α同侧时，;当点A、B在α异侧时，13.如图″=∵⊥y轴′C⊥y轴,∴∠B′″为二面角A——B的平面角.∠B′″=α,在△B′″中′″3,第14题图解B′B″=,由余弦定理易知α=.第14题图解14.如图，将点E到平面的距离转化成线面距，再转化成点面距.连、，设、交于O，则∥平面，∴上任一点到平面的距离相等．∵平面⊥平面，过O作⊥平面，则G∈，又∠60°，，∴60°=.点评：若干脆过E作平面的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要留意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．15.(1)∵三棱柱—A1B1C1为直三棱柱，∴∠为二面角B1—1—C1∴∠60°.又∵∠为直角，∴⊥侧面1.连，则是在侧面1上的射影.∴∠为与侧面1所成的角.且∠1=90°，∠A11=30°，所以∠60°.设，则，，所以∠.即与侧面1所成的角的正切值为.(2)过A作⊥，垂足为N，则∥面1.∵面⊥面1，且过N作⊥，垂足为H，则是N到面1的距离，也就是A到面1的距离.∵,且∠30°，第16题图解∴且∠60°，∴.第16题图解∴∠×(本题还可用等积法).16.(1)如图所示,作A1D⊥,垂足为D,由面A11⊥面,得A1D⊥面∴∠A1为A1A∵1⊥1C1∴∠A145°为所求.(2)作⊥垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面,得A1E⊥,∴∠A1是面A11与面所成二面角的平面角.由已知⊥得∥,又D是的中点22∴11∠A1,故∠A160°为所求.(３)连结A1B,依据定义,点C到面A11的距离,即为三棱锥C—A1的高h.由—A11得S△1△·A1D即,∴为所求.第17题图解17.(1)如图连结B1D1，，B1第17题图解∵底面为正方形，∴对角线⊥.又∵E、F分别为、的中点又∵棱B1B⊥底面，面，∴⊥B1B.又B1B∩1面1D1D，面1D1D.∴⊥面1D1D.而B1Ｈ面1D1D，面1D1D，∴⊥B1H，⊥.∴∠B1为二面角B1——B的平面角.在△B1中，B1，∴∠B1.∴∠B12.∴二面角B1——B的大小为2.(2)在棱B1B上取中点M，连D1M则D1M⊥面1.连结C1∵⊥面1D1D，D1M面1D1D.∴D1M⊥又∵D1C1⊥面B11∴C1M为D1M在面B11在正方形B11中，M、F分别为B1B和的中点，由平面几何学问B1F⊥C1于是，由三垂线定理可知B1Ｆ⊥D1Ｍ，而B1F面1，面1，∩1F，∴D1M⊥面1(3)设D1M与面1交于N点，则D1N为点D到面1∵B1Ｎ面11M⊥面1，∴B1N⊥D1M在△1D1中，由射影定理D1B121N·D1M而D1B11Ｍ=，∴D1即点D1到面1的距离为.中学数学立体几何空间距离的计算（学生版）1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离假如一条直线和一个平面平行，则直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上随意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形中，，E、F分别是、的中点.例1题图求证：是和的公垂线；例1题图如图,正四面体的棱长为1，求异面直线、之间的距离.例例2题图【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）假如两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）假如两条异面直线分别在两个相互平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3例3题图如图,正四面体的棱长为1，求：A到平面的距离；在梯形中∥,∠3a且∠,又⊥平面,求：(1)二面角P——A的大小;(2)点A到平面的距离.如图，所示的多面体是由底面为的长方体被截面1F所截面而得到的，其中4，2，1=3，1.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点C到平面1F正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点。（1）求点到直线的距离.（2）求直线到平面的距离．【解后归纳】求空间距离留意三点：1．常规遵循一作二证三计算的步骤；2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．如图，在长方体1中，1=1，2，点E在棱上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.把边长为a的正△沿高线折成60°的二面角，则点A到的距离是()B.C.D.2.△中，9，15，∠120°.△所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，则点P到平面α的距离为()A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P向α引两条斜线为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2和12,则P到α的距离是()A.4B.3或4C.6D.4或64.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段上，动点Q在线段上，则P与Q的最短距离为()A.B.C.5.在四面体P—中，、、两两垂直是面内一点，且点M到三个面、、的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a的菱形沿较短的对角线折成60°的二面角，则与的距离是()A.B.C.D.第6第6题图第7题图7.如图，四棱锥P—的底面为正方形，⊥底面，＝1，设点C到平面的距离为d1，点B到平面的距离为d2，则有()A.1<d1<d21<d2<11<1<d22<d1<18.如图所示，在平面α的同侧有三点A、B、C，△的重心为G.假如A、B、C、G到平面α的距离分别为a、b、c、d，则等于()A.2dB.3dC.4dD.以上都不对