高数(同济五版上册)期末考试题目

高数(同济五版上册)期末考试题目2011学年第一学期《高等数学（同济五版）》期末模拟试卷一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1lim(exx)x2x01．.dxx.1xx1ee2005x2．1xyedyt2dtxyy(x)3．设函数由方程确定，则dxx0.1f(0)1fx，，则xtf(t)dtf(x)1fx4.设可导，且5．微分方程y4y4y0的通解为.二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）f(x)lnxxk1．设常数，则函数k0(0,)e在内零点的个数为（）.(C)1个;(D)0个.(A)3个;(B)2个;2．微分方程y4y3cos2x的特解形式为（）.Acos2x;（B）yAxcos2x;Asin2x.（A）yAxcos2xBxsin2x;（D）y*（C）y3．下列结论不一定成立的是（）.c,da,bfxdxfxdxdb（A）若,则必有;cafxdx0bf(x)0ab,（B）若在上可积,则;aaTfxdxfxTfxdxaT（C）若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;a0xtftdtfx（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.01/8高数(同济五版上册)期末考试题目11exfx123exx,则是的（）.0f(x)4.设(A)连续点;(B)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）2x3ex2dx1．计算定积分.0sindxcosx.5xx2．计算不定积分xa(tsint),t在处的切线的方程.ya(1cost),23．求摆线2/8高数(同济五版上册)期末考试题目F(x)xcos(x2t)dt0F(x).4.设，求n(n1)(n2)(n3)(2n)xnlimx，求nn.n5．设四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.x3/8高数(同济五版上册)期末考试题目xy22xyxx22．设平面图形与所确定，试求D绕直线生成的旋转体的体积.2D由旋转一周所3.设a1,ftaat在()(,)内的驻点为t(a).问为何值时t(a)最小?并求at最小值.五．证明题（7分）f(0)=f(1)0,f(1)1，(0,1)上连续，内可导且设函数在f(x)[0,1]2在(0,1),使得f()=1.试证明至少存在一点4/8高数(同济五版上册)期末考试题目答案详解一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1lim(exx)x21e21．2．.x0141xxeedx2005xxe.1xyet2dtxdye1.yy(x)3．设函数由方程确定，则dxx01fxxtf(t)dtf(x)，f(0)1，则1fxx2e24.设可导，且.1yCCxex()25．微分方程y4y4y0的通解为12.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：f(x)lnxxk1．设常数，则函数k0(0,)在内零点的个数为（B）.e(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程y4y3cos2x的特解形式为（C）Acos2x；（B）yAxcos2x；Asin2x（A）yAxcos2xBxsin2x；（D）（C）yy*3．下列结论不一定成立的是（A）c,da,bfxdxfxdxdb(A)(A)若,则必有;cafxdx0bf(x)0ab,(B)(B)若在上可积,则;afxTa(C)(C)若是周期为的连续函数,则对任意常数都有aTfxdxTfxdx;a0fxxtftdt(D)(D)若可积函数为奇函数,则也为奇函数.011exfx123exx0f(x)4.设,则是的（C）.(B)可去间断点;(A)连续点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.5/8高数(同济五版上册)期末考试题目三．计算题（每小题6分，5题共30分）：2x3ex2dx.1．计算定积分01tetdt12tdet设x2t,则2x3ex2dx20220解：-------201te22etdtt200-------22e212ete213022--------2xxsindxcosx.52．计算不定积分xsinxdx1xd(1)1xdxcos5x4cos4x4cos4xcos4x解：--------3x1(tan2x1)dtanx4cos4x41tan3x1tanxCx4cos4x124-----------3xa(tsint),t在处的切线的方程.ya(1cost),23．求摆线2(a(1),a)解：切点为-------2asinta(1cots)kdydxtt21-------22yaxa(1)yx(22)a2切线方程为即.-------2F(x)xcos(xt)dt2，则F(x)2xcosx2(2x1)cos(x2x).4.设0n(n1)(n2)(n3)(2n)xnlimx，求nn.n5．设lnx1ln1(i)nnnn解：---------2i1limlnxlimln(1i)11ln(1x)dxnnnnnni10--------------2------------2xln(1x)11x1dx2ln211x0=04limxe2ln21e故=nn6/8高数(同济五版上册)期末考试题目四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线yx2x与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.解：1yx22x（x,y)设切点为，则过原点的切线方程为，0004,xy（x,y)2.-----3由于点在切线上，带入切线方程，解得切点为0000xy(4,2)22过原点和点的切线方程为-----------------------------3222(y222y)dy2=s3面积-------------------30s2或1xdx4(1xxdx222)0222232xy22xyxx2与所确定，试求一周所生成的D绕直线旋转22．设平面图形D由旋转体的体积.VVV解：法一：1212(11y)2dy(2y)2dy120021y(y1)dy1220-------6121(y1)2(1)343043--------321(2x)(2xx2x)dxV=法二：021(2x)2xx2dx21(2xx2)dx------------------5007/8高数(同济五版上册)期末考试题目(22x)2xx222xx2dx431011231443(2xx2)2203214122232323-------------43.设a1,f(t)aat(,)t(a).t(a)a内的驻点为问为何值时最小?并求最t在小值.由f(t)atlnaa0得t(a)1lnlna.lna解:---------------3------------3又由t(a)lnlna10得唯一驻点aeea(lna)2当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.-----2aee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1lnee11.e--------------1故五．证明题（7分）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导且f(0)=f(1)0,f(1)1，2设函数内f()=1.一点使得(0,1)证明至少存在试,F(x)f(x)x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,证明：设有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,---------------21F(1)=f()-=1-1=1，[，1]111F(x)用零点定理，2在上f()=1又由，知22222211F(1)F(