矩阵的秩的若干等价刻画学士论文大学论文

学士学位论文BACHELOR’STHESISPAGE24PAGE25编号学士学位论文矩阵的秩的若干等价刻画学生姓名学号系部专业年级指导教师完成日期年月日摘要本文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有关的一些命题.关键词:矩阵;秩;等价刻画SeveralEquivalentCharacterizationsofMatrixRankAbstractFromtheDeterminant,LinearSpace,LinearEquations,LinearTransformation,OffsetStandard,Vectors,Matrices,equivalenceanddecompositionofvariousanglestocharacterizetheRankofMatrix,andthustoprovethesepropositionsandRankoftheMatrixrelatingtoanumberofpropositions.KeyWords：Matrix;Rank;EquivalentCharacterization;

目录摘要 1Abstract 1引言 21.预备知识 31.1矩阵的基本概念 31.2矩阵秩的求法 51.3矩阵的相关定理 62.矩阵的秩的等价描述 73.关于秩的命题(Ⅰ) 104.关于秩的命题(Ⅱ) 125.应用 20参考文献 24致谢····························································25引言矩阵的秩是线性代数的一个根本内容,它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩阵的重要性质之一.在区分向量组的线性相关性,求矩阵的特征值,线性方程组有无解,在多项式,维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在论文[1]高朝邦,祝宗山,关于矩阵的等价描述[J];成都大学学报(自然科学版)第25卷,第1期,2006年3月.中写了矩阵的秩的等价描述的命题,[1]高朝邦,祝宗山,关于矩阵的等价描述[J];成都大学学报(自然科学版)第25卷,第1期,2006年3月.1.预备知识1.1矩阵的基本概念定义1.1.1[2]同济大学数学系编,《工程数学线性代数(第6版)》[M];高等教育出版社2014年6月.数域中个数排列成的行列数表[2]同济大学数学系编,《工程数学线性代数(第6版)》[M];高等教育出版社2014年6月.称为矩阵,还可以记成或等.设是的一个矩阵,是一个的矩阵,将和的乘积称为,其中负矩阵令,则的负矩阵为.矩阵减法.定义1.1.2[3]徐松山,浅议线性代数中的行列式教学[J];山西广播电视大学学报2000,第5卷第1期.设,数与矩阵的乘积被记为[3]徐松山,浅议线性代数中的行列式教学[J];山西广播电视大学学报2000,第5卷第1期.注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性运算,它们与行列式的运算定义区别很大.

矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设皆是同型矩阵,,为数).(1)矩阵加法的交换律:(2)矩阵加法的结合律:(3右加零矩阵律:(4)右加负矩阵律:(5)1乘矩阵律:(6)数乘矩阵的结合律:(7)矩阵对数加法的分配律:(8)数对矩阵加法的分配律:定义1.1.3[4]吴赣吕,线性代数[M];北京;中国人民大学出版社,2011.阶子式:设在中任意取行列交错处的元素,然后按原来相应位置组成的阶行列式,被称为[4]吴赣吕,线性代数[M];北京;中国人民大学出版社,2011.例1.1共有个二阶子式,并含有4个三阶子式,矩阵的第一、三行,第二、四列交错处的元素所形成的二阶子式为,而为的一个三阶子式.因而,矩阵总共有个阶子式.定义1.1.4[5]宋晓辉,数学逻辑在线性代数中的应用[J];科技世界2005年02期.令有阶子式不为,任意阶子式(若存在的话)全为,则被称为矩阵的秩,可记成或或秩.[5]宋晓辉,数学逻辑在线性代数中的应用[J];科技世界2005年02期.规定:零矩阵的秩为.注意:(1)例如,,则中至少有一个阶子式,全部阶子式等于,且更高阶子式均为,那么是中不等于零的子式的最高阶数.(2).(3).(4)若且,则.反之,如,则因此,是方阵可逆的充要条件.