学基本体投影截交线

工程制图第三讲基本体及其表面上的点和线一。平面立体的表达二。曲面立体的表达三大问题一）.基本形体的投影二）.形体上点的投影三）.形体上线的投影一平面立体：表面均为平面的几何体，如棱柱、棱锥。二曲面立体

曲面立体：各表面均为曲面或由平面与曲面共同围成的几何体，如圆柱、圆锥、圆球等。立体分类平面立体由平面所组成--->立体的投影由组成该立体的各平面（称棱面）投影的组合，而棱面是由各棱面的交线（棱线）的投影来表示一.平面立体的投影平面立体投影<---棱线的投影典型平面立体：棱柱棱锥一平面立体的表达一）基本平面立体的投影二）平面立体上点的投影三）平面立体与立体相交VWH一平面立体——1.棱柱

(1)棱柱的投影

作图时，先画反映特征的水平投影，再按投影规律完成其它两个投影。YHYW空间分析1.棱柱(2)棱柱表面上的点YH

如图所示，已知前棱面上的点A的正面投影a`，左前棱面上的点B的正面投影b`，求它们的水平投影和侧面投影。a’b’作图分析:(1)由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接求出a和a``。(2)由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性求出b,再根据YH=YW,由b和b`求出b``。baa’’YWb’’()b

2.棱锥(1)棱锥的投影SABCa’’(c’’)b’’s’’c’b’s’a’scba分析:

锥底面△ABC为水平面,棱面△SAC为侧垂面,另外两棱面为一般位置平面。作图:

一般先画出底面的各个顶点的投影,再定出锥顶S的投影,并将锥顶与底面各顶点的同面投影相连即可。(2)棱锥表面上的点和线2.棱锥(1)棱锥的投影

如图所示，已知棱面△SAB上点M的正面投影m`和棱面△SAC上的点N的正面投影n`，求作M、N两点的其余投影。a`ac`bs`b`m`（n`）a``（c``）scb``s``s`Iis

（1）棱面△SAC为侧垂面,利用积聚性可直接求出n``，再由n``、n`求得n。

（2）M点所在棱面△SAB为一般位置平面，可作辅助线的方法求解。YWYHmm`SABCMb``a`ac`bs`b`m`（n`）a``（c``）scs``n``mnm``i`kk`k``s`c`b`a`b``s``cbasc``a``n`m`h`nmm``h(n``)h``

二曲面立体

工程上常用的曲面立体一般为回转体。回转体由回转面或回转面与平面围成。

一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回转运动所形成的曲面称为回转面。

形成回转面的动线称为母线，定直线称为回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。母线

素线回转轴回转轴母线

素线圆柱面圆锥面圆球面回转轴母线

素线1）圆柱面的投影特点：水平面为圆正面和侧面为矩形重影点重影点圆柱的投影分别为其顶圆、低圆及圆柱面上转向轮廓线的投影投影积聚性转向轮廓线转向轮廓线Y1aa´a"1圆柱表面的点和线的投影bYY（1）圆柱表面的点的投影b"

b'AB投影积聚性Y1aa"a'b'c'd'(d")b"(c")bcY1Y1Y（2）圆柱表面上线的投影问：1投影为直线，是否是圆柱面上的一直线？2其他两投影是否是直线？举例Yd2）圆锥面的投影特点：水平投影---圆正面和侧面投影---等腰三角形

圆锥的投影分别为其低圆及圆锥面上转向轮廓线的投影圆锥底圆投影轮廓线投影轮廓线投影raraaYY（2）辅助圆法求点的投影Ar辅助圆为水平圆水平圆正面投影圆锥表面点和线的投影b'b'bBA2

圆锥表面点和线的投影（1）辅助素线法求点的投影aaaYY素线b'b'Y1

bY1B左右转向素线圆锥表面线的投影ac"（d"）

c

dbab"（3）圆锥表面线的投影b'c'

d'a'问：1投影为直线，是否是圆锥面上的一直线？2其他两投影是否是直线？举例3）球面的投影特点：三个投影面上的投影均是直径相等的圆

球的三面投影都是圆，各视图上的圆都是球上相应的转向轮廓线的投影前、后半球分界圆左、右半球分界圆上、下半球分界圆这是什么？a'rraa"YY3球体表面点的投影（1）应用水平圆求点的投影水平纬圆A应用正平圆求点的投影（）aa（2）应用正平圆求点的投影正平圆应用侧平圆求点的投影侧平圆（3）应用侧平圆求点的投影rr举例A

a(a')

a"截交线及基本作图方法正平圆3圆台y1•a'•a•b'by1•(a")•b"•A•B•辅助正平圆补画左视图及点的另两个投影。a’a’a’试区别图示三种视图所表示的曲面，分别标出表面上A点的水平投影aaa辅助圆法辅助素线法y2y1y3y1y3y2b'•••••••••c"c'cb"ba"a'a辅助水平圆•A•B•C补画左视图，并求出点的另两个投影c'a’ca”过b’作辅助圆b辅助水平圆4)圆环的投影

