专题47解三角形的实际应用2020年高考数学一轮复习对点提分文理科通用教师版纸间书屋

专题 解三角形的实际应能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题下方叫俯角(1).从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.Bα(方向角：正北或方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等不要搞错各种角的含义，这些角和三角形内角之间的关系弄混(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( 俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为

方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 【答案】 【解析】(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角【衍化2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( 23 2322 D.25222【答案】 由正弦定理 又

×

sin

sin∠ABC 2

＝503.(5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝aC，D点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度 2【答案】2【解析】由已知得∠DAC＝30°，△ADCAD＝3aRt△ADB

3＝【体验

4.(2018·济南月考)ABCA40°B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东 B.北偏西C.南偏东 D.南偏西【答案】【解析】由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，所以AB325.(2017·浙江卷)我国古代数学家创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝ 322【解析】如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而2×12×sin 3＝2 和平区调研)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin 2 AB＝3＝3AD＝3，则BD的长 ＝333＝3【解析】因为 2 ＝322sin2＋∠BAD＝3AB2＋AD2－2AB·ADcos＝3，在AB2＋AD2－2AB·ADcos＝3，在（3（32）2＋32－2×32×3×2

＝考点一求距离、高度问题角度1 【例1－1】如图，一辆汽车在一条水平的公向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏30°600mB75°30° 6【答案】6【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故AB＝600600AB＝600，故由正弦定理 BC＝300

sin

sinRt△BCD中，CD＝BC·tan30＝3002×

100＝1】ABBCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于 63266326【答案】

【解析】在△BCD 由正弦定理得BC sin sinBC＝15Rt△ABCAB＝BCtan∠ACB＝152×3＝15角度 1－2BCAC，2＝1km，AC＝3km.假设和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山者能否在2个小时内徒步登上山峰？(BC点)【解析】在△ABD3＝所以AB＝BD＝1km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理 ，解得3＝

在△ACDAC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°

sin

sin得9＝3＋CD2＋23× 22CD2＋3CD－6＝0CD＝2

33－

两个小时和小徒步攀登1250×2＝2500米2.5

所以两位登山者可以在两个小时内徒步登上山峰选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.【训练2】海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与 【答案】3【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”x小时，如图，则由已知得△ABC由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，36x2－9x－10＝0，

xx2所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为3小时考点二【例2】已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该船？参考数据：sin 53，sin

3 ≈

＝14【解析】如图，设缉私艇在C处截住船，D为岛A方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，BC＝0.5x，AC＝5，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，BC2＝49BC＝0.5x＝7x＝14.5×

2 5

＝又∠BAD＝38°

＝14故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该船测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.360mAB，CD20m，50m，BDAB的顶端A看建筑物CD的∠CAD等于 【答案】5【解析】依题意可得 5CD＝50所以在△ACD（305）2＋（20（305）2＋（202×305×206000 2

26 22所以从顶端A看建筑物CD的为考点三正(余)【例3】(2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角

︵2C是上的一动点(A，B重合︵若弦BC＝4(3－1)，求BC的长求四边形OACB面积的最大值

＝3，半径 【解析】(1)在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝433

＝所以 2于是 2BC的长为6·4

3 (2)设

3，则∠BOC＝3

3S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝2×42×42sinθ＋2×42×42·sin3－θ＝24sinθ＋83cos3

θ∈3 θ＋6∈66πθ＝3

OACB的面积取得最大值16何性质与正弦、余弦定理有机结合起来4】(2019·临沂检测)ABCD

AB＝6.AB＝3使得BE＝1，连接EC，ED.若 EC＝3

＝2，＝3(1)sin∠BCE(2)CD的长＝【解析】(1)在△BEC中，由正弦定理， CE，＝因为 BE＝1，CE＝

sin＝3

72 217＝＝(2)因为

14＝3cos∠DEA＝ 3 5

－28＝14π

AED为直角三角形，又＝2所以 5 2 5

在△CED中，CD＝CE＋DE－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－2＝49.【与感悟在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件【基础巩固题组】(建议用时：40分钟2kmA，BC，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°A，C(62 62

D.23【答案】3 【解析】如图，在△ABC中，由已知可得 AC ×∴AC＝2 3＝6(km).×

sin

sin如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的A，B，Ca，b，c)A，C，b③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为 【答案】【解析】对于①③A，B两点间的距离，对于②A，B两点间的距离一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A.102海里B.103海C.203海里D.202【答案】【解析】△ABC＝根据正弦定理得BC AB，＝sin sinBC＝102(海里4.(2019模拟)一架直升飞机在200m高度处进绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则 A.400

4003

200

D.2003【答案】【解析】如图所示Rt△ACD

200

＝ ＝在△ABE中，由正弦定理得AB BE，＝sin sin

＝3DE＝BC＝2003＝3如图，从气球A上测得正前方的河流的B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( A.240( B.180(C.120( D.30(【答案】【解析】∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60＝在Rt△ACD中 ＝60＝60＝ tan 在Rt△ABD中 60 60＝60(2－

tan

2＋∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则 552【解析】在△ACDcos

＝sin

2×7×3＝14在AB 在 ACsin

57×

sin5

sin

sinB

＝22如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 7【答案】7【解析】OCCD＝150米，OD＝100在△CODOC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos60OC＝50如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为 【答案】【解析】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20由正弦定理， 2121⇒sin∠ACB＝BC·sin ＝7由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则 ＝7θ＝∠ACB＋30°，得cos＝14＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin＝14215°420s45°，则山顶的海拔高度为多少米？(2＝1.4，CDABD，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m).中 又在 中

sin 21＝ ×sin15°＝10500(6－2因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin＝10500(6－2)×

10500(2≈710000－7350＝2在△ABC

AB＝6，AC＝32DBC边上，AD＝BDAD的长＝4【解析】设△ABCA，B，Ca2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×3

a＝3sin

3 10＝

cos4

10所以cosB＝1－sin2 1

3在△ABD

10 ＝由正弦定理，得 AB·sinB ＝sin（π－2B）2sinBcos cos【能力提升题组】(建议用时：20分钟11.(2018·衡水质检)某气象仪器按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(C在水平地面下方，OCHABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中AC的距BC的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，AH的仰角为∠HAO＝30°CH为(A.210(6＋2) B.1406C.2102 D.20(6－2)【答案】【解析】由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC2BA·CA·cos即(x－40)2＝x2＋10000－100xx＝420(米 在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°， 可得 ＝1406(米612.(2019·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50s，升旗手应以 m/s的速度匀速6【答案】【解析】依题意可知 由正弦定理可 3 ·sin∠CEA＝2