人教版高中数学选修4-5练习：第四讲4.1数学归纳法 Word版含解析

4.1A级基础巩固一、选择题112311．设f()＝1＋＋＋…＋(n∈N)，则f(n＋1)－(n)等于3－1＋()111A.B.＋3＋23n31＋11111C.＋D.＋＋3＋13＋233＋13＋2n11解析：因为f(＝＋＋＋…＋231，3－111所以(＋＝＋＋＋…＋231111＋＋＋.－＋＋313n313211＋1＋所以(＋－f(n＝＋＋.3n3132答案：D2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(－3)条时，第12一步检验第一个值n等于()0．1B．2C．3D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C3．在数列{a中，已知a＝，当≥2时，a＝a＋2－1.依次n1nn－1计算a，a，a后，猜想a的表达式是()234n．3－2B．2．3．4－3n1－解析：由条件知：a＝a＋×－＝2，221a＝a＋×3－＝，32a＝a＋×4－＝，猜想a＝n2.43n答案：B4．一个与自然数n有关的命题，当＝2时命题成立，且由＝k时命题成立推得当n＝＋2时命题也成立，则(．该命题对于＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立．该命题何时成立与k取什么值无关．以上答案都不对)解析：由题意当＝2时成立可推得＝，，，…都成立，因此该命题对所有正偶数都成立．答案：B．对于数，规定第1次操作为2＋5＝133，第2次操作为1333＋3＋3＝55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是()33．25B．250C．55．133解析：根据第1次，第2次操作规律，可知第3次操作为5＋33＝4次操作为2＋5＋0＝333变化，周期为32011＝×＋，故第2011次操作后得到的数是133.答案：D二、填空题＋＋2＋…＋2＝2－1(∈N”的过2n1－n*＝k＝＋1时应得到________．解析：因为＝k时，命题为“＋＋2＋＋2＝2－”，2k1－k所以＝＋1时为使用归纳假设，应写成＋＋2＋…＋2＋2＝2－＋2，2k1－kkk又考虑到目的，最终应为2－1.k1＋答案：＋＋2＋…＋2＋2＝2－12k1－kk1＋7．观察下列等式：1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋433233323333＝10，根据上述规律，猜想1＋2＋3＋4＋5＋6＝________．2333333解析：已知等式可写为：1＋2＝3＝＋2)1＋2＋3＝6＝(133223332＋＋3)，1＋2＋3＋4＝10＝(1＋＋＋4)，根据上述规律，猜想23333221＋2＋3＋4＋5＋6＝＋＋＋6)＝21.33333322答案：212．用数学归纳法证明“∈N时，＋＋2＋2＋…＋2是31*235n1－的倍数”时，＝1时的原式是________，从k到k＋1时需添加的项是________．答案：＋＋2＋2＋2，2＋2＋2＋2＋2234k5k1＋k2＋k3＋5k4＋三、解答题．用数学归纳法证明：14191161n＋1－－－－(n≥2，n∈．N)…＝2nn2＋13证明：当＝2时，左边＝－＝，44＋13×24右边＝＝.所以等式成立．(2)假设当＝≥，∈N时，等式成立，＋14191161＋1－－－－…(2N)即＝k≥，∈．＋2kk2当＝＋1时，141911611－－－－－…＝k2（＋）2＋12k（＋）－1（＋）·（＋）＋2（＋）·＝＝＝（＋）12k·（＋）1222（＋）＋1（＋），所以当＝＋1时，等式成立．根据和知，对n≥，∈N时，等式成立．＋10．用数学归纳法证明n＋5n能被6整除．3证明：当＝1时，左边＝1＋＝，能被6整除，结论正3确．(2)假设当＝k时，结论正确，即k＋k能被6整除．3则(＋1)＋5(＋＝k＋k＋＋＋5＋＝k＋＋3(k＋＋332322)＝k＋＋3(＋＋，3因为k＋k能被6整除，＋1)(＋2)必为偶数，k＋1)(＋2)3能被6整除，因此，k＋k＋3(＋1)(＋能被6整除．3即当＝＋1时结论正确．根据可知，n＋5n对于任何∈N都能被6整除．3＋B级能力提升1(＋1)(＋2)…(＋n＝2×1××…×n(2n－1)(∈N)时，从“n＝k到n＝k＋”左端需乘以的代数式为＋()．＋1B．2(2＋1)2＋32＋1C.D.＋1＋1当＝k(＋＋…＋k＝2×1××…×k(2－．当n＝k＋1时，左边＝k＋1)＋1](k＋1)＋2]…k＋1)＋k]·(k＋1)＋＋1)]＝＋＋…(＋＋1)(2＋．比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以（＋）（＋）＝＋．＋1答案：B．用数学归纳法证明3＋5(∈N)能被14整除，当＝kn1＋2n1＋＋＋1时，对于3解析：3＋5应变形为_______________．4(k1)12(k1)1＋＋＋＋＋5＝3＋5＝81·3＋25×5＝k1)1k1)1k5＋k3＋4k1＋2k1＋＋＋＋＋81×3＋×5－×5＝×(3＋5－×5k1＋2k1＋2k1＋k1＋2k1＋k1＋答案：81·(3＋5)－56·5k1＋k1＋k1＋11．已知正数数列{a}中，前n项和S＝＋.a2annnn(1)求a，a，a，a；1234(2)推测{a的通项公式，并用数学归纳法加以证明．n解：(1)a＝1，a＝－，a＝3－，a＝－3.1234(2)a＝－－1n①a＝，a＝－，a＝3－2，a＝－3.1234②猜想a＝n－－1(n∈N．n＋(ⅰ当＝1时，a＝1－0＝，结论成立；1(ⅱ假设当＝≥，∈N成立，＋即a＝－－1.k111a＋则a＝S－S＝