2023高考第一轮复习课件和测试(9.1空间几何体的结构特征)

2023年高考数学总复习9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图但因为测试新人教B版1.(文)(2023·广东佛山质检)假设一个圆台的正视图如以下图所示，那么其侧面积等于()A．6 B．6πC．3eq\r(5)π D．6eq\r(5)π[答案]C[解析]由正视图可知，该圆台的上、下底面半径分别是1、2，圆台的高为2，故其母线长为eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5)，其侧面积等于π·(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.(理)(2023·合肥市质检)以下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，那么该几何体的侧面积是()A．6π B．12πC．18π D．24π[答案]B[解析]由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S＝π(1＋2)×4＝12π.2．(文)(2023·广东惠州一模)△ABC的斜二侧直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为(A．2eq\r(3) B.eq\r(3)C．2eq\r(6) D.eq\r(6)[答案]C[解析]如图：在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin\f(2π,3))＝eq\f(2,sin\f(π,4))，得a＝eq\r(6)，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(6)＝2eq\r(6).(理)如以下图所示是水平放置三角形的直观图，D是△ABC的BC边中点，AB、BC分别与y′轴、x′轴平行，那么三条线段AB、AD、AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD[答案]B[解析]由条件知，原平面图形中AB⊥AC，从而AB<AD<AC.3．(文)(2023·北京西城模拟)一个简单几何体的主视图、左视图如以下图所示，那么其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的选项是()A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]B[解析]根据三视图画法规那么“长对正，高平齐、宽相等〞，俯视图应与主视图同长为3，与左视图同宽为2，故一定不可能是圆和正方形．(理)(2023·新课标全国理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如以下图所示，那么相应的侧视图可以为()[答案]D[解析]由正视图知该几何体是锥体，由俯视图知，该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角形，故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的，两锥体有公共顶点，圆锥的两条母线为棱锥的两侧棱，其直观图如以下图，在左视图中，O、A与C的射影重合，左视图是一个三角形△PBD，OB＝OD，PO⊥BD，PO为实线，故应选D.4．(2023·广东文，7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10[答案]D[解析]从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．(文)(2023·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如以下图所示，该几何体的体积为12π＋eq\f(8\r(5),3)，那么正视图与侧视图中x的值为()A．5 B．4C．3 D．2[答案]C[解析]根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体，圆柱的底半径为2，高为x，四棱锥的底面正方形对角线长为4，四棱锥的高h＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，其体积为V＝eq\f(1,3)×8×eq\r(5)＋π×22×x＝12π＋eq\f(8\r(5),3)，解得x＝3.(理)(2023·广东文，9)如以下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，那么该几何体体积为()A．4eq\r(3) B．4C．2eq\r(3) D．2[答案]C[解析]由三视图知该几何体是四棱锥，底面是菱形，其面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，高h＝3，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×3＝2eq\r(3).6．(2023·北京丰台区期末)假设一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如以下图所示，那么它的体积是()A.eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(32,25)π B．3eq\r(3)＋eq\f(32,25)πC．9eq\r(3)＋eq\f(32,25)π D．9eq\r(3)＋eq\f(128,25)π[答案]C[解析]由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面为边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V＝π×0.82×2＋6×eq\f(\r(3),4)×22×1.5＝9eq\r(3)＋eq\f(32π,25)，应选C.7．(文)(2023·天津文，10)一个几何体的三视图如以下图所示(单位：m)，那么该几何体的体积为____________m3.[答案]4[解析]由几何体的三视图知，原几何体是两个长方体的组合体．上面的长方体的底面边长为1,1，高为2，体积为2；下面长方体底面边长为2,1，高为1，体积为2.∴该几何体的体积为4.(理)(2023·山东聊城、邹平模考)一个几何体的三视图如以下图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，那么这个几何体的体积是________cm3.[答案]eq\f(3,2)[解析]依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如以下图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD－A1B1C1D1，其体积V＝S梯形ABCD·AA1＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3,2)cm3.8．(2023·皖南八校联考)三棱锥的直观图及其俯视图与左视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，那么该三棱锥的主视图面积为________．[答案]2[解析]由条件知，该三棱锥底面为正三角形，边长为2，一条侧棱与底面垂直，该侧棱长为2，故主视图为一直角三角形，两直角边的长都是2，故其面积S＝eq\f(1,2)×2×2＝2.9．(2023·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为eq\f(\r(6),2).其中正确的选项是________．(请写出所有正确结论的序号)[答案]②③④⑤[解析]∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BFD1E∩平面ADD1A1＝D1E，平面BFD1E∩平面BCC1B1＝BF，∴D1E∥BF；同理BE∥FD1，∴四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立；当E、F分别为AA1、CC1的中点时，易证BF＝FD1＝D1E＝BE，∴EF⊥BD1，又EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥平面BB1D1D，∴平面BFD1E⊥平面BB1D1E，∴②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为eq\f(\r(6),2).10．