河南省焦作市高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题

2022届河南省焦作市高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】集合即为函数的定义域，结合对数函数理解运算，再求，注意两个集合元素的区别．【详解】因为，，故.故选：B．2．设，，则a=（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据题意，利用复数除法及复数相等求解．【详解】，所以.故选：C．3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据基本不等式可以从得到，充分性得证；必要性可以举出反例证伪，故得到答案.【详解】根据基本不等式得，若，则．反过来，若，，满足，而，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A4．已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【分析】根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算.【详解】，是方程的两根，所以，又是等差数列，所以其前20项和为．故选：D5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件不能推出的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可【详解】对A，，则，又故，正确；对B，，则，又故，正确；对C，平面，的关系无法确定，C错误；对D，，则或，又，故，D正确；故选：C6．某高科技公司为加强自主研发能力，研发费用逐年增加，统计最近6年的研发费用（单位：元）与年份编号得到样本数据，令，并将绘制成下面的散点图．若用方程对与的关系进行拟合，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】从图象可以得到回归方程的斜率大于0，且纵截距大于0，计算出.【详解】因为，令，则与的回归方程为．根据散点图可知与正相关，所以．从回归直线图象，可知回归直线的纵截距大于0，即，所以．故选：A7．已知和都内接于同一个圆，是正三角形，是直角三角形，则在内任取一点，该点取自内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设，分别求，结合几何概型代入计算．【详解】由题可知是直角三角形，如图所示，是外接圆的直径，不妨设则，可得则可得所求的概率.故选：C．8．若，，，a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指、对数运算可得，，，利用中间值法结合单调性比较大小．【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，同时，所以.故选：A．9．已知数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出通项公式，利用等比数列求和公式进行计算.【详解】因为，所以当时，，两式相减得，所以，又也适合该式，故．所以为等比数列，所以．故选：C10．将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，若与的图象关于轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平移后的解析式，利用两图象关于轴对称，得到等量关系，求出.【详解】由题意知，因为与的图象关于轴对称，所以，即，则或，．前面一种情况不能恒成立，后面一种情况解得：，因为，所以，得满足题意．故选：B11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点A，B在上，若（为坐标原点），，则的面积为（

）A．16 B．24 C．32 D．36【答案】B【分析】由已知A，，B三点共线且A、B都在双曲线的左支上，根据双曲线方程有，则，应用勾股定理及双曲线的定义求、，最后利用三角形面积公式求的面积.【详解】由知：A，，B三点共线，且A、B都在双曲线的左支上，不妨设在第二象限，由条件知：，，所以，则．设，则．在中，，即，解得．设，则．在中，，即，解得．所以．故选：B12．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，底面，，是棱的中点，点是棱上的动点，则当的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得最小，利用展开图可得此时，，利用正弦定理可得的外接圆半径为，进而可得，即得.【详解】因为固定，所以要使的周长最小，只需最小．如图，将四棱雉的侧面沿展开，使得与矩形在同一个平面内，当P，E，F三点共线时，取得最小值．易得，，，．设的外接圆半径为，则．设三棱锥外接球的半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积．故选：D.二、填空题13．已知函数，若，则实数______．【答案】【分析】分和两种情况，解方程及，结合范围求得结果.【详解】当时，由得，此方程无实数解；当时，由得，解得．故答案为：.14．已知，是单位向量，若，则，的夹角为______．