二元一次方程的整数解

关于二元一次方程的整数解第1页，课件共23页，创作于2023年2月（一）二元一次方程：1．定义：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1，这样的方程称为二元一次方程。(linearequationoftwounknown)[｀liniə]

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第2页，课件共23页，创作于2023年2月2．二元一次方程的一般式：3．二元一次方程解的概念：使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。第3页，课件共23页，创作于2023年2月4、二元一次方程的正整数解问题。

一般来说，二元一次方程有无穷多解，但在某些特殊条件下，解就可能是有限个了。一般地，我们更关心二元一次方程的（正）整数解。第4页，课件共23页，创作于2023年2月对于二元一次方程2x+y=8，若x=2时y=———，

则是方程2x+y=8的一个正整数解.x=2y=44x=1y=6x=3y=2注意：一般地，二元一次方程有无数个解。但在实际问题中经常会遇到求方程的正整数解。请你写出二元一次方程2x+y=8的其它正整数解———————

。知识拓展第5页，课件共23页，创作于2023年2月

7第6页，课件共23页，创作于2023年2月挑战自己,你一定行(1)已知方程是二元一次方程,则a=b=(2)如果

{X=3y=1是二元一次方程kx+y=7的解,则k=3-32第7页，课件共23页，创作于2023年2月第8页，课件共23页，创作于2023年2月第9页，课件共23页，创作于2023年2月

3.求二元一次方程的正整数解：

方法一.先求出整数解的通解，

再解不等式组

方法二.用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,

求这个未知数的取值范围，再用观察法直接写出正整数解.第10页，课件共23页，创作于2023年2月第11页，课件共23页，创作于2023年2月第12页，课件共23页，创作于2023年2月第13页，课件共23页，创作于2023年2月第14页，课件共23页，创作于2023年2月

不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．

如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的.第15页，课件共23页，创作于2023年2月求不定方程x-y=2的正整数解．

解:我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．

因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．第16页，课件共23页，创作于2023年2月定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为

其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，

②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+by＇=c.③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．

将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇，y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．

第17页，课件共23页，创作于2023年2月求方程123x+57y=531的全部正整数解。解：方程两边同除以3得：41x+19y=177,所以∵x、y是整数，取x=2得y=5∴方程123x+57y=531的整数解为：因此方程123x+57y=531只有一组整数解(评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这也是求二元一次不定方程整数解的一般步骤。)第18页，课件共23页，创作于2023年2月例题6求不定方程的正整数解。例题讲解：

解：由题意可知:0＜7z≤23

故0＜z≤3;即z=1,2,3.(1)当z=1时,,其自然数解为x=2,y=4;x=5,y=2.(2)当z=2时,,其自然数解为x=3,y=1.(3)当z=3时,,显然无自然数解.

所以原方程的自然数解为:(评注:此类三元一次不定方程的正整数解的求法是通过系数最大的未知数的约束条件和分类讨论