新编大学物理-习题解答

第1章质点运动学

一、选择题

题1.1:

答案：[B]

提示：明确与"的区别

题1.2：

答案：[A]

题1.3：

答案：[D]

提示：A与规定的正方向相反的加速运动，

B切向加速度，C明确标、矢量的关系，

加速度是？

dt

题1.4：

答案：[C]

一

提示：△/=乙_乙,4=4/2=-点，AV=V2-V,,M=—,匕=_0

题1.5：

答案：[D]

提示：t=0时，x=5；t=3时，x=2得位移为

-3m；

仅从式x=t2-4t+5=(t-2)2+l,抛物线的对

称轴为2,质点有往返

题L6：

答案：M

2

提示：a二2t二半，v=\itdt=r-4yx-xQ=ivdtj即可得

M2J2J

D项

题1.7：

答案：[D]

提示：V车2=2十|,理清V绝=v相对+V牵的关系

二、填空题

题1.8：

答案：匀速(直线)，匀速率

题1.9：

答案：9/-15『，0.6

提示：丫=电=9/-15/2,t=0.6时，v=0

.dt

题1.10：

答案：(1)…十

(2)2i-4/j-4j

(3)4i+llj2i-6j3S

提示：⑴联立[:，，消去t得:卜=]9」x2,

y=19-2/-2

dx.dy.

v=-1+—j

dtdt

(2)t=ls时，v=2i-4/j,a=—=-4j

dt

(3)t=2s时,代入r=xi+yj=2/i+(19—2/)j中

得4i+llj

t=ls到t=2s,同样代入r=r(7)可求得

Af=2i-6j，

r和v垂直，即r.v=0,得t=3s

题1.11：

答案：12%/d

提示：a=^=^^=2v=4x=12(/w/s2)

dtdt

题L12：

答案：“S逑

71

t]3

提力7:V=Vo+*=产9V,=]=1加/5，。=1%力=72=7，

o32

|^|=V27?=—

71

题1.13：

答案：一5日+（%/-；gJ）j

提示：先对r=（引一靖/2）j求导得，Vv=（v0-g/）j与v=5i

l-1.

合成得％=-5i+(v0-g/)j「・「合=]\合dP—S/i+Gv—^g厂)j

o2

题1.14：

答案：8,64〃

提示：匕=火也=8氏,q=8/?=8,==64/2

dt

、计算题

题1.15：

Vt

1」

解：（1）4与=3//.^dv=^itdt

at00

⑵又—

(3)当a与半径成45。角时,

2

V34：.-t4=3t：.t=^/4S

4

题1.16：

解：（1）a=jkv

dt

当丫=；%时，

kl

（2）由（*）式：v=vQe~

ktk,

华=vQe~,idx=ivQe~dt

出oo

第2章质点动力学

一、选择题

题21：

答案：[C]

提示：A.错误，如：圆周运动

B.错误，p=〃,v,力与速度方向不一定

相同

D.后半句错误，如：匀速圆周运动

题2.2：

答案：[B]

提示：y方向上做匀速运动：邑=▽=2t

x方向上做匀加速运动（初速度为0）,

m

II2/2

adt

匕=\=2/，sx=\vxdt=-

0o,

题2.3：

答案：[B]

提示：受力如图

设猫给杆子的力为F,由于相对于地面猫的

高度不变

F'=mgF=F，杆受力E=Mg+F=(M+m)g

F、(M+m)g

a=—=------------

MM

题2.4：

答案：[D]

提示：

mgT=maA4

<2T=maBaA=-g

"-2

y,通过分析滑轮，由于A向下走过s,

B走过g)

题25

答案：[C]

提示：由题意，水平方向上动量守恒,

故自为cos60")=科+相》共

v共22

题2.6：

答案：[C]

提示：

分析条件得，只有在h高度时，向心力

与重力分量相等

所以有噌=mgcos^=>v2=g(h-R)

R

由机械能守恒得(以地面为零势能面)

22

；mv0=；mv+mgh=>v0=《2gh+g(h-R)

题2.7：

答案：网

提示：运用动量守恒与能量转化

题28

答案：[D]

提示：

由机械能守恒得2=；机%2=丫=7^^

匕,=%sin。

PG=mgvy=wgsin2gh

题2.9：

答案：[C]

