核心考点05多项式的因式分解（原卷版）

核心考点05多项式的因式分解目录考点一：因式分解的意义考点二：公因式考点三：因式分解-提公因式法考点四：因式分解-运用公式法考点五：提公因式法与公式法的综合运用考点六：因式分解-分组分解法考点七：因式分解-十字相乘法等考点八：因式分解的应用考点考点考向一．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．二．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．三．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．四．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．五．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．六．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）七．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．八．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．考点考点精讲一．因式分解的意义（共1小题）1．（2022春•姜堰区校级月考）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2C．x2+2x+1＝x（x+2）+1D．﹣18x4y2＝﹣6x2y2•3x2y二．公因式（共2小题）2．（2022春•高淳区校级期中）用提公因式法对多项式12x（a+b）﹣4y（a+b）进行因式分解，公因式应确定为．3．（2022春•姑苏区校级期中）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（）A．3x2y2zB．x2y2C．3x2y2D．3x3y2z三．因式分解-提公因式法（共2小题）4．（2022春•惠山区期中）多项式4x3y2+8x2y3﹣2x2y分解因式时所提取的公因式是．5．（2022春•溧阳市期末）因式分解：xy﹣y2+y＝．四．因式分解-运用公式法（共4小题）6．（2022春•淮安区期末）因式分解：（1）a2﹣9；（2）x2﹣4x+4．7．（2022春•亭湖区校级月考）把下列各式分解因式：（1）25（a+b）2﹣16（a﹣b）2；（2）16x4﹣8x2y2+y4．8．（2021春•射阳县校级期末）分解因式：a2﹣4ab+4b2＝．9．（2022春•南京期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数“．如：4＝22﹣0212＝42﹣2220＝62﹣42…所以4，12，20都是“奇巧数“（1）28，32，36三个数中，是“奇巧数“的为；（2）小明同学在演算后发现，一个正奇数4倍的数一定是“奇巧数“，请你说明理由；（3）2020是“奇巧数“吗？为什么？五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）10．（2022•连云港模拟）因式分解：ab2﹣4a＝．11．（2022春•金坛区期中）已知x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x3y+2x2y2+xy3的值．12．（2022春•江都区月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．六．因式分解-分组分解法（共2小题）13．（2021春•金坛区期末）因式分解：4x2﹣y2﹣2y﹣1＝．14．（2021春•阜宁县期中）很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）x4+64；（2）x3﹣y3．七．因式分解-十字相乘法等（共4小题）15．（2022春•锡山区期中）若在x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n）中，m、n是常数，则m+n的值为．16．（2022春•遵化市期中）在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因为看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），乙同学因为看错了常数项而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请写出正确的因式分解的结果．17．（2022春•高新区月考）【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题：已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M．【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，∴M＝±2×2x*1＝±4x；当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x22的二项式的平方，∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，∴M＝4x4．综上述，M为4x或﹣4x或4x4．【解后反思】①上述解答过程得到等式：4x2±4x+1＝（2x+1）2；4x4+4x2+1＝（2x2+1）2观察等式左边多项式的系数发现：（±4）2＝4×4×1．②结合多项式的因式分解又如：16x2+24x+9＝（4x+3）2；9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2，发现这两个多项式的系数规律：242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4．③一般地：若关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：；【解决问题】（2）若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式N；（3）若关于x的多项式x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m）是一个含x的多项式的平方，求实数m的值．18．（2022春•邗江区期中）阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．八．因式分解的应用（共5小题）19．（2022春•沭阳县月考）已知长方形的周长为12，面积为8，若长方形长为a，宽为b．则a2b+ab2＝．20．（2022春•兴化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．21．（2022春•吴江区期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为．22．（2022春•太仓市校级月考）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）及边长为b的大正方形（C类）．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），画出图形，并根据图形回答：（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．①你画的图中需C类卡片张；②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n．若用x，y表示四个相同的长方形的两边长（x＞y），观察图形并判断下列关系式：①②x+y＝m③x2+y2＝mn④其中正确的是．23．（2022春•东台市月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．（1）44和2022这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？（3）求不超过2022的所有“和谐数”之和．巩固巩固提升一、单选题1．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．2．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（）A． B． C． D．3．（2023春·七年级单元测试）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A． B． C． D．4．（2023春·江苏·七年级专题练习）多项式与的公因式是（）A． B． C． D．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（）A． B．C． D．6．（2023春·七年级单元测试）对于两个整式，，有下面四个结论：（1）当时，的值为；（2）当时，则；（3）当时，则；（4）当时，则或；以上结论正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．（2023春·江苏·七年级专题练习）利用因式分解简便运算：＝_____．8．（2023春·七年级单元测试）分解因式：______．9．（2023春·江苏·七年级专题练习）利用因式分解计算：的结果是______．10．（2017春·江苏无锡·七年级统考期中）因式分解：_____.11．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：______；______．12．（2023春·七年级单元测试）分解因式：________________．13．（2023春·江苏·七年级专题练习）两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成；乙因看错了常数项而分解成，则多项式为______，因式分解后的正确结果应该是______．14．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：______．15．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知多项式能分解为，则______，______．三、解答题16．（2023春·七年级单元测试）分解因式：17．（2023春·七年级单元测试）因式分解：18．（2023春·七年级单元测试）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3(1)根据图2完成因式分解：________；(2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；(3)图1中的两个正方形的面积之和为，两个长方形的面积之和为，与有何大小关系？请说明理由．19．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：利用这个式子可以将某些二次项系数为的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数这是一个型的式子，∴，∴(1)填空：式子的常数项_______，一次项系数___________，分解因式______．(2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______．20．（2023春·七年级单元测试）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．(1)由图1中的大正方形的两种面积表示方法可得到因式分解的等式；(2)先画出一个面积为的几何图形，再根据图形的面积将代数式因式分解：；(3)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．①用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：；②已知，请利用上面的等式求．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式（利用公式法）：；(2)求多项式的最小值；(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．22．（2023春·七年级单元测试）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：再如“”分法：利用上述方法解决下列问题：(1)分