湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题2

2022年吉首市第一届中小学教师解题大赛数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.本试卷共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的子集个数为（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】求出，即可求解.【详解】由题得，.因为，.所以.所以的子集个数为个.故选：C.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点所在区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令且，可得，然后根据复数模的几何意义结合条件即得.【详解】令且，则，所以，所以复数在复平面内对应的点所在区域是圆和圆围成的圆环，所以点所在区域的面积为.故选：C.3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉首大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图，若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据点的坐标求得，再化为标准方程，可得抛物线的焦点坐标.【详解】依题意在抛物线上，所以，即，所以，即，所以抛物线的焦点坐标为.故选：D.4.如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，正四棱锥的底面是边长为的正方形，棱锥的高为，由体积公式计算可得答案.【详解】该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为的正方形，棱锥的高为，所以该正八面体的体积为.故选：B.5.已知中，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图可得是点到的距离，根据平面向量的基本定理可得当点在点处时取得最小值，利用余弦定理求得即可.【详解】如图，由平面向量的加法法则可得是点到的距离，依题意得为等腰直角三角形，斜边为斜边的两个四等分点，因为，且，所以点在线段上运动，由图易得，当点在点处时，取得最小值，由余弦定理，得，所以.故选：C.6.某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288 B.336 C.576 D.1680【答案】B【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种,第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种，根据分步计数原理,共有种,故选：B7.蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､蹋､踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点，且球心在上，，则该鞠（球）的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图形，作出辅助线，求出，进而得到，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.详解】如图，取的中点，连接，由得：，由，得：，连接并延长，交球于点，连接，因为球的直径，设球的半径为，则，则，所以，解得：，球的表面积为.故选：A.【点睛】本题是立体几何中外接球问题，要画图，找到球心的位置，结合解三角形等知识进行求出半径，再求解球的表面积，其中如何求出半径是难点；本题属于较难题.8.已知，其中为自然对数的底数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】观察，发现都含有，把换成，自变量在或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较的大小.【详解】令，，令，，当时，，单调递增，又，所以，又，所以，在成立，所以即，令，，在为减函数，所以，即，令，，在为减函数，所以，即，所以，成立，令，则上式变为，所以所以，所以.故答案为：B.【点睛】比较大小题目，是高考的热点，也是难点，通过观察和构造函数是基本的解题要求，难点在于构造后的证明，需要平时多积累常见的结论，达到深入理解，举一反三，融会贯通.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列为单调递增的等差数列D.满足不等式的正整数n的最小值为63【答案】ABD【解析】【分析】由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确；→→为单调递增的等差数列→C选项不正确；→→→D选项正确【详解】因为，所以，所以，则，解得，，所以，，所以A选项正确，B选项正确；因为，所以，所以，又，所以，所以为单调递增的等差数列，则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；，则，，解得，又，所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确．故选：ABD．【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法.10.如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（）A.线段长度的最大值为；B.弦长度的最小值为；C.点的轨迹是一个圆；D.四边形面积的取值范围为.【答案】BCD【解析】【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由长度表示圆上点到原点的距离即可判断A；由圆的性质判断B；若分别是的中点，圆心到直线和的距离且，易证为矩形且其中心对角线长度恒定，即可确定的轨迹判断C；根据得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围判断D.【详解】由题设圆的方程为，设圆心为，则，半径，由三角形两边之和大于第三边可知，且，所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小，此时圆心与直线距离为，故正确；若分别是的中点，则且且，又，易知：为矩形，而，若圆心到直线距离且，所以，则，故，所以在以为直径，交点为圆心的圆上，C正确；由上分析：，而，所以，令，则，当，即时，；当或5，即或时，；所以，D正确；故选：BCD【点睛】难点在于CD选项，选项C：证明分别是的中点所形成的四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；选项D：利用得到四边形面积关于的表达式，结合二次函数性质求范围.11.已知函数，是自然对数的底数，则（）A.的最大值为B.C.若，则D对任意两个正实数，且，若，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B，根据函数的单调性，即可判断；对于C，构造函数，判断其单调性，结合即即可判断；对于D，将展开整理得，然后采用分析法的思想，推出，构造函数，求其最小值即可判断.【详解】由题意得，则，当时，，递增，当时，，递减，故，故A正确；由于，由于当时，递减，故，即，即，因为，故，即，故，故B正确；因为，即，设，由于当时，递增，当时，递减，故单调减函数，故，即，由于，不妨设，则，即，故C错误；对任意两个正实数，且，若，不妨设，即，设，则，则，，而，设令，则，即为单调增函数，故，即成立，故，故D正确，故选：ABD12.