题2.10：

答案：[B]

提示：受力如图

由功能关系可知，设位移为X（以原长时

为原点）

X

Fx-/jmgx=^kxdx=>2(F-

ok

弹性势能E-kx—F-M

2k

二、填空题

题2.11:

答案：2mb

提不：u=x，=24a=v'=2hF=ma=2mb

题2.12：

答案：2kg4m/s2

提示：

y八

8N-

u4Nx

2

由题意，ax-2m/sFx-4N

F

F=8Ntn=一=2kg

va

Fi

a=—=4m/s2

m

题2.13：

答案：工，口

510

提示：由题意a=£=B+2,)

m105

V,7.

=>v=\adt--mis

o5

11

t=2

当时,lo

题2.14：

答案：180kg

提示：由动量守恒，%人S人=m船(S相对-S人)=wffi=180kg

题2.15：

答案：少+%

44

提示：各方向动量守恒

题2.16：

答案：wv(i+j),0,-mgR

提示：由冲量定义得

I=P末-P初=/Mui—(一加切)=mv(i+j)

由动能定律得阳=少=g=0,所以叫=0

W^=-mgR

题2.17：

答案：-12

提示：^Fdx=\2J

题2.18：

答案：mgh,—kx2j-Q^Lh—09X—Otr=oo才目

2r

对值

题2.19：

答案：等，2mg,g,

院Vo

题2.20：

答案:•力+Z非保*力=0

三、计算题

题2.21：

解：(1)F童吟xgy=(L-x)r〃g

J—/L

(2)a」(&-/)=0(l+4)x-〃g

mL

(3)…史,^vdv=睚(l+〃)x-〃gp，v=]j」g(2一〃)

dxo

3

题2.22：

解：（1）以摆车为系统，水平方向不受力，

动量守恒。设摆车速度v（对地）、小

车的速度为V（对地）。

mv-MV=Ov=—

xvm

^vdt=J^）4/Ar,=，

x（竺卜AX2=

00m00

则,根据位移公式：

△嗫”=△%,+△%«

(/-----)=Ax1+AX2=(A/+/77)AX2/m

AX2=/(M+w)

(2)mv-MV=Q

m^l=—mv2+—MV2

22

摆球速度V=yj2MgI/(M+m)

V=myl2g//[M(M+m)]

题2.23

解：K=Mg/X。，油灰碰撞前丫=麴

动量守恒有：mv={m+M}V

机械能守恒有（m,M,弹簧，地球

为系统）:

222

—k*o+Ax)=—(w+M)r+—kx()+(TW+M)gAx

m2x2,2m2ghx

则故=匕%+000

M(m+M)

第3章刚体的定轴转动

一、选择题

题3.1：

答案：[B]

提示：A错，M="F,合外力矩不等于合外力

的力矩

C错，/=e,r是相对参考点的距离,

月匕£=Z=—I(D~，

题3.2：

答案：[A]

提示：若绳的张力为T,TR=Ifi

若物体的加速度为a,a=（3R

TR2=1/3R-laymg-T=ma

aj卜沙

g+mR?

/=〃淤（誓_g）

2h

题33

答案：[D]

提示：系统角动量守恒mv（）l=Ico,/=；ml}

由于完全弹性碰撞，海口,故D

正确

®3.4：

答案：[C]

提示：射入点沿轮切向动量守恒，故

/%sin。=（加+m）v,co=—9C正确

R

题35

答案：[D]