(5)矩阵行向量的秩被称为矩阵的行秩;矩阵列向量的秩被称为矩阵的列秩.(6)向量组的线性极大无关组中所具有向量的个数被称为这个向量组的秩.1.2矩阵秩的求法1.2.1子式判别法(定义)例1.2设阶梯形的矩阵,求.解由于,存在一个二阶子式不等于,然而任何三阶子式都等于,则.结论:阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数.例如,,,,.一般地,行阶梯形矩阵的秩就是其“非零行的行数”也被称为“台阶数”.例1.3设,如果,求解.或.1.2定理1[6]闫国松,矩阵的秩的两种常用求法之比较[J];科技信息(学术研究)2008年14期.矩阵初等变换不变更矩阵的秩[6]闫国松,矩阵的秩的两种常用求法之比较[J];科技信息(学术研究)2008年14期.注1)只变更此行列式的符号.2)是中对应行（或列）的倍.3)是将行列式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的相对应元素上.1.2.3求矩阵1)矩阵可利用初等行变换化为阶梯形矩阵.2)阶梯形矩阵非零行的行数被称为矩阵的秩.例1.4求.1.3矩阵的相关定理(1)Binet-Cauchy定理[7]李维伦,Binet-Cauchy公式及其应用[J];工科数学,第18卷第3期,2002年6月.设和分别为和矩阵,如果,则有[7]李维伦,Binet-Cauchy公式及其应用[J];工科数学,第18卷第3期,2002年6月.,其中表示的第行和第列所决定的子式.(2)Laplace定理[8]Cauchy-Binet定理与Laplace定理的等价证明[J];工科数学,第15卷第4期,1999年8月.若为阶方阵,对任意选定的[8]Cauchy-Binet定理与Laplace定理的等价证明[J];工科数学,第15卷第4期,1999年8月.其中表示的余子式.(3)维数定理[9]黄庭松,简国明,维数公式的另一个证明[9]黄庭松,简国明,维数公式的另一个证明[J];赣南师范学院学报,1982年12月31日.2.矩阵的秩的等价描述设,那么的非零子式的最高阶数被称为矩阵的秩,用表示,以下是矩阵秩的等价描写的一组命题NOTEREF_Ref447792438\f\h[1].设,则,中不为零子式的最大阶数是;中有一个阶子式不等于零,所有阶子式都等于零;中有一个阶子式不等于零,所有阶子式都等于零;等价于;存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得的行向量组的极大线性无关组所含的向量个数是个;的列向量组的极大线性无关组所含的向量个数是个;是的行空间的维数;是的列空间的维数;方程组含有个独立的方程,剩下的方程是这些方程的线性组合;方程组的解空间的维数为;设维线性空间的一个基为,维线性空间的一个基为,从到的线性映射的矩阵为,即,则的像空间的维数是;设有线性映射;存在型的列满秩矩阵和型的行满秩矩阵,使成立.存在个线性无关的,个线性无关的,使得.证明:由秩的定义易知(1)(2)(3)(4).(1)(5).因为,故可将经过一系列的初等变换可化成.然而这一系列的初等变换可以用阶初等矩阵和阶初等矩阵表示,使得,令,由初等变换矩阵可逆知:可逆.(1)(5).由为可逆矩阵,使得,得,这相当于由经过一系列的初等变换而得;又因为矩阵的秩不会由初等变换而改变,所以.(1)(6).设,为行向量,由于,由命题(2)知存在阶子式,且所有,即有所在的行线性不相关,且任意个行向量都线性相关,因此的行向量组的一个极大无关组就是所在的行,从而的行向量组的秩为.(1)(6).由的行向量组的秩为,依据向量组线性无关的条件可知,这个行向量所在的行的阶子式不为零,且全部阶子都为零,故.(1)(7)的证明和(1)(6)的证明类似.(1)(8)设的行向量组为,由它们所生成的行空间为:显然从以上可得:行向量空间的维数与行向量组的秩相等.(1)(9)的证明和(1)(8)相似.(1)(10).矩阵的初等变换的过程实际上可以看作是解方程组的过程,等价性显然成立.(1)(11).由方程组的解空间的一个基就是方程组的基础解系可知命题是成立的.(1)(12).设的列向量组是,那么有线性方程组有解,这的说的是的生成空间.因此,从而的维数与的维数相等.而由(9)知的维数与一样,故命题成立.(1)(13)由,则的行向量组有一个极大无关组,不妨设为,从而令.显然为行满秩的矩阵,下面证明为列满秩的矩阵,即证就可以了.注意,由于被线性表示出的系数是惟一的,且被表示出的系数恰好是阵的第行,且分别为即有行线性无关,剩下的各行都可以由这行线性表出,所以.