第17讲图形巧数

学科：数教学内：第

图形巧知网几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。在几何图形的计数问题中图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。直线的性质：没有端点，且过两点有且只有一条直线；射线：直线上一点和它一旁的部分，它有一个端点；线段：直线上两点和它们之间的部分，它有两个端点；三角形：三条线段首尾顺次连接而得到的图形；平行四边形：两组对边分别平行的四边形；长方形：有一个角是直角的平行四边形；正方形：长与宽相等的矩形；梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。重·点以要数的图形的基本概念和基本性质为基础，找到计数规律，既不能同一图形数两次，也不能把有的图形漏掉不数。学指掌握图形的规律和方法多种多样用的有按顺序数和分类数两种类法如按分类按分类按分类等等还要注意分类的合理性只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠，这样才有可能做到不重复、不遗漏。经例［例］数一数图1中多少条线段？思剖要想使数出的图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就要找到规律。第一种可以按端点进行分类，如图中，线段最左边的端点是A，即以A为端点的线段有AB、AC、AD、AEAF共五条；以为左端点的线段有BCBDBE、BF共条；以为端点的线段有、CECF共三条；以D为左端点的线段有DEDF共二条；以E为左端点的线段有EF一条。这些线段的和就是图形中线段的条数。第二种可以按含基本线段多少的顺序去数。在此题中最长的线段AF有四个分点，将AF成了5小线段，这每条小线段就是基本线段。首先有条本线段，其次是包含两条基本线段的有4条然后是包含有三条基本线段的有3条，包含有四条基本线段的有条，包含有五条基本线段的有条。则线段上线段条数可求。解答

、OA、、OAOAOA、OA、、OAOAOAOA图共有线段：（条）点津若图形为一条线段上有n个点，线段的总条数等于从1开的连续个自然数的和，这n个连续自然数的和的最大的加数是段分点数加，n+ln+1也是基本线段的条数。［例］数出图2中共有多少个角？思剖数角的方法类似于数线段的方法。第一种按角的边进行分类，以

OA

1

为一边的角有

A1

、

A114

、OA15

共；以为边的角有

OAOA225

共3个；以为一边的角有

、

5

共2个；以为边的角有

，有个。这些角的和是图形中角的个数。第二进种按含基本角多少的顺序去数。在最大角

OA1

内有三条射线，，OA4

。

A1

被这三条角分线分成个基本角。首先有个基本角；其次是包含有基本角组成的角有3个含基本角组成的角有个包有4个本组成的角有，则总共有多少个角可求。解答图总共有角：4+3+2+l=10（）［例］数一数在图3中总共有多少个三角形？

思剖我们仍然可以按照数线段和数角的方法来数三角形种法三形有三条边，则可以按照含有边的不同进行分类。以为边的三角形、ABE、ABF△ABGeq\o\ac(△,、)ABC五个以AD为边的三角形有△ADEeq\o\ac(△,、)ADFeq\o\ac(△,、)ADGeq\o\ac(△,、)四个；以AE为边的三角形eq\o\ac(△,有)AEFeq\o\ac(△,、)AEGAEC三个AF一边的三角形eq\o\ac(△,有)AFG、△共个；最后以AG为边的三角形只AGC一。则图三角形的个数求和可得。第二种方法：注意到图3中的三角形的一边必是BC上在线段。那么可知BC上有多少条线段则必有多少个三角形的线段条数按照数线段的方法可得，第三种方法：先数出图中的基本三角形，其他的角形由基本三角形组合构成。图3中eq\o\ac(△,有)ABD、△ADE△AEF△、AGC五基本三角形。由两个基本三角形组合在一起的三角形有△ABEADF△AEG、△AFC四三角形；由个基本三角形组合在一起的三角形有△eq\o\ac(△,、)ADGeq\o\ac(△,、)三三角形由个基本三角形组合在一起的三角形、△ADC二个三角形；由五个基本三角形组合在一起的三角形只有一。图中三角形个数总和可知。解答图三角形个数：5+4+3+2+l=15（个）答：图三角形的个数共有15个［例］数一数图4中方形的个数。思剖由于长方形的构成要考虑到长和宽两个要素此图4中长方形的个数与作“长的线段的条数和作为“宽”的线段条数有关。每一个长配一个宽就组成一个长方形。AB上的每一条线段作为宽上三个分点，有线段4+3+2+l=10条边每一条线段作为长，上有四个分点，有线段5+4+3+2+l=15条么中方形的个数是长与宽个数的积。