提示：加力尸，r和F在同一方向上，力矩为0,

故角动量守恒

由定义知其动量和动能将改变

二、填空题

题3.6：

答案：仕“+〃1代，江,二〃畋①

（2）M+2nlM+2m

提示：人走到边沿时，系统的转动惯量为盘

的转动惯量和人的转动惯量之和

根据角动量守恒定律

2

IQ（o0=Ico,I0=^（M+m）R,/=（；〃+机

转台受冲量矩等于转盘角动量的增

2

里,BP^MR（（D-CD0）

题3.7：

3gcos0

答^:^ImgcosO，-21-'—Imgsin3,

—ImgsmO

兀8)二；ImgcosO

提示：力矩M=YXF=;/mgsin

根据转动定律M=IB=邛,故

3gcos0

B=-2l~^

根据定轴转动的动能定理，力矩做的

功等于动能的增量，力矩的

功为《；mglcos8d8

题38

答案：2兀RF，

2五RFI

1、

提示：根据定轴转动的动能定理fMdO=-Ico1-Q

2

得Ico2=2/rRF

角动量的增量为距

题3.9：

答案：Z监卜=o

题3.10：

答案：mvL=—Ml}a)+—mvL

32

提示：系统角动量守怛，mvL=Ico+^mvL,。为角

速度

三、计算题

题3.11：

解：J=gw?2=0.675馆•小

mg-T=mayTR=J。,a=R/3

/.a=mgR2/(w7?2+J)=5.06m/s2

因此(1)下落距离力=；。产=63.3加(2)

张力T=m(g-a)=37.9N

题3.12：

解：下落过程细杆机械能守恒(系统：杆与

地球)。选m静止处水平面为零势点

姆/(1+j1sin30")=金1仞2喏+：1%：3/

・•.细杆碰前瞬间角速度为：4=，3g/2/

22

碰撞过程角动量守恒:a)0Ml-(M+m)lco(

统杆与小球)

/.0=-J3g/2/

M+my

第4章狭义相对论

一、选择题

®4.1：

答案：［D］见概念

题4.2：

答案：［B］

提示:运动质量外力做功

22

W=Me—mQc=

19

相o/(l——)=0.25mc"

0.8

®4.3：

答案：网

提示：在K系中X轴方向上，正方形边长为“,

K，系观察K系X轴方向正方形边长优营

*=0.6a，则从K系测得面积为0.6axa=0.6/

题4.4：

答案：[A]

提示：选飞船为一参考系，因为真空中光速

C对任何惯性参考系都是常数，由于

飞船匀速运动，是惯性系。则飞船

固有长度为心

题45

答案：[A]

12222

!Ek=me-m0c=3w0c-nioc=2mocy网J=2

E赣moc

®4.6：

答案：[C]

提示：由时间的相对性，加=TJ=3.48X10%,长

度为0.998X3X108X3.48X10-5/M=1.04X104W

题4.7：

答案：[D]

题4.8：

答案：[D]

s

提示：〃相=/♦+'",W,=u2=2xlOw/sy^^〃相=2.77*10”加/5

1+华

题9

•

答4.

案]

•

提

示

•WbMeV

•2；

Ek=(m-m0)cm血。=-----i-Ek=4MeV；

故v=0.27c

二、填空题

题4.10：

答案:

提示：设痕迹之间距离为小由公式3—

2

（4为静长度）。则车上观察者测得长

度为…j—（?2

题4.11：

答案：（1）圣，（2）*

提示：（1）相对论质量和相对论动量:

P=mv

非相对论下，-=2,得”手

R।,八22

,,2]

Ek=m()c(,-1)=加0。

题4.12：

答案：4

-m.c.

1---于一o

：Ek=mc~=m^c，后静二叫。?，=3=m=4m0

m°c

题4.13：

答案：4

提示：L=J1-(-)2LJL=lm，4=0.5加，角旱=

VcO2

题4.14：

2

答案：(n-l)moc

提示：△/=1」，

122

Ek=me-moc=(n-1)"“。

题4.15：

答案：3.73m

8-1

提示:LQ=5m,v=2xl0m»5，

题4.16：

答案：6.7x10%

3=>w=^-c,Ax'=uX=V5c

提示：△f=y\t=>/=3BP

3

题4.17：

答案：4

1-2L

•1，=4一(：¥,m'=,yJ=；

三、计算题

题4.18：

解：(1)航程x「玉=尸［(%'f)+〃亿'F')］=^-(1+-)=1.2x10“加

0.6v

(2)时间

5

,,、〃，，，、］3xl010.81A,

一」")+/『)=-^-(^T)=5xlO.

（3）航速小等嗡没=2.4xio%/s

第5章机械振动

一、选择题

题5.1

答案：B

题5.2

答案：C

题5.3

答案：C

二、填空题

题5.4

答案：2』|

题5.5：

答案：0.02m

题5.6：

答案:^cos(y/-1n)

三、计算题

5.7一物体沿x轴做简谐振动，振幅八二

0.12m,周期了二2s.当t=0时，物体的位

移x=0.06m,且向x轴正向运动.求：

(1)此简谐振动的表达式；

(2)5%时物体的位置、速度和加速度;

(3)物体从x=-0.06m,向x轴负方向运

动第一次回到平衡位置所需的时间.

