初等变换求多项式的最大公因式法-作者-07-2班-唐学林-指导教师：汪仲文

学士学位论文BACHELOR’STHESISTheMethodofFindingtheGreatestCommonFactorofPolynomialwithElementaryTransformationAbstractPolynomialTheoryisanimportantpartinAdvancedAlgebra.Thispaperstudiedvariousmethodsforobtainingthegreatestcommonfactorofpolynomialsinoneindeterminate,whichincludingthedivisionalgorithm,factorization,equivalenttransformationandElementarytransformation.Thesemethodsarepresentedforfindingthegreatestcommonfactorofpolynomialsinoneindeterminatefromdifferentaspects.ThedivisionalgorithmcanfindthegreatestcommonfactorofonlytwopolynomialswhilethefactorizationandElementarytransformationcanfindthegreatestcommonfactorofmorethantwopolynomialseachtime.However,thefactorizationmethodneedstowriteoutthestandardfactorizationofeachpolynomial,itisacomplicatedwork.So,forevaluatingthegreatestcommonfactorofmorethantwopolynomials,theElementarytransformationmethodisthebestchoice.Keywords:Greatestcommonfactor;Divisionalgorithm;Factorization;Equivalenttransformation;Elementarytransformation

目录中文摘要 [11]用等式写出来就是所以#解法二等效变换法：解：所以#解法三矩阵初等变换法：解：所以#综上可得出三种方法的优缺点.首先,辗转相除法是一般方法，是利用带余除法一步一步计算得到的，而等效变换法在此题中求解速度得到了很大的提高，而且清晰易懂,不易出现错误.而矩阵的初等变换则是计算原理简单，稍微有点麻烦，但是该方法最大的优势就是在求解最大公因式的同时一并将满足的，一次性求出来了,其中，.例2：设；；，求，并求出，，，使得.分析：此题求解的是，并且还要求解满足的，，，此时若用辗转相除法、等效变换法就非常的难了，所以最佳的选择就是矩阵的初等变换.解：=,且有，，，使得：成立.对于求解此类多个多项式我们最佳方法就是矩阵初等变换法，它就是利用矩阵的初等变换，一步一步求解，而且同时求解出满足：的最大公因式系数.例3：是否存在三重根，若存在求出该根，若不存在说明原因.分析：是否存在三重根，我们只需考虑是否是一元一次多项式.若有则存在三重根若无则不存在三重根.解法一：由可得：；；所以可得：是存在三重根的，且三重根是；解法二：因为可知是整系数多项式，由综合除法可知的有理根可能是，，，.显然，所以是的根，则利用综合除法有：表格SEQ表格\*ARABIC2-11-564-8-16-1281-612-80由REF_Ref291242405\h表格2可得,令，则有，同理的有理根可能是，，，，检验有，再用综合除法有：表格SEQ表格\*ARABIC32-16-128-28-82-14-40-242-120-20由REF_Ref291241808\h表格3可知是的三重根，又因为所以也是的三重根.结论：对方法一与方法二进行分析比较可得出结论：利用矩阵初等变换求解重根问题比较麻烦，而利用综合除法将会更加快速准确，因此初等变换在求解与判断方面还是存在不足之处，但它在求解多个多项式的最大公因式时还是有一定的优势的。在高等代数中，求解最大公因式的方法非常的多，但是对于需要求多个多项式的最大公因式和求最大公因式的系数多项式时，我们的最佳选择就是矩阵的初等变换法.参考文献胡少勇，易艺.多项式最大公因式求法探讨[J].九江学院理学院学报-2005:3.张景晓.矩阵的斜初等变换及其应用[J].聊城大学学报-2003-03：16-1.魏杰，董王君.多项式最大公因式的一种新方法[J].兰州工业高等专科学校学报-2008-03：15-01.黄朝军.矩阵初等变幻的一个应用[J].黔东南民族师范高等专科学报-2004-12：22-06.杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用[J].重庆文理学院学报-2008-06：27-03.邓勇.一元多项式组最大公因式计算的矩阵法[J].喀什师范学院学报-2004-05：25-03.北京大学数学系集合与代数教研室.高等代数[M].高等教育出版社,2003：13-15.张庆，王朝霞.求两个多项式最大公因式的新方法等效变换法[J].唐山师范学院学报-2007-03：29-2.郁金祥.多项式最大公因式求解方法的推广[J].嘉兴学院学报-2001-05：13-3.周立仁.n个一元多项式的最大公因式的矩阵求法[J].湖南理