《直线与平面的位置关系(2)》示范课教案【高中数学】

直线与平面的位置关系(2)教学目标教学目标1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性．2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．3.理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．4.在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.教学重难点教学重难点教学重点：掌握直线与平面垂直的判定和性质定理．教学难点：会用直线与平面垂直的判定和性质定理证明相关问题．教学过程教学过程一、新课导入情境：学校操场上的旗杆与地面的位置关系，教室两墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．那么，直线与平面垂直是如何定义的呢？我们该怎样判定一条直线和一个平面垂直，如果直线和平面垂直，又能得出什么性质呢？这节课我们来一起探究．设计意图：通过生活中线面垂直的实例，给学生以线面垂直的直观印象，为后面的学习作铺垫．二、新知探究问题1：观察圆锥SO，可以直观地看出，轴SO垂直于圆锥的底面，那么，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？答案：由于圆锥SO是由Rt△SOC绕直角边SO旋转一周形成的，因此SO与底面内的每一条半径都垂直，从而SO追问：为什么轴SO垂直于底面内的所有半径，就有SO垂直于底面内的所有直线？答案：底面内的所有直线，不是半径所在直线，就是半径所在直线的平行线，因为SO垂直于所有半径，自然也就垂直于所有半径的平行线（垂直的定义是夹角90°，而平行线平移也不改变夹角），所以SO垂直于所有直线．由此，我们给出直线与平面垂直的定义：如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直.记作a⊥α.直线a称为平面α的垂线，平面α称为直线a的垂面，垂线和平面的交点称为思考：（1）如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直吗？答案：（1）不一定，这条直线与可能在平面内，也可能与平面相交或平行．（2）垂直．注意：“任意一条直线”与“所有直线”等价，但与“无数条直线”不同．问题2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条垂直于这个平面吗？探究：如图，长方体ABCD−A'B'C'D'中，侧棱AA'答案：垂直．猜想：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．下面我们证明此猜想是否成立．已知：a//求证：b⊥分析：只要证明b与平面α内任意一条直线都垂直．证明：设m是α内任意一条直线．∵a⊥α，m⊂又a//b，∴b⊥m即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．思考：还有其他判断直线与平面垂直的方法吗？问题3：如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？追问1：如图，长方体中，直线B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD垂直吗？答案：不垂直．问题3答案：不能．问题4：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？分析：同一平面内两条直线的位置关系可能是平行或相交，需分情况讨论．答案：①当两条直线平行时：如图，长方体中，直线B′C⊥AB，B′C⊥CD，直线B′C与底面ABCD并不垂直；②当两条直线相交时：如图，长方体中，直线C′C⊥BC，C′C⊥CD，直线C′C与底面ABCD垂直．思考：结合问题3和问题4，大家能猜想出如何判定直线与平面垂直吗？答案：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．证明过程较为复杂，这里不做要求．线面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号语言：若a⊥m，注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“m⊂α，n⊂α”；②线线垂直，“a⊥直线与平面垂直的判定定理体现了“线面垂直”向“线线垂直”转化的思想．问题5：我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行．这个性质能推广到空间吗？即垂直于同一个平面的两条直线平行吗？探究：如图，长方体ABCD−A'B'C'D侧棱AA'、BB答案：平行．猜想：垂直于同一个平面的两条直线平行．下面我们证明此猜想是否成立．已知：a⊥求证：a∥分析：直接证明a∥b比较困难，我们采用证明：假定b不平行于a，设b∩a=O，b'是经过点直线b与b'确定一个平面，记为β，设α∵a⊥α，b⊥α，∴又∵b'∥a这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b与b'都与c垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾∴a∥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．符号语言：若a⊥α，b⊥思考：（1）在证明直线与平面垂直的性质定理时，用到了“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”，那么，在空间内，过直线上的任意一点有多少条直线与已知直线垂直？这些直线之间有什么关系？（2）过空间一点有几条直线和已知平面垂直？（3）过空间一点有几个平面与已知直线垂直？答案：（1）在空间内，过直线上的任意一点有无数条直线与已知直线垂直，这些直线都在同一平面内，且相交于一点．（2）如下图，过空间一点有且只有一条直线和已知平面垂直．（3）如下图，过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直．总结：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作点到平面的距离．问题6：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离有什么关系？为什么？猜想：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等．下面对猜想进行验证：已知：l∥求证：直线l上的各点到平面α的距离相等．解：过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA'，BB'，垂足分别为A'∵AA'⊥α，BB设经过直线AA'和BB'的平面为β，则α∩∵l∥a，∴∴四边形A'B∴AA'=BB'，即直线l直线和平面的距离：如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．三、应用举例例1下列说法正确的有．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．解：②.在空间中，与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确；由线面垂直的定义可知，②正确；这两条直线也可能平行，并不能保证相交，线面垂直的判定定理不成立，③不正确；如图，l与α不垂直，但a⊂α，l规律方法：对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交；判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．例2如图所示，Rt△ABC所在平面外一点S，SA=SB=SC，点D为斜边AC证明：连接BD，∵SA=SC，点D为AC的中点，∴在Rt△ABC中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD在△SAD与△SA=SB∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∴SD⊥BD又SD⊥AC，BD∩AC=C，BD、AC都在平面ABC中，∴SD⊥平面ABC总结：应用判定定理证明线面垂直的步骤：设计意图：通过例题，掌握线面垂直的判定和性质在解题中的应用，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．四、课堂练习1.已知平面α，直线l，m且m∥α，则“l⊥m”是“l⊥α2.如图，在正方体ABCD−A'B'3.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，BA.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC4.已知：在三棱锥V−ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.参考答案：1.①讨论必要性：当l⊥α时，∵m∥α②讨论充分性.当l⊥m时，∵m∥α，则l故答案为：必要不充分.2.∵BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又BD∩BB′=B，BD⊂平面BDD′B′，BB′⊂平面BDD′B′，∴AC⊥平面BDD′B′．3.A选项，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．B选项，∵AB是圆的直径，∴AC⊥BC．又AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．C选项，无法证明，错误．D选项，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC．故选C选项．4.取AC中点D，连接VD、BD，∵VA=VC，∴VD⊥AC．同理可得BD⊥AC．又VD⋂BD=D，VD⊂平面VBD，BD⊂平面VBD，∴AC⊥平面VBD，∴VB⊥AC．五、课堂小结1、直线与平面垂直的定义：如果直线a与平面α内的任意一条