［解答］(1)设物体的简谐振动方程为x二

Acos((ji)t+0),其中A=0.12m,角频率o)=

2n/T=n.

当t=0时，x-0.06m,所以cos(p=0.5,

因此cp=±n/3.

物体的速度为v=dx/dt=+cp).

当t=0时,।/=-gAsing由于v>0,所以sing

<0,因此：cp=-n/3.

简谐振动的表达式为：x=0.12cos(nt-

叫.

(2)当t二TA时物体的位置为;x=

0.12cos(n/2-n/3)=0.12cosn/5=0.104(m).

速度为;v=-TbAsin(n/2-n/3)=-0.12nsinn/6

=-0.188(m-s-1).

加速度为：a=dv/dt=-u)2Acos(a)t+(p)=

-n2Z\cos(nt-n/3)=-0.12R2COSR/6=

-1.03(m-s-2).

(3)方法一：求时间差.当x=-0.06m时,

可得cos(Rti-n/3)=-0.5,

因止匕叫-n/3=±2n/3.

由于物体向x轴负方向运动，即v<0,所以

sin(nti-R/3)>0,因止匕nti-n/3=2n/3,得h二

Is.

当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡位

置时,x=0,v>0,因此cos(nt2-兀⑶=0,

可得或:在等.由于&>

nt2-n/3=-n/23n

0,所以冗22-n3二3冗/2,

可得0二1比二L83(S).

所需要的时间为：△£=t2-"=0.83(s).

方法二：反向运动.物体从x=-0.06m,

向X轴负方向运动第一次回到平衡位置所需

的时间就是它从x=0.06m,即从起点向x轴

正方向运动第一次回到平衡位置所需的时

间.在平衡位置时，X=0,V<0,因此COS(7Tt

-R/S)=0,可得nt-=n/2,解得t

=5/6=0.83(s).

［注意］根据振动方程x=Acos(3t+0),当t

二0时，可得(p=±arccos(XoZ4),(-n<<=n),

初位相的取值由速度决定.

由于1/二dx/dt=-u)As\n(u)t+(p),当t=0时,

v=-u)As'\nq),当v>0时，sin(p<0,因止匕

(P--arccos(xoZA)；

当0时，sing>0,因止匕=arccos(XcZA)n:^.

可见：当速度大于零时，初位相取负值；

当速度小于零时，初位相取正值.如果速度

等于零，当初位置Xo二A时，0二0；当初位

置Xo=-A时，(P=Tl.

5.8质量为10xl03kg的小球与轻弹簧组

2九"

成的系统，按…・"•+丁的规律作振动，式

中t以秒(s)计，x以米(m)计.求：

(1)振动的圆频率、周期、振幅、初位

相；

(2)振动的速度、加速曰苦一、、度

的最大值；

(3)最大回复力、振动\°1能

量、平均动能和平均势能；'一」

(4)画出这振动的旋转矢量图，并在图

上指明t为1,2,10s等各时刻的矢量位置.

［解答］(1)比较简谐振动的标准方程：x二

Acos(a)t+隼),

可知圆频本为：3二8兀，周期了二2”3二皿二

0.25(s),振幅八二0.1(m),初位相0=2冗/3.

(2)速度的最大值为：vm=(vA=0.8n=

2.51(m-s；)；题5.8解答图

2

加速度的最大值为：am=d八=6.4n=

63.2(m«s-2).

(3)弹簧的倔强系数为：k=mu)\最大

回复力为:/=kA=m32A=0.632(N)；

振动能量为：E=k敌2二md岸/2二

3.16X10-2(J),

平均动能和平均势能为：瓦*=二

=1.58X10-2(J).

(4)如图所示，当t为1,2,10s等时刻

时，旋转矢量的位置是相同的.

mv如图所示，质量为

o->5.910g

的子弹以速度1水平

图5.9lC^mG

射入木块，并陷入木块中，使

弹簧压缩而作简谐振动.设弹簧的倔强系数

/c=8xlO3N-m1,木块的质量为4.99kg,不计

桌面摩擦，试求：(1)振动的振幅;

(2)振动方

程.

