河南省部分学校高三下学期5月适应性考试理科数学试题

河南省部分学校2022届高三下学期5月适应性考试数学考试（理科）本试题卷分为选择题和非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．若复数z满足，则z的虚部为（）A．2 B．3 C．-2 D．-33．已知函数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．新冠疫情严重，全国多地暂停了线下教学，实行了线上教学，经过了一段时间的学习，为了提高学生的学习积极性和检测教学成果，某校计划对疫情期间学习成绩优秀的同学进行大力表彰．对本校100名学生的成绩（满分：100分）按，，，，，分成6组，得到如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论错误的是（）A．若本次测试成绩不低于80分为优秀，则这100人中成绩为优秀的学生人数为25B．该校疫情期间学习成绩在70分到80分的人数最多C．该校疫情期间学生成绩的平均得分超过70分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）D．该校疫情期间约有40%的人得分低于60分或不低于90分5．设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）A． B． C． D．6．已知椭圆，为其左焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A，若（O为原点），则椭圆C的长轴长等于（）A．6 B．12 C． D．7．函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．8．北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．．．．依次进行次分形．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于40的分形图，则n的最小值是（参考数据：，）（）A．11 B．12 C．13 D．149．2月23日，以“和合共生”为主题的2021世界移动通信大会在上海召开，中国5G规模商用实现了快速发展．为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排A，B，C，D，E五名工作人员到甲、乙、丙三个社区开展5G宣传活动，每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人，则不同的安排方法种数为（）A．80 B．120 C．150 D．18010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．11．定义：设不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式在上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．12．如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（）A．四棱锥体积的最大值为 B．PD的中点F的轨迹长度为C．EP，CD与平面PAD所成的角相等 D．三棱锥外接球的表面积有最小值16π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若向量，满足，，，则与的夹角为______．14．设x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．若数列是等差数列，，则______．16．已知，分别为双曲线）的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求面积S的最大值．18．（12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企统计了近期购车的车主性别与购车种类的情况，其中购车的男性占近期购车车主总人数的60%，女性购置新能源汽车人数为所有购车总人数的25%，男性购置传统燃油汽车人数为所有购车总人数的10%，现有如下表格：购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性60女性总计（1）完成上面的的2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）以样本中购置新能源汽车的频率作为概率，现从全国购车的车主中随机抽取4人，设其中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列及期望．参考公式及数据：，其中．0.150.050.0100.0050.0012.0723.8416.6357.87910.82819．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知，，，，是等边三角形，E为DP的中点．（1）证明：平面PCD．（2）若，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知抛物线上的点M与焦点F的距离为9，点M到x轴的距离为（1）求抛物线C的方程．（2）经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，E为直线上任意一点，证明：直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．21．（12分）已知定义在上的函数，e为自然对数的底数．（1）当时，证明：．（2）若在上存在极值，求实数m的取值范围．（3）在（1）的条件下，若恒成立，求实数t的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求．23．［选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）画出的图象；（2）当时，，求的最小值．高三数学考试参考答案（理科）1．C2．B3．A4．D5．D6．C7．D8．C9．C10．B11．A12．B13．14．-515．16．17．解：（1）因为，所以．又，所以，整理得，得，所以．（2）由，，得，即，所以的面积，当且仅当时，等号成立，所以面积S的最大值为．评分细则：【1】第一问，写出，得2分，写出，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得6分．【2】第二问，用余弦定理和基本不等式求出累计得9分，最后求出正确答案，累计得12分．【3】其他情况根据评分标准按步骤给分．18．解：（1）列联表如下：购置新能源汽车（辆）购置传统燃油汽车（辆）总计男性501060女性251540总计7525100因为，所以有的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关．（2）由题意及（1）知，购置新能源汽车的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4．，，，，．故X的分布列为X01234P．评分细则：【1】第一问，算出，近似数位不够，不扣分，即得本步骤的4分，正确得出结论，累计得5分．【2】第二问，列出分布列累计得11分，正确写出期望累计得12分．【3】第二问，最后一步也可以这样解：因为，所以．同样得12分．19．（1）证明：取PC的中点，连接EF，BF．因为AE是等边的中线，所以．因为是棱PD的中点，为PC的中点，所以，且．因为，，所以，且，所以四边形ABFE是平行四边形，所以．因为，F为PC的中点，所以，从而．又，所以平面PCD．（2）解：由（1）知，又，所以平面ADP，从而平面ADP．以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为等边的边长为，所以，，，，．设平面PBC的法向量为，由，得，令，则，，所以．又平面PAD的一个法向量为，所以，即平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．评分细则：【1】第一问，证出，得1分，证出，累计得5分，第一问全部证完累计得6分．【2】第二问，建立空间直角坐标系得1分，写出相关点和相关向量的坐标，得1分，计算出平面PBC的法向量得2分，写出平面PAD的一个法向量得1分，正确求出二面角的余弦值累计得12分．【3】若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题完全正确得满分．20．（1）解：设点，由题意可知，所以，解得．因为，所以．所以抛物线的方程为．（2）证明：设直线，，，联立方程组，消去得，所以，．设，则，又因为，所以，即直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．评分细则：【1】第一问，正确写出，得1分，写出，累计得3分，求出标准方程累计得5分．【2】第二问，根据韦达定理写出，，累计得8分，写出，累计得10分，算出，累计得11分，证出结论得12分．【3】第二可，直线AB的方程也可以设为，参照上述步骤给分．21．（1）证明：当时，，则．当时，，，则，所以在上为增函数，从而．（2）解：因为，所以，由，可得．因为在上存在极值，所以直线与曲线在上的图象有交点（非切点）．令，其中，则在上恒成立，所以在上单调递减，且，．结合函数与函数在上的图象（图略）可知，当时，直线与曲线在上的图象有交点（非切点），即实数的取值范围为．（3）解：依题意得在上恒成立．设，其中，则，由（1）知，则．①当时，，此时在上单调递增，故，符合题意；②当时，由（1）知在上为增函数，又，当时，，则必存在，使得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，不符合题意．综上，实数的取值范围为．评分细则：【1】第一问，写出，得1分，判断出，累计得2分，证出结论，累计得3分．【2】第二问，写出，累计得4分，判断的单调性并求出，，累计得6分，求出的取值范围，累计得7分．【3】第三问，求出，累计得8分，后续每讨论一种情况得1分，求出正确答案累计得12分．【4】若采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．22．解：（1）因为曲线的参数方程为，（为参数），所以曲线的普通方程为．将，代入，得直线的直角坐标方程为．（2）因为直线的直角坐标方程为，所以它的参数方程为，（为参数），代入的直角坐标方程，得，即．由于，设，是上述方程的两实根，则，，又直线过点，所以．评分细则：【1】第一问，圆的方程没有写成标准方程，不扣分，累计得2分，写出直线的方程，不管哪种形式，不扣分，累计得4分．【2】第二问，写出，累计得7分，写出，，累计得8分