(文)(2023·山东文，20)在如以下图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．[解析](1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD为正方形，∴BC⊥DC.∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(2)不妨设MA＝1，∵ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2，又∵PD⊥平面ABCD，所以VP－ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PD＝eq\f(8,3).由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥VP－MAB＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＝eq\f(2,3).所以VP－MABVP－ABCD＝14.(理)(2023·青岛市质检)如以下图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如以下图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)假设N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.[解析](1)由题意可知，四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，那么四棱锥B－ACDE的体积为V＝eq\f(1,3)SACDE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(4＋2×2,2)×2＝4.(2)连接MN，那么MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝eq\f(1,2)CD，所以四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM，∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，所以，AN∥平面CME.(3)∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC，又在直三棱柱中可知，平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD，由(2)知，AN∥EM，∴EM⊥平面BCD，又EM⊂平面BDE，所以，平面BDE⊥平面BCD.11.(2023·湖南六市联考)一个几何体的三视图如以下图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C．1 D．2[答案]A[解析]由三视图知，该几何体是正六棱锥，底面正六边形的边长为1，侧棱长为2，故左视图为一等腰三角形，底边长eq\r(3)，高为正六棱锥的高eq\r(3)，故其面积为S＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).12．(2023·皖南八校联考)三棱锥的正视图与俯视图如以下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()[答案]B[解析]由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为eq\r(3)，高为2的直角三角形，应选B.[点评]由题设条件及正视图、俯视图可知，此三棱锥P－ABC的底面是正△ABC，侧棱PB⊥平面ABC，AB＝2，PB＝2.13．(文)(2023·北京文，5)某四棱锥的三视图如以下图所示，该四棱锥的外表积是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)[答案]B[解析]由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．如图：∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2eq\r(2).又∵S侧＝4×eq\f(1,2)×(4×2eq\r(2))＝16eq\r(2)，S底＝4×4＝16，∴S表＝S侧＋S底＝16＋16eq\r(2).(理)(2023·宁夏银川一中检测)如以下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()[答案]B[分析]可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断．[解析]容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，应选B.[点评]此题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对根本概念的理解与运用的命题方式值得重视．14．(2023·南京市调研)如以下图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，那么一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为[答案]13[解析]如以下图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，那么最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝15．(文)圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径长与两底面面积的和．[解析]如上图所示，设圆台上底面半径为r，那么下底面半径为2r，且∠ASO＝30°，在Rt△SA′O′中，eq\f(r,SA′)＝sin30°，∴SA′＝2r，在Rt△SAO中，eq\f(2r,SA)＝sin30°，∴SA＝4r.∵SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.(理)(2023·青岛质检)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．[解析](1)如图．(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3)(cm3)．1.(2023·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积为12eq\r(3)的正三棱柱的三视图如以下图所示，那么这个三棱柱的侧(左)视图的面积为()A．12 B．8C．8eq\r(3) D．6eq\r(3)[答案]D[解析]设此三棱柱底面边长为a，高为h，那么由图示知eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3)，∴a＝4，∴12eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4)×42×h，∴h＝3，∴侧(左)视图面积为2eq\r(3)×3＝6eq\r(3).2．(2023·河源模拟)如以下图所示，三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()[答案]B[解析]箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，应选B.3．(2023·黄冈冲刺)如以下图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是()[答案]B[解析]由所给图形知该几何体中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，PA＝4，EB＝2，故