［解答］(1)子弹射入木块时，由于时间很

短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，

它们的动量守恒，即：mv=(m+M)v0.

解得子弹射入后的速度为：mv/(m+M)=

v0=

2(m・J),这也是它们振动的初速度.

子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，

2

可得：(m+M)v^/2=kA/29

所以振幅为：号=5xl(y2(m).

(2)振动的圆频率为：0=行2=40值&『).

取木块静止的位置为原点、向右的方向为位

移x的正方向,振动方程可设为：x=Acos((jot

+(P).

当t=0时，x=0,可得：=±n/2；

由于速度为正，所以取负的初位相，因此振

动方程为：x=5xl0-2cos(40t-R/2).

5.10一匀质细圆环质量为m,半径为R,

绕通过环上一点而与环平面垂直

的水平光滑轴在铅垂面内作小幅

度摆动，求摆动的周期.

©:mg

［解答］通过质心垂直环面有

2

个轴，环绕此轴的转动惯量为:lc=mR.

根据平行轴定理，环绕过。点的平行轴的转

动惯量为

2

I=lc+mR?=2mR.

当环偏离平衡位置时，重力的力矩为：M=

mgRsini%

方向与角度9增加的方向相反.

根据转动定理得：/6二

即/#+小sin”0,

题5.10解答图

由于环做小幅度摆动，所以sin979,可得

微分方程：詈*，

摆动的圆频率为：”=博,

周期为：，吟=2"舄=2帮.

5.11质量为0.25kg的物体，在弹性力作用

下作简谐振动，倔强系数k=25N-mT,如果

开始振动时具有势能O6J,和动能0.2J,求:

（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于

势能？（3）经过平衡位置时的速度.

［解答］物体的总能量为：E=Ek+Ep=0.8（J）.

（1）根据能量公式E二依2/2,得振幅为：

A=yl2E/k-0.253（m）.

（2）当动能等于势能时，即Ek二弓，由于

E=Ek+Ep,可得：E=2EP,

即次轲，解得：金岳/2二

±0.179（m）.

（3）再根据能量公式E二向//2得物体

经过平衡位置的速度为：

-1

vm=±y12E/m=±2.53（m-s）.

5.12两个频率和振幅都相同的简谐振动

的x-t曲线如图所示，求:

（1）两个简谐振动的位相差;

（2）两个简谐振动的合成

振动的振动方程.

［解答］（1）两个简谐振动

的振幅为：八二5(cm),

周期为：T=4(s),圆频率为：3=2R/7■二

它们的振动方程分别为：

Xi=Acosa)t-5cosnt/2,

x2=As\na)t-5sinnt/2=5cos(n/2-Tit/2)

即

x2=5cos(nt/2-R/2).

位相差为：△(/>=⑦-=-冗2

(2)由于x=Xi+X2=5cosnt/2+5sinnt/2

二5(cosnt/2-cosn/4-+5sinnt/2-sinn:/4)/sinnA

合振动方程为：、=5缶。s《q)(cm).

5.13已知两个同方向简谐振动如下：

31

X］=0.05cos(10/+—x?=0.06cos(l0/+—^)

5，~5•

(1)求它们的合成振动的振幅和初位相;

另有一同方向简谐振动

(2)x3=

0.07cos(10t+(p),问3为何值时，X1+X3的振

幅为最大？为何值时，的振幅为最

(Px2+X3

小？

(3)用旋转矢量图示法表示(1)和(2)

两种情况下的结果.x以米计，t以秒计.

［解答］(1)根据公式，合振动的振幅为：

2

A=y)Af+Al+2A^cos(^-)=8.92x10(m).

A,sin(p、+A.sin(p.

初位相为：°arctan^/+&cqs中1―68.22°.

(2)要使X1+X3的振幅最大,则：cos((p-

(Pi)=1,因止匕0_0]=0,所以：(p=(p1=0.6n.

要使X2+X3的振幅最小，则COS(0-02)

=-1,因止匕q)-q)2=Ti,所以0二冗+02=1.2n.

(3)如图所示.

题5.13解答图

5.14将频率为384Hz的标准音叉振动和

一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为

问.|心3.0Hz,在待测音叉的一端加上一

一户HA小块物体，则拍频将减小，求待

测音叉的固有频率.

