2015年四川高考文科数学试题和答案详解

2015年四川高考数学文科卷详细解答第页绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分l50分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，集合，则（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】∵，，，选A.设向量与向量共线，则实数(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由共线向量，的坐标运算可知，即，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（A)抽签法（B）系统抽样法（C）分层抽样法（D）随机数法【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。4.设，为正实数，则“”是“”的(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知当时，∴，“”是“”的充分条件。反过来由，可得，∴“”是“”的必要条件，综上，“”是“”的充要条件，选A.5.下列函数中，最小正周期为的奇函数是A.B.C.D.【答案】A【解析】A.,可知其满足题意;B.,可知其最小正周期为，偶函数;C.,最小正周期为，非奇非偶函数;D.,可知其最小正周期为，非奇非偶函数.选A6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是(A)(B)(C)-(D)【答案】D【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5时就执行是的步骤，所以，选D.7.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（B）（C）6（D）【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，且右焦点，则直线与两条渐近线的交点分别为，，∴,选D.15.已知函数，(其中)。对于不相等的实数，，设，，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数，，都有；(2)对于任意的及任意不相等的实数，，都有；(3)对于任意的，存在不相等的实数，，使得；(4)对于任意的，存在不相等的实数，，使得。其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。【答案】(1)(4)【解析】(1)设，,∵函数是增函数，∴，，则=>0,所以正确；(2)设，则，∴不妨我们设，则，矛盾，所以(2)错。(3)∵，由(1)(2)可得：，化简得到，，也即，令，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，。则，显然当时，恒成立，即单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。(4)同理可得，设，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，，从而不是恒为单调函数。，恒成立，∴单调递增，又∵时，，时，。所以为先减后增的函数，满足要求，所以正确。三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）设数列的前项和，且，，成等差数列。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和，求。【解答】：（Ⅰ）当时有，则，（），∴数列是以为首项，2为公比的等比数列。又由题意得，，∴，∴（Ⅱ）由题意得，∴17.（本小题满分12分）一个小客车有5个座位，其座位号为，乘客的座位号为，他们按照座位号顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.（I）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客座位号3214532451（II）若乘客坐到了2号座位，其，他乘客按规则就坐，求乘客坐到5号座位的概率。【解答】（Ⅰ）当乘客坐在3号位置上，此时的位置没有被占，只能坐在2位置，位置被占，可选剩下的任何，即可选1、4、5:①当选1位置，位置没被占，只能选4位置，选剩下的，只有一种情况；②当选4位置，可选5位置也可选1位置，选剩下的，有两种情况；③当选5位置，只可选4位置选剩下的，有一种情况；乘客座位号32145324513241532541（Ⅱ）这个问情况比较复杂，需要列表解答，当坐2位置时，位置被占，可选剩下的座位，下表列出了所有可能乘客座位号2134523451234152314523541243152435125341综上，共有8种情况，坐在5位置上的情况有4种，所求概率为18.（本小题满分分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（=1\*ROMANI）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（=2\*ROMANII）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；（=3\*ROMANIII）证明：平面。【解答】（=1\*ROMANI）如答图1所示答图1答图2答图3（=2\*ROMANII）如答图2所示，连接，易得四边形和四边形为，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面（=3\*ROMANIII）如答图3所示，易得，∴平面,得∵平面，∴，同理可得，，又，∴平面。19.（本小题满分12分）已知为的内角，是关于的方程的两实根.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.【解答】（Ⅰ）是关于的方程的两个根可得：，，所以，则，由三角形内角和为可知，.（Ⅱ）在中，由正弦定理可得，求得，则.又，由三角形内角和为及诱导公式可知，解得，将代入，解得.20.（本小题满分13分）如图，椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。（Ⅰ）球椭圆的方程；xyOBAP（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。xyOBAP【解答】（Ⅰ）由知，，解得，又∵由离心率是得到；∴椭圆E的方程为：。(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时，设AB的解析式为，，联立：，显然，由韦达定理可知，，，∴，这里，与的取值无关，∴，即。此时，当直线AB的斜率不存在时，AB就是CD，那么∴综上，存在常数，使得为定值。21.已知函数，其中，设是的导函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间(1，)内有唯一解。【解答】：（Ⅰ）∵，∴求导可得，，即∴恒成立，∴在其定义域上单调递增。（Ⅱ）∵，∴由(Ⅰ)可知在(1，)内单调递增。又时，，当时，显然。而在(1，)是单调递增的，因此在(1，)内必定