已知四面体中，，，，直线AB与CD所成角为，则下列说法正确的是（）A.AD的取值可能为 B.AD与BC所成角余弦值一定为C.四面体ABCD体积一定为 D.四面体ABCD的外接球的半径可能为【答案】ACD【解析】【分析】可将四面体ABCD的四个顶点放入如下图所示的直三棱柱中，考虑到直线AB与CD所成角为，故有两种情况，通过计算可以判断选项ABC的真假，再求四面体ABCD的外接球半径判断选项D的真假.【详解】由题可知，，，则可将四面体ABCD的四个顶点放入如下图所示的直三棱柱中，考虑到直线AB与CD所成角为，故有如下两种情况：对于左图，，则，；此时AD与BC所成角余弦值为；所以选项A正确；因为，所以；分别取三棱柱上下底面三角形的外心G，H，连接GH，则线段GH的中点O即为三棱柱外接球球心，也即为四面体ABCD的外接球心，故四面体ABCD的外接球半径．对于右图，，则，；此时AD与BC所成角余弦值为，所以选项B错误；因为，所以，所以选项C正确；同上可得四面体ABCD的外接球半径．所以选项D正确.故选：ACD．三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.解放军东部战区此前在中国台湾省周边海域展开大规模实弹演习.对于台军有什么导弹可以拦截“东风快递”导弹，拦截率是多高问题，台军退将在一档政论节目中称，台湾天弓导弹一发的拦截率大概是，“我（台湾）三发拦你（大陆）一发，拦截率就了”.此节目播出后，相关内容让岛内网友傻眼，同时也引发国内网友嘲笑.请你用所学数学知识解决此问题，则“三发拦一发”的拦截率大约是__________.【答案】【解析】【分析】根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率的求法可求得结果.【详解】三发导弹拦截均失败的概率为，“三发拦一发”的拦截率大约是.故答案为：14.已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为_________．【答案】36【解析】【分析】根据导数的几何意义可得，展开式的通项为：，根据分析计算项的系数．【详解】由函数的解析式，得，则．由题意，得，则二项式展开式的通项为：所以含项的系数为故答案为：36．15.已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.【详解】当时，，即，；当时，，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，故，故，.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解16.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为设,由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）则，又设直线PN的方程为由到直线PN的距离为1，得，整理得则，又，故则直线PN的方程为，故，由，解得，故椭圆的离心率故答案为：【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.现有下列三个条件：①函数的最小正周期为；②函数的图象可以由的图象平移得到；③函数的图象相邻两条对称轴之间的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量，，，函数.且满足_________.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值.【答案】（1）不能选②，，或或；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；（2）结合（1），求得，根据正弦定理以及题中条件，求得，根据平方关系求得，结合诱导公式以及三角形内角和，求得的值.【详解】（1）因为，，所以.若满足条件①：，所以，故.因为，无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选②.若满足条件③：因为，所以，故，即.综上，无论选条件①或③，所求.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，，即，.因为，所以，，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.18.如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.（1）证明：平面平面；（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值.【小问1详解】取中点，由题意，，又，故.又，故，所以四边形为平行四边形，则.由平面，故平面，又面，故平面平面.【小问2详解】以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，故设平面的法向量而，故，令，得设所求角的大小为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知数列满足，.（1）若且.（i）当成等差数列时，求的值；（ii）当且，时，求及的通项公式.（2）若，，，.设是的前项之和，求的最大值.【答案】（1）（i）；（ii），；（2）【解析】【分析】（1）（i）由等差中项定义可知，结合对数运算可化简得到，由此可得；（ii）利用已知递推关系式可构造方程组求得；利用可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式求得后，采用累乘法可求得；（2）利用已知递推关系式可证得，从而将化为，利用基本不等式可求得，得到，令，，利用二次函数性质可求得的最大值，进而结合等比数列求和公式得到的最大值.【小问1详解】（i）为等差数列，，即，，又，；（ii）当时，，，，，又，；由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，时也符合，综上.【小问2详解】由得：，，，，即；又，，，，即；.，，，又，，，则，，令，设，为开口向上的抛物线，对称轴为，在单调递增，当时取得最大值，最大值为，的最大值为.20.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.（1）若，求和；（2）为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）.①若希望增大，如何调控的值？②是否存在的值使得，请说明理由.【答案】（1），；（2）①增加p的取值；②不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据条件概率计算方法求出，再根据即可计算求值；(2)①根据分布列的概率和为1得到与p的关系，构造函数，利用导数判断其单调性，求出其f(p)单调性，从而可判断=α的单调性，从而得到结果；②根据分布列概率和为1及列出关于p的方程，判断方程是否有解即可．【小问1详解】由题意得：，所以，．由全概率公式，得，又，则；【小问2详解】①由，得，记，，则，记，则，故在单调递减．∵，∴，∴，在单调递减．因此增加p的取值，会减小，增大，即增大．②假设存在p使，又，将上述两式相乘，得，化简得，，设，则，则在单调递减，在单调递增，最小值为，∴不存在使得．21.在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由已知得，，求得，即可求得方程；（2）分析设直线OA的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合可求得，再分类讨论直线OA、OB的斜率为、和直线OA、OB的斜率为、，进而求得直线方程.【小问1详解】过C的焦点垂直