［解答］标准音叉的频率为VO=384(Hz),

拍频为△v=3.0(Hz),

待测音叉的固有频率可能是%==

381(Hz),

也可能是v2=v0+Av=387(Hz).

在待测音叉上加一小块物体时，相当于

弹簧振子增加了质量，由于d=k/m,可知

其频率将减小.如果待测音叉的固有频率

k加一小块物体后，其频率心将更低，与

标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小

的，所以待测音叉的固有频率即387Hz.

5.15三个同方向、同频率的简谐振动为

TT7［

须=0.08cos(314rH——)x=0.08cos(314/+—)

6，22，

5万

X=0.08COS(314/+—)

36•

求：(1)合振动的圆频率、振幅、初相及

振动表达式；

(2)合振动由初始位置运动到、=三”所需

最短时间(人为合振动振幅).

［解答］合振动的圆频率为：3二314二

lOOnfrad-s1).

设4=0.08,根据公式得：

Ax=4cos01+42cos02+43cos03=0，

Ay=/AiSin(pi+A2s\nq)2+/sing=2A0=

0.16(m),

振幅为：^74^<=0.16(m),初位相为：(p=

arctan(/\y//1x)=n/2.

合振城的方程为：x=0.16cos(100nt^n/2).

(2)当》=岳/2日寸，可得：008(100^/4-^/2)=41/2,

解得：100Tit+7i2二冗4或7八4.

由于t>0,所以只能取第二个解，可得所需

最短时间为t=0.0125s.

第6章机械波

一、选择题

题6.1

答案：D

题6.2

答案：A

题6.3

答案：A

题6.4

答案：C

二、填空题

题6.5

答案：相同，相同，2兀氏

题6.6

答案：r%x=0.02cos(加+砌)(SI).

题6.7

答案：芈,2侬//g产.

三、计算题

6.8已知一波的波动方程为y

5xl0-2sin(10nt-0.6x)(m).

(1)求波长、频率、波速及传播方向；

(2)说明x=0时波动方程的意义，并作

图表小.

/［解答］()与标准波

Ay/cm1

5C\△动方程一等)比较

6十,20一得:2口"=0.6,

因此波长为：入二

10.47(m)；圆频率为：O)=1QK,

频率为：v=(JO/2TI=5(Hz)；波速为：u=X/T=

Av=52.36(m-s1).

且传播方向为x轴正方向.

(2)当x=0时波动方程就成为该处质点

的振动方程：

y=5xl0-2sinl0nt=5xl0-2cos(10nt-n/2),

振动曲线如图.

6.9有一沿x轴正向传播的平面波，其波

速为u-lm-s-1,波长入=0.04m,振幅八=

0.03m.若以坐标原点恰在平衡位置而向负

方向运动时作为开始时刻，试求：

(1)此平面波的波动方程；

(2)与波源相距x=0.01m处质点的振动

方程，该点初相是多少？

［解答］设原点的振动方程为：二

(1)y0

Acos(u)t+0),其中A-0.03m.

由于u二大/7，所以质点振动的周期为：了二

A/u=0.04(s),圆频率为：U)=2TI/T=50TI.

当t=0时，氏=0,因此cos(p=0；由于质

点速度小于零，所以3二n/2.

原点的振动方程为：y0=0.03cos(50nt+

平面波的波动方程为：

_x4

y=0.03cos[50^--)+-]=o.03cos[50n(f-x)+TL/2).

(2)与波源相距x=0.01m处质点的振动

方程为：

y=0.03cos50nt.

该点初相3二0.

6.10如图所示为一列沿x负向传播的平面

谐波在t二方时的波形图，振幅4波长大

以及周期丁均已知.

(1)写出该波的波动

方程；_

(2)画出x"在处质

点的振动曲线；

(3)图中波线上。和b两点的位相差(pa-

犯为多少？

[解答](1)设此波的波动方程为：

歹=/cos[2万（7+力）+夕],

当%时的波形方程为:

y-Acos（2^-'J++y）--4sin（24宗+夕）

在x=0处y=0,因止匕得sing=0,

解得夕=0或兀.

而在x=A/2处y=-4所以0=0.

