江苏省南通苏北部分学校高三下学期第四次调研考试数学试题-1

江苏省南通、苏北部分学校2022届高三下学期第四次调研考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（

）A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．2．已知M，N均为R的子集，且，则＝（

）A． B．M C．N D．R3．若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（

）A．25 B．52 C．log52 D．log254．已知向量，满足，，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．25．已知函数的导函数，，，，则（

）A． B． C． D．6．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．7．设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（

）A． B．1 C． D．28．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为（

）A．26 B．25 C．20 D．18二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某物理量的测量结果服从正态分布，则（

）A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称B．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡C．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等10．若函数同时具有性质：①对于任意的，，②为偶函数，则函数可能为（

）A． B． C． D．11．已知函数在区间上可能（

）A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值12．已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边，CD⊥BC，则（

）A．BC⊥平面ACDB．点D的轨迹的长度为2πC．线段CD长的取值范围为（0，2]D．三棱锥D－ABC体积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.14．若＝3，则＝________．15．若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________．16．在的展开式中，所有项系数之和为________；展开式中系数最大项的系数为________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.18．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．(1)求cosB；(2)若b＝3，a＞c，△ABC的面积为，求a．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．(1)证明：BD平面ANP；(2)若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．20．某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的（包括一个也不选）．(1)已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；(2)已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由．方案一：每道题都随机选1个选项；方案二：每道题都随机选2个选项．21．已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝（a≤1）．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．22．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．参考答案：1．B【解析】【分析】由复数的几何意义及向量的坐标运算可求解.【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），所以则，解得，∴.故选：B．2．C【解析】【分析】如图，利用文氏图表示集合，判断选项.【详解】用图示法表示题意，如下图，故＝N，故选:C．3．D【解析】【分析】由求出后代入可得结论．【详解】．∴，∴，故选：D．4．D【解析】【分析】利用向量的数量积公式和余弦函数的有界性即可求解.【详解】∵，∴，其中为向量，的夹角，即，当时，有最小值，故选:．5．A【解析】【分析】由题，写出原函数，讨论其奇偶性、单调性，再结合、、的范围即可比较大小【详解】，则，为偶函数，且在单调递增，，，即，，所以，∴，故选：A6．C【解析】【分析】作出轴截面图形，根据几何关系即可求解．【详解】如图所示，，，，则，∴，即，而，即，∴，∴．故选：C．7．C【解析】【分析】根据给定等式，可得，再求出数列，的公比即可计算作答.【详解】由得，，设{}的公比为，{}的公比为，当时，，即，当时，，即，联立两式解得，此时，，则，，所以.故选：C8．B【解析】【分析】设,设出直线方程并与抛物线方程联立,再由焦半径公式,可得,再利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意,,设,设直线的方程为,联立,即,则，所以，，所以，当且仅当，即时取等号.所以4|AF|＋9|BF|的最小值为.故选：B．9．AC【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AD选项的正误；利用的大小对正态密度曲线的影响可判断BC选项的正误.【详解】对于A选项，该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，A对；对于B选项，越大，曲线越平，B错；对于C选项，越小，曲线越陡，所以，越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大，C对；对于D选项，因为，由正态密度曲线的对称性可得，D错.故选：AC.10．AC【解析】【分析】首先判断B为奇函数，再利用基本不等式判断A、C，利用特殊值判断D；【详解】解：对于B：，故为奇函数，故B错误，A，C，D为偶函数；对于A，，故A对对于C，，故C对对于D，，时，，故D错，故选：AC．11．AD【解析】【分析】由已知条件可得，，然后根据正弦型函数的基本性质逐项判断可得结论.【详解】因为且，则，，所以，函数在上不可能有零点，B错；当时，即当时，在上单调递增，A对；函数在上可能有极大值，但无最小值，C错D对.故选：AD.12．ACD【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A，利用球的截面性质及条件可得△ACD的外接圆半径，进而判断BC，利用三角形面积公式及锥体体积公式可判断D.【详解】因为△ABC以AB为斜边的直角三角形，∴，又，∴BC⊥面ACD，故A正确；设△ACD的外接圆圆心N，半径为r，D－ABC外接球半径为，，∴，∴，∴，，D在优弧上，D轨迹长度，D在劣弧上，D轨迹长度，故B错误；所以，故C正确；由题可知当在的垂直平分线时，的面积最大，，∴，故D正确．故选：ACD．13．.【解析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。【详解】设圆锥底面半径为r，则由题意得，解得.∴底面圆的面积为.又圆锥的高.故圆锥的体积.【点睛】此题考查圆锥体积的计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。14．【解析】【分析】根据诱导公式二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.【详解】故答案为：.15．【解析】【分析】由题，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围【详解】，直线：过定点，令，故在递增，递减，，则，，∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故．故答案为：16．

1024

120【解析】【分析】利用赋值法计算可得所有项系数之和，确定每个二项式展开式的系数最大项的系数，即可计算作答.【详解】依题意，所有项系数和；展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，所以系数最大项的系数为120.故答案为：1024；12017．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用即可求解；（2）利用错位相减法求数列前项和.(1)∵①∴时，②①－②得，∴，在①式中令，，，，∵，∴数列为单调递增数列，∴，∴，，∴{}为等差数列且首项为2，公差为2，∴，(2)，∴①②①－②得,,,则.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再利用可得答案；（1）利用可得由余弦定理得，再由a，c可看作一元二次方程的两不等实根可得答案.(1)因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，可得.(2)，∵，可得在△ABC中，由余弦定理得，∴，，，∴a，c可看作一元二次方程的两不等实根，∵∴.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先连接MD交AN于点O，连接OP，再根据线面平行的判定，证明即可；（2）先说明∠PAB为AP与平面ABCD所成角，然后代入数据求解即可.(1)证明：连接MD交AN于点O，连接OP，∵四边形AMND为矩形∴O为MD的中点，又∵P为BM的中点∴，∵BD平面ANP，OP平面ANP，∴BD平面ANP(2)∵，，∴∠AMB即为二面角的平面角，，且MN⊥平面ABM，∴BC⊥平面ABM，∵BC平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABM过P作于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，，，，∴，，∴∴，∴．20．(1)(2)应选择方案一作答；理由见解析【解析】【分析】（1）合计得14分的情形为一题全部选对，一题部分选对，根据此求解即可；（2）分别选出两种方案的数学期望，然后选择较大的即可.(1)合计得14分的情形为一题全部选对，一题部分选对，(2)若选方案一，小明得分X的所有可能取值为0.4，8，小明对有2个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率小明对有3个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率∴，，得分X的数学期望为：若选方案二，小明得分的所有可能取值为0，4，10，14小明对有2个正确选项那题选错的概率为：，全部选对的概率为小明对有3个正确选项那题选错的概率为：，部分选对的概率为∴，，∴得分的期望为，∵，∴应选择方案一作答．21．(1)答案见解析(2)当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点【解析】【分析】（1）求出，利用或可得答案；（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性和最值可得答案.(1)，令，当时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，单调递增；当时，单调递减.(2)，，①当时，令且当时，单调递增；当时，单调递减，此时，∴h(x)无零点，②当时，，令或，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，此时当时，，当时，单调递增，注意到，，∴h(x)在上有唯一的零点.③当时，，∴h(x)在（0，＋∞）上单调递增，注意到，，∴h(x)在（2，6）上有唯一的零点，④当时，令或，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增，∴当时，，当时，单调递增，注意到，，∴h(x)在上有唯一的零点，综上：当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点.【点睛】本题求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，构造函数利用零点存在性定理说明存在零点个数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.22．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的