(1)(13)由,且,所以,只需证即可.而此时只需利用一个结果就可以了;设分别是和型矩阵,则有,由此可知.3.关于秩的命题(Ⅰ)设为阶矩阵,(1).(2).(3).(4).(5)设是阶可逆阵,是阶可逆阵,则.(6);特别地,当时,有.(1)—(5)的证明略[10][10]国慧,矩阵的秩及应用[J];邢台学院学报,第26卷第2期,2011年6月.证明:方法1,运用Binet-Cauchy公式.设,设,那么存在,然而所有阶子式都为零.记,则的阶子式因此.对于的任意阶子式所以,故.方法2,设,,那么存在可逆矩阵,使得;其中,且所以故所以.方法3,记的解空间是,的解空间是,那么.设,则.记,则.所以.所以.这样.故.4.关于秩的命题(Ⅱ)(1)(2)证明:(1)(2)证明见文献[11][11]左可正,关于若干个矩阵和的秩等式与不等式[J];湖北师范学院学报(自然科学版)第30卷第1期,2010年1月(3)设,则.证明：方法1,设,当时,所以.同理方法2,设,设,方法3,设,.那么存在可逆矩阵,使,成立.所以方法4,设.则.所以的列向量可以由的列向量线性表现,故.考虑的行向量,可得.方法5,记的解空间是,的解空间是,则.故.同理,考虑与,可得.方法6,[12]姚慕生,《高等代数》(教学方法指导)[M];复旦大学出版社,2003年.取维线性空间的一个基,维线性空间的一个基,维线性空间的一个基.设线性映射对,线性映射,即[12]姚慕生,《高等代数》(教学方法指导)[M];复旦大学出版社,2003年.,因为,所以.另一方面,因为,所以方法7,用块的初等变换又由于,事实上的列向量可由的列向量线性表示,所以列向量可用线性表示.因此,,故,同理可证方法8,因为,所以.因为,所以.(4).证明:方法1,设,即的列向量的极大无关组含个向量.所以,做列的初等变换可使除去列外都为零;设.同理可用列的初等变换使除列外都为零.所以,做列的初等变换可使除列外全为零.故.方法2,设,为的列向量的极大线性无关组.设,是的列向量的极大线性无关组,则的列向量可用,线性表出,故.方法3,设,则齐次线性方程组含有个独立的方程.设,则齐次线性方程组具有个独立的方程.这样的独立方程的个数至多为个.所以.方法4,设的解空间为,的解空间为,的解空间为,则.因为,所以.方法5,.方法6,.利用结论“”.方法7,设,.对的任意阶子式,必至少有列来自或至少有列来自.对这些列用Laplace定理展开即可得到此子式为零.(5).证明:方法1,设为的列空间的基,为的列空间的基.则的列向量都可以用他们线性表示,故.方法2,的每个列向量都可以由线性表出,故.方法3,,.故存在可逆矩阵,使得.这里.则.所以.方法4,设,,.故存在使得.因而.所以.方法5,.方法6,.方法7,因为.所以.方法8,.方法9,[13]周金森,刘宏锦,《从范畴论的观点看高等代数》[J];龙岩学院学报，第28卷第2期,2010年4月.取维线性空间的一个基.维线性空间的一个基.设线性映射对应,线性映射对应,即[13]周金森,刘宏锦,《从范畴论的观点看高等代数》[J];龙岩学院学报，第28卷第2期,2010年4月.因为.所以.故.方法10,设的解空间为,的解空间为,的解空间为,则.因为.所以.故.(6)、,这里.证明:方法1,设,则存在可逆矩阵,使得.所以.方法2,设,,则存在可逆矩阵,使得,所以设,这里.则有方法3,取维线性空间的一个基,维线性空间的一个基,维线性空间的一个基.设线性映射对应,线性映射对应,即,考虑在的限制映射.则.因为.所以.方法4,取维线性空间的一个基,维线性空间的一个基,维线性空间的一个基.设线性映射对应,线性映射对应.因为.所以.方法5,,所以.但是(7).证明:方法1,设,则存在可逆矩阵,使得.所以.所以.方法2,.所以.方法3,设是有限线性空间,是线性映射,分别对应矩阵.考虑在和上的导出映射,我们有,,因为,故有,所以.(8)设,则.证明:方法1,设的解空间为,的列空间是的子空间,所以.方法2,由“”直接得出.方法3,设,则存在可逆矩阵使得.又设,这里是行矩阵.由题设,知即.所以.(9)设且,则.证明:方法1,因为,所以.因为,所以.方法2,用块的初等变换5.应用1.设且.求证.证明:因为,所以.因为,所以,所以.所以2.设都是方阵,而且.证明.证明:因为,所以.所以又因为.所以3.设都是阶方阵,且,证明.证明:因为,所以.又.所以.4.设都是级矩阵,证明:如果,且,那么[14]李瑞阁,胡祎,万冰蓉,齐次线性方程组解理论的一个应用[14]李瑞阁,胡祎,万冰蓉,齐次线性方程组解理论的一个应用[J];南阳师范学院学报,第2卷第9期,2003年9月.证