因此波动方程为：WE呜+/

（2）在x=〃2处质点的振动方程为:

y-4cos（2万7+4）=-Acos27r亍

曲线如图所示.

（3）Xa"a处的质点

的振动方程为

”=4cos（2万3+.

XbK二入处的质点的振动方程为

y=4cos（2万一+2））

hT•

波线上。和b两点的位相差

题6.10图

（P

a-(pb=-3Tl/2.

6.11在波的传播路程上有八和B两点，

都做简谐振动，B点的位相比X点落后n/6,

已知八和B之间的距离为2.0cm,振动周期

为2.0s.求波速u和波长入.

tx

［解答］设波动方程为：尸九网2号一/明

那么八和B两点的振动方程分别为：

tX

为=/COS［2I(5--^)+勿

TX，

tx

乃=Ncos［2万(不--fO+勿

1/V•

两点之间的位相差为：一2哼-2哼Y,

由于X8-XA=0.02m,所以波长为：A二

0.24(m).

波速为：u=A/T=0.12(m-s2).

6.12一平面波在介质中以速度u=20m-s-1

沿x轴负方向传播.已知在传播路径上的某

点A的振动方程为y=3cos4nt.

卜U丹9m(1)如以A点为坐标

一*题3图i二原点，写出波动方程；

(2)如以距Z点5m

处的B点为坐标原点，写出波动方程；

(3)写出传播方向上B,C,。点的振动

方程.

［解答］(1)以八点为坐标原点，波动方程

为

X7TX

y=3cos4%(1+一)=3COS(4R+——)

u5•

(2)以B点为坐标原点，波动方程为

_.X—X,、TTY

y=3cos4万。H--------)=3cos(4m+--兀)

u5•

(3)以八点为坐标原点，贝l」XB=-5m、Xc

二、各点的振动方程为

-13mxD=9m,

y=3cos47r(，+—)=3cos(4^/-万)

ffu，

y=3cos4^(/+—)=3COS(4R-—)

cu5，

y=3cos4〃(r+—)=3COS(4R+—)

Du5•

［注意］以B点为坐标原点，求出各点坐标,

也能求出各点的振动方程.

6.13设空气中声速为330m-s-1.一列火车

以30mgi的速度行驶，机车上汽笛的频率

为600Hz.一静止的观察者在机车的正前方

和机车驶过其身后所听到的频率分别是多

少？如果观察者以速度lOm-s1与这列火车

相向运动，在上述两个位置，他听到的声音

频率分别是多少？

［解答］取声速的方向为正，多谱勒频率公

式可统一表示为

其中为表示声源的频率，u表示声速，UB表

示观察者的速度，由表示声源的速度，益表

示观察者接收的频率.

(1)当观察者静止时，uB=0,火车驶来

1

时其速度方向与声速方向相同，t/s=SOm-s-,

观察者听到的频率为

_U_330

Vs600

〜~u-us-330-30=660(HZ).

火车驶去时其速度方向与声速方向相反，

Us=-30m-J,观察者听到的频率为

U_330...

Vs600

%~u-us~330+30=550(HZ).

(2)当观察者与火车靠近时，观察者的

1

速度方向与声速相反，uB=-lOm-s；火车速

度方向与声速方向相同，us=30m-s\观察

者听到的频率为

u—uB330+10

VgVs_600

~u-us330-30=680(HZ).

当观察者与火车远离时，观察者的速度方

1

向与声速相同，uB=lOm-s；火车速度方向

1

与声速方向相反，us=-30m-s,观察者听到

的频率为

u—un330-10/八八

Vb600

~u-us330+30=533(HZ).

［注意］这类题目涉及声速、声源的速度和

观察者的速度，规定方向之后将公式统一起

来，很容易判别速度方向，给计算带来了方

便.

6.14Si与S2为两相干波源，相距1A个波

长，S1比S2的位相超前兀2问51>$2连线

上在Si外侧各点的合成波的振幅如何？在

s2外侧各点的振幅如何？

x,r[解答]如图所示，设

一~rSi在其左侧产生的波的

波动方程为

必=人网2勺+/%

那么S2在另左侧产生的波的波动方程为

%=4cos[2"《+"+夕—J]=Zcos[2%（5+彳）+夕一句

TZ2TZ，

由于两波源在任意点X产生振动反相，所以

合振幅为零.