一）.截交线的性质

二）.平面体的截交线

三）.曲面立体截交线

平面与立体相交一）截交线性质截切：用一个平面与立体相交截去立体的一部分

截平面截交线截平面：截切立体的平面截交线：截平面与立体表面的交线。

截断面：因截平面的截切，在立体上形成的平面

截交线是截平面与立体表面共有点的集合截交线是封闭的平面图形共有性封闭性平面与立体表面的交线表面性一）截交线性质平面立体的截交线是封闭的平面多边形，其形状取决于平面立体的形状和截平面与立体的相对位置。截交线的每条边是截平面与立体表面的交线，多边形的顶点通常是立体棱线或底边与截平面的交点

求平面立体截交线的实质是求两平面的交线

平面与平面立体相交的画图:关键是正确地画出截交线的投影截交线的两种求法:求各棱线与截平面的交点——棱线法求各棱面与截平面的交线——棱面法解题步骤：

1）判断：包括原形判断，相交判断，明确投影图上需求些什么。

2）求交：求出棱及边上的共有点，连点（同面点）成线。

3）整形：将尚未完整的图形完整之。包括交线虚实判断，棱边去留判断；当有多个截平面截交时，取其有效的交线部分，应特别注意截平面间存在的交线。123456棱柱的截断例1：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。

求截交线

完善轮廓

检查

注意截交线投影的类似性注意可见性

空间分析和投影分析321(4)1•3•5.4•P3•2•4•1•5•(5)2•51234例题1：正五棱柱被截切后的视图和立体图321(4)1•3•5.4•P3•2•4•1•5•(5)2•棱柱的截断例3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。P154328762(3、6、7)1(8)4（5）1547283612345678立体截切前的形状.截平面与立体的相对位置确定截交线的形状；多边形的边数取决于截平面截到的棱面数

截平面与投影面的相对位置

确定截交线的投影特性

一、平面立体的截切二.平面与回转体表面相交

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。单体被多面所截单体被单面所截多体被多面所截几何实质：

平面与回转面的相交。每个局部都是单面与单体截割。

回转体截割的形式及几何实质1.概述

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。二.平面与回转体表面相交1.截交线的求解思路：先知其名，后画其形，以少胜多，连点成线。2.截交线的求解步骤：1）判断—相交的双方及其相对位置、截交线形状及其投影、解决的问题。2）求交—求点（先求特殊点，再求中间点）连点成线。3）整形—截交线的可见性判断、轮廓线的去留判断3.求点的方法：1）轮廓线上取点2）回转面上取点3）利用积聚投影取点椭圆可由8点画出二.平面与回转体表面相交1）轮廓线上取点这一方法实质是线上取点定理的直接应用。取点的方法2）回转面上取点

面上取点必需先取线（做辅助线-纬园）。取线为纬园的这一方法，对于回转面来说，具有普遍的意义。取点的方法积聚投影取点的方法2）回转面上取点1）轮廓线上取点3）利用积聚投影设点二）.曲面体的截交线—圆柱表面的截交线

所谓“柱三”，就是圆柱面与平面交线的形状根据它们的相对位置的三种不同形状。截平面与圆柱轴线垂直截交线为圆截平面与圆柱轴线平行宽宽长交线位置的确定截交线为矩形交线位置与什么有关？示例二）.曲面体的截交线-圆柱截交线二）.曲面体的截交线-圆柱截交线二）.曲面体的截交线-圆柱截交线

APQp'PQ'QYYa"aa'Q"例3圆柱被两边侧切割P"例4圆柱被中间槽PQRRQP宽宽P"Q"R"QR分析、比较分析、比较截平面与圆柱轴线倾斜截交线为椭圆椭圆的长、短轴在哪里？空间长轴空间短轴例:求圆柱截交线11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'2'3'2"3"解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。766'7'6"7"讨论：当平面倾斜角度不同时,椭圆形状会发生什么变化？

椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成45°时。45°特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点：曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点转向轮廓点：曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点：曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点：截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例：求做左视图例：求做左视图

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。Y2Y1Y2Y1BACDaa'c'(b')d'bcdc"(d")a"(b")题38分析截切形体的表面交线，画全三视图A截平面垂直于轴线截交线为圆90B截平面过锥顶截交线为三角形交线为椭圆思考椭圆长、短轴的长如何求？长轴短轴C截平面倾斜于轴线椭圆中心点D截平面平行于一条素线截交线为抛物线截交线为双曲线0或E截平面平行于两条素线（或轴线）小结：平面与圆锥相交截平面过圆锥顶点截交线为两条相交直线截平面倾斜轴线截交线为抛物线截平面平行于轴线截交线为双曲线截平面倾斜轴线截交线为椭圆截平面垂直于轴线截交线？1'2'•

1•

2•

34

••1''2''••3''4''•1找特殊点：最左(底)、最右(高)2找中点：

空间长短轴——投影长or短轴3找转向点长轴短轴6

•5•6"••5"7•8•7"

••8"4可见性分析

光滑连接例求截交线找一般点3'(4')5'(6')7'(8')例试分析物体的表面交线，并画全三视图。ca"(d")b

b"ABCDdc'a'b'

d'yrrcyY1Y1a平面与圆球相交思考圆球面截交线形状与什么有关？如何求解圆球面上的截交线的投影？(3)平面与圆球相交1.截平面平行投影面,截交线为圆。讨论：A投影面平行面与球面相交

B投影面垂直面与球面相交截平面与球体相交，截交线总是一个圆二）.曲