第19章四边形-正方形课件沪科版八年级下册数学

.4正方形探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；

探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算.学习目标图片欣赏观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.正方形的定义问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形的定义问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形的定义问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形的定义邻边相等一个角是直角正方形的定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.问题1谈谈对称性正方形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么有几条对称轴，都是哪些直线？正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.问题1谈谈对称性正方形是不是中心对称图形？如果是中心对称图形，那么对称中心在哪里？正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.问题2谈谈正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.两组对边分别平行有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.问题2谈谈正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系.问题3谈谈正方形的性质.正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.精讲例题1求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.正方形性质的应用证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.精讲例题2已知，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上.求证：DE=BE正方形性质的应用证明:在△AED和△AEB中，∵AD=AB,AE=AE∠DAC=∠BAC=45°∴△AED≌△AEB（SAS）∴DE=BE【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．正方形性质的应用解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．正方形性质的应用当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；正方形性质的应用解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC（SAS)．【变式题2】如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（2）求证：∠BAP=2∠PAC．正方形性质的应用证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．

正方形的判定从矩形出发的判定方法先判定矩形有一组邻边相等对角线互相垂直正方形有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形的判定从菱形出发的判定方法先判定菱形有一个角是直角对角线相等正方形有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.正方形的判定从四边形出发的判定方法先判定菱形正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.有一组邻边相等有一个角是直角对角线互相垂直对角线相等正方形的判定从平行四边形出发的判定方法先判定菱形正方形对角线相等且互相垂直且互相平分的四边形是正方形.对角线互相垂直对角线相等且互相平分精讲例题4已知：点E、F、M、N分别在正方形ABCD四边上，且AE=BF=CM=DN．求证：四边形EFMN是正方形.正方形判定的应用证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.精讲例题5如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.正方形判定的应用证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB，

∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形.

挑战自我前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？挑战自我1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等

D．对角线互相垂直且相等A挑战自我2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）2222

A挑战自我3.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是________.22.5°挑战自我4.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．AB=BC(答案不唯一)挑战自我5.如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形．求证：AE=CG.挑战自我6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？解：①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形.②∵四边形AEDF为菱形，∴AD平分∠BAC，则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.挑战自我