Si在S2右侧产生的波的波动方程为

tX

乂"°“2勺-R+%

那么S2在其右侧产生的波的波动方程为

y=Acos[24-，，/4）+。-J]=Zcos[2招-：）+勿

2TZ2TA，

由于两波源在任意点X产生振动同相，所以

合振幅为单一振动的两倍.

6.15设入射波的表达式为

tX

“九。，2勺十万），

在x=0处发生反射，反射点为一自由端，

求：

(1)反射波的表达式；

(2)合成驻波的表达式.

［解答］(1)由于反射点为自由端，所以没

有半波损失，反射波的波动方程为

tX

丁2=COS2^-(---)

1zt•

(2)合成波为y二九+力，将三角函数展

开得

27r24

,=.cosxcos这是驻波的方程.

2Trj

第7章气体动理论

一、选择题

题7.1

答案：B

解：根据理想气体的状态方程心雄，有

题7.2

答案：A

解：根据理想气体的内能定义，有

E=n-kT(1)

2

根据理想气体的状态方程，有

P=〃kT（2）

由（1）、（2）得：

E^n-kT^-p

22

因为i—,所以&＜与.

题7.3

答案：C

解：根据平均速率的定义，有

—V孙=------------女----=--------------

""£工"（必"

题7.4

答案：B

解：根据最概然速率公式

2kTRT

也“41

M

知，当温度升高时，%增大，由于要保

持速率分布曲线下面所围的面积恒等于1，

所以曲线将变得平坦些，故而/⑴将减小.所

以。川＞川）＜/（以）•

题7.5

答案：D

题7.6

答案：A

解：根据三个统计平均速率的公式

知，当最概然速率相等时，平均速率和

方均根速率必然相等.

二、填空题

题7.7

答案：

(1)温度为T的平衡态下，一个分子每个

自由度上分配的平均能量

(2)温度为T的平衡态下，理想气体分子

的平均平动动能

(3)温度为T的平衡态下，理想气体分子

的平均能量

(4)温度为T的平衡态下，Imol理想气体

的内能

(5)温度为T的平衡态下，.mol理想气体

的内能

(6)速率在“附近单位速率区间内的分子数

与总分子数的比

(7)速率在“附近加速率区间内的分子数与

总分子数的比

(8)速率在必〜4区间内的分子数与总分子

数的比

(9)速率在0〜8区间内的分子数与总分子

数的比，它恒等于1,是速率分布函数的归

一化条件

(10)速率在巳〜匕区间内的分子数

(11)分子的平均速率

(12)分子速率平方的平均值

说明：欲正确解答本题必须要准确理解能

均分定理和速率分布函数小)的定义式及定

义式中的各量的含义.另外，也应将上面各

式与速率分布曲线联系起来进行理解，使我

们能更好地“看懂”速率分布曲线.

题7.8

答案：5:3；10:3

解：根据理想气体的内能定义，有

单位体积的内能E、=ngkT(1)

单位质量的内能E『*RT(2)

M2

根据理想气体的状态方程，有

P=nkT(3)

由(1)〜(3)得：

E[=n-kT=-p

122

由于%=5&=3,Mhi=2,MHe=4,所以单位体积

的内能之比为5:3；单位质量的内能之比为

10:3

答案：210K；240K习题

解：根据理想气体的状态7.9图

方程尸展1火T,有

T产「『迎J

m

R及)2M02M02^o232

所以又，=240(K)，k=210(K)

三、计算题

题7.10

解：根据理想气体的状态方程，混合前

有：

PV=%RTi(1)

PV=V2RT2(2)

根据理想气体的内能的定义，有

混合前用=|.(3)

玛=泊%(4)

混合后£=1v17?r+|v27?r(5)

根据题意，知混合前后系统的内能不变,

所以

E=EX+E2(6)

解(1)〜(6)得

T=跖7=284.4(K)

题7.11

解：(1)根据理想气体的状态方程打得:

l.OlxlO5

p〃=--=---2.-4-4-x-1-0-25-（-机---3）

kT1.38x10-23x300

(2)根据密度定义，有氧气的密度为

M2.44xl025x0.032,-3、

---=-----------rr---=1.297（仅、）

p=nm=n23-m

了NA.6.02xlO

(3)分子的平均平动动能为

&=