【答案】【分析】根据平面向量的垂直表示与数量积运算求解即可【详解】设，的夹角为，因为，所以，所以，又，故．故答案为：15．已知椭圆的右焦点为F，直线与C交于A，B两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.【答案】【分析】根据题意可以解得，，再根据得，结合求解．【详解】设，将代入椭圆方程得，不妨设，，因为以为直径的圆经过点F，所即，整理得，∵，所以，得.故答案为：．16．已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．作出和的图象如图所示．当时，只需直线与圆相离，可得；当时，只需直线与圆相切，可得．故k的取值范围是．故答案为：三、解答题17．某校组织学生参加冬奥会知识竞赛，随机抽取100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分），统计如下表：分数段男生人数26243020女生人数20203624(1)分别估计男生和女生竞赛成绩的平均分和（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；(2)学校规定竞赛成绩不低于60分为优秀，根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并以此判断是否有90%的把握认为男生和女生对冬奥会知识的了解程度有差异.非优秀优秀合计男生女生合计200参考公式及数据：，其中.k【答案】(1)，(2)列联表答案见解析，没有90%的把握认为男生和女生对冬奥会知识的了解程度有差异【分析】（1）根据题意利用加权平均数，分别代入计算；（2）根据题意完成2×2列联表，代入计算理解，注意本题的临界值为2.706．【详解】(1)男生的竞赛成绩的平均分估计为，女生的竞赛成绩的平均分估计为.(2)2×2列联表如下：非优秀优秀合计男生5050100女生4060100合计90110200所以.故没有90%的把握认为男生和女生对冬奥会知识的了解程度有差异.18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理得到，利用辅助角公式求出；（2）利用正弦定理及第一问结论，求出，利用差角公式进行求解.【详解】(1)由条件及正弦定理得，因为，所以，所以，所以．因为，所以，所以．(2)因为，，由正弦定理得:，即，整理可得．由已知可得，所以，即，所以．19．如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2.(1)若点F在棱上，且平面，求；(2)若，求点A到平面的距离，【答案】(1)(2)【分析】（1）在上取点作∥，根据面面平行的性质可得∥；（2）作，根据面面垂直的性质可得平面，再根据等体积转换求结果【详解】(1)如图，在上取点，使得∥，连接，，则∥∥.因为平面，平面平面，所以∥，所以四边形是平行四边形，所以.又因为，所以.(2)作，垂足为，连接，，.因为平面平面，平面平面，所以平面.由条件可知是等腰直角三角形，，.，所以三棱锥的体积为.在底面内计算可得，所以同理可得.所以是等腰三角形，面积为.设点到平面的距离为，则，即，解得.20．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且.(1)求抛物线的方程；(2)直线与C交于A，B两点，点T在y轴上，直线，与C的另一个交点分别为D，E，且，求T点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线定义结合已知表示出点坐标，代入抛物线即可求出；（2）联立直线与抛物线，表示出直线的方程，进而可得出坐标，根据直线的斜率为1即可求出.【详解】(1)依题意，设.由抛物线的定义得，解得，因为在抛物线上，所以，所以，解得.故抛物线的方程为.(2)设，，，，，由题易知，.联立，得，则，.直线的方程为，联立，得，所以，所以，同理可得.则，解得，当时，直线与重合，不符合题意，故，即T点的坐标为.21．已知函数.(1)若曲线与直线相切，求a的值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数导数，令求得切点即可得出方程，比较可得出答案；（2）构造函数，利用导数讨论的单调性，根据函数值变化可得.【详解】(1)的定义域为，.令，得，又，所以曲线的斜率为1的切线为，由题意知这条切线即，故.(2)存在，使得成立，即存在，使得成立.设，则.设，则.当时，，当时，，所以.若，则，即，所以单调递增，故当时，，不符合题意.若，，，所以存在，使得，当时，，即，在上单调递减，所以当时，，符合题意.综上可知，的取值范围是.22．在极坐标系中，已知直线和曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求与的直角坐标方程；(2)若与交于A，B两点，且点，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先用三角恒等变换化简，再利用公式将极坐标方程，化为直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，利用的几何意义进行求解.【详解】(1)对于，由可得，整理得，所以的直角坐标方程为．对于，由，得，所以，整理得的直角坐标方程为．(2)由题意得经过定点，且倾斜角为．设l的参数方程为，（为参数），代入椭圆方程得．设点A，B对应