《任意角的三角函数》示范课教案【高中数学】

《任意角的三角函数》教学设计教学目标教学目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．教学重难点教学重难点教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义．教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程．课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】唐朝诗人王之涣留给后人的佳作《登鹳雀楼》不仅刻画了祖国的壮丽山河，而且写出了登高望远的襟怀．其中一句“欲穷千里目，更上一层楼”更揭示了“只有站得高，才能看得远”这一生活哲理，成为不朽名句．如果从数学角度推理，以自己为中心，要看到千里内(方圆五百千米)的景物，应登多少层楼呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习任意角的三角函数.（板书：7.2.1任意角的三角函数）设计意图：【探究新知】毛毛将直角三角形OMP放在如图所示的平面直角坐标系中，探究锐角与三角形边的关系。使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM轴于M，设P(x,y),.问题1:你能说出角的正弦、余弦、正切分别等于什么?预设的答案：追问1：对确定的锐角，的值是否随着点P在终边上的位置的改变而改变？预设的答案：不会，因为三角函数值是比值，其大小与点P(x,y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.追问2：任意角的三角函数如何定义？预设的答案：如图，在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P的坐标为(x,y)，它与原点的距离为，那么：（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即(x≠0)．对于确定的值，比值，，分别是唯一一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数．问题2:三角函数值的符号如何确定？规律是什么？预设的答案：正弦函数值的符号与y的符号相同，而在第一象限内，，所以；同理，余弦函数值的符号与x的符号相同，而在第一象限内，，所以；对于正切函数，，由定义，.简记口诀：一全正，二正弦、三正切、四余弦．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1.已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)，且sinα＝m，求cosα，tanα的值．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：由于r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(3＋m2)，又sinα＝，由已知，得＝m，所以m＝0或m＝或m＝－.当m＝0时，r＝，y＝0，所以cosα＝－1，tanα＝0.当m＝时，r＝2，y＝，所以cosα＝－，tanα＝－.当m＝－时，r＝2，y＝－eq\r(5)，所以cosα＝－，tanα＝.反思与感悟：1当角α的终边在已知射线上求α的三角函数值时，取射线上异于原点的任意一点(a，b)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．设计意图：运用三角函数的定义求三角函数的值。例2.已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：r＝。若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，，，∴2sinα＋cosα.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，，，∴2sinα＋cosα.综上所述，2sinα＋cosα＝±1.设计意图：运用三角函数的定义求三角函数的值。例3.判断下列各式的符号：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.(2)∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.反思与感悟：(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．设计意图：运用三角函数的符号规律判断三角函数的符号。【课堂小结】1.板书设计：7.2.1任意角的三角函数1.任意角的三角函数的定义例12.任意角的三角函数的定义的运用例23.三角函数值符号的判断例32．总结概括：问题：1.已知角α的终边在直线上，如何求三角函数的值？2.如何确定角的三角函数值的符号？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1.(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．2.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确任意角的三角函数的有关知识．布置作业：【目标检测】1.已知角α的终边经过点P(－1，2)，则cosα的值为()A．－B．－C. D.设计意图：运用三角函数的定义求三角函数的值。2.设α是第三象限角，且，则所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限设计意图：运用三角函数的符号规律判断三角函数的符号。3.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角θ终边上一点，且，则y=_______.设计意图：运用三角函数的定义求三角函数的值。4.已知角α的终边所在的直线方程为，求角α的三角函数值。设计意图：运用三角函数的定义求三角函数的值。参考答案：1.cosα.故选A。2.∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.∴k