数理方程复习

数学物理方程数学角度微分积分方程偏微分方程波动方程(双曲型偏微分方程)恒定场方程(椭圆型偏微分方程)输运方程(抛物型偏微分方程)定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题。2021/5/91三类基本方程在直角坐标系中的表示一、波动方程二、热传导方程三、拉普拉斯方程2021/5/92

定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；

若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。定解问题＝泛定方程+定解条件边界条件确定本征值和本征函数要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件，如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却等）以及初始条件的表述方法。初始条件确定级数叠加系数2021/5/931、线性二阶偏微分方程的一般形式该方程为齐次的该方程为非齐次的数学物理方程的分类

方程为双曲型方程为抛物型方程为椭圆型2021/5/94行波法一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题——达朗贝尔公式2021/5/95对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为两个方向传播出去，波速为，也即:以速度沿负方向移动的行波以速度沿正方向移动的行波通解的物理意义：

2021/5/96三维达朗贝尔公式物理意义：（1）空间任一点M在任意时刻t>0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上初始状态决定；（2）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。2021/5/97二、一般的二阶齐次线性偏微分方程特征线的求法：其特征方程为：其特征方程的解即为特征线方程：如2021/5/98双曲型方程过其中每一点有两条不同的实的特征线椭圆型方程过其中每一点不存在实的特征线抛物型方程过其中每一点有一条实的特征线三、傅里叶级数2021/5/99傅里叶变换式傅里叶逆变换式复数形式的傅里叶变换2021/5/910基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。分离变量(傅立叶级数)法要求能熟练应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程（矩形区域和圆形区域）的定解问题。2021/5/911解题步骤:边界是否齐次写出本征值、本征函数、待求物理量的傅立叶级数展开式边界齐次化写出定解问题方程非齐次项和初值条件的级数展开代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值写出解的表达式和系数2021/5/912边界齐次化（考点）2021/5/9132021/5/914边界条件（四种）：2021/5/915波动方程：热传导方程：2021/5/916拉普拉斯方程：1、矩形区域：2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：2021/5/917若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。满足有界性条件的通解为：在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两边的系数，达到化简叠加系数的目的.2021/5/918求解非齐次方程—特征函数法2021/5/919将V（x,t）按W（x,t）的本征函数进行展开，如：令：若表达式与x无关或可以写成关于x的正余弦形式，不用展开，否则，也需要按W的本征函数展开。2021/5/920将展开式代入原方程，注意等号两边的比对，代入初始条件，化简叠加系数。具体内容参见课件中相关例题。本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。2021/5/921格林函数主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程1、熟记第一格林公式和第二格林公式----第一格林公式----第二格林公式2021/5/9222拉普拉斯方程的钮曼问题有解的必要条件3拉普拉斯方程解的唯一性问题结论狄利克雷问题在原定解问题中的解是唯一确定的；

钮曼问题的解在相差一个常数下也是唯一确定的.4、三维拉普拉斯方程的基本解.或2021/5/923（2）、二维拉普拉斯方程的基本解.使用镜像法求上半空间内的格林函数在狄利克雷问题中2021/5/924为上半空间的格林函数.球域内的格林函数：具体内容参见课件上相关例题。2021/5/925贝塞尔函数在讨论圆盘区域内瞬时温度分布问题中遇到的n阶贝塞尔方程做代换,n阶贝塞尔方程的标准形式.熟记！熟记！2021/5/926贝塞尔函数的级数解法n阶贝塞尔方程的一个特解熟记！2021/5/927或当n不为整数时,和线性无关．n阶贝塞尔方程的通解为另两个特解2021/5/928当n为整数时，有：

当n为整数时,与线性相关n阶贝塞尔方程通解只可写为贝塞尔函数的性质：1有界性

2021/5/929n为偶数时，为偶函数n为奇数时，为奇函数性质2奇偶性

性质3递推性（大题考点）具体内容参见课件上相关例题2021/5/930贝塞尔方程的本征值为与本征值对应的本征函数为：2021/5/931称为贝塞尔函数的模。傅立叶-贝塞尔级数2021/5/932往年考题2021/5/933定解问题的适定性指的是___________________________。1．定解问题中的定解条件包含________________________，2.边值问题

的固有值为_______

，_________

，n=_____________。固有函数为2021/5/934先求出对应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系，为_________，再设u(x,t)=______________________，将自由项按此函数系展开为__________，一起代入原方程，利用初始条件，求出待定函数，最后得u(x,t)=_______________。3.对于非其次方程的定解问题通常采用固有函数法求解，比如对定解问题2021/5/9355.贝塞尔方程的通解可表示为

_____________

。=

，

=_________________________________________。6.第一类贝塞尔函数二、用格林函数法求解球域内拉普拉斯方程的狄利克雷问题：

（10分）

2021/5/936四、（12分）求解下列定解问题三、（12分）求解热传导方程定解问题

2021/5/937五、（12分）求下列