解答图中AB边上有线段：（条）BC边有线段（）所以共有长方形：×15=150个）答：图长方形的个数为个点津虽然此题我们也可以将长方形按照基本长方形个数的组合进行分类于复杂的图形这种方法就不适用了，很容易重复或漏数。［例］数一数图5中多少个正方形（其中每一个小格都是边长为个度单位的正方形）？思剖由于正方形是长与宽相等的矩形，数正方形与数长方形相类似。由于=宽，那么只需考虑一边的长，按一边的长进行分类，由于图中BC边大于AB，因此从AB边始分类，AB边为8个单位长度，那么图5有八类正方形。①边长为的正方形个数：×（个）②边长为的正方形个数：×7=91个）③边长为的正方形个数：×6=72个）④边长为的正方形个数：11×（个）⑤边长为的正方形个数：×4=40个）⑥边长为的正方形个数：×（）⑦边长为的正方形个数：×（）⑧边长为的正方形个数：×（个）那么图正方形个数和可求。解答正方形总数为：××7+12×6+11×××2+7×1=112+91+72+55+40+27+16+7=420（个）答：图共有正方形个［例］数一数图6中角形的个数（图中每一个小三角形是边长为的正三角形

C2C22思剖第一种方法从图6中将三角形分为两类一类是顶角朝上的一类是顶角朝下的三角形。先来考虑顶角朝上的三角形，再将它们分成，①eq\o\ac(△,在)

中有个角形；②在

C2

中有2+l=3个角形在

ABC3

中有（个角在

C4中有4+3+2+l=10（个）三角形；⑤在ABC中5+4+3+2+l=15（）三角形。再来考虑顶角朝下的三角形①在

C44

中有三角形在

C3

中有3+2=5（个）三角形；③在

有（在

C11

中有1个角形。综合上的各种情况，图中三角形的个数可求。第二种方法：类似于正方形的分类方法。将三角形分成五类。①边长为的三角形有：个；②边长为2的角形有10+3=13个中个角朝上3个顶角下；③边长为3的三角形有，都是顶角朝上的；④边长4的角形有3，都是顶角朝上的；⑤边长为三角形有个，是ABC那么图中三角形个数为此五类三角形的和。解答①按第一种方法划分三角形的总数为：l+3+6+10+15+4+5+3+1=48（个）②按第二种方法划分三角形的总数为：25+13+6+3+l=48（）答：图三角形的个数为48个点津寻找到对的正确的图形分类方法是解题的关键一种方法的分类较细然看起来有些繁琐不漏数二种方的分类较粗数每一类三角形时易现漏数的情况。发思训．数一数图中共有多少条线段？共有多少三角形？

．数一数图中有多少个三角形？．数一数图中有多少个正方形包含阴影方？（图中每一个小格是边长为正方形．数一数图10中多少个角形？

．数一数图11共有多少个长方形？．一筐苹果共有50个现将个苹果排成一行，问些排成一行的个苹果可组成多少条线段？2如果去掉两头儿的苹果，这样可以组多少条线段？．数一数图12中方形的数。图中每个小格都是边长为1的方形。．数一数图13中多少个角形？

．如图所示，在圆周上有6个，在这个钉中，任取3个用皮筋可套出一三角，问）钉A为顶点的三角形有几个？2从6个钉中任取，用皮筋去套，可以套出多少个三角形？参答发思训．解：先找出图中线段的基本图形一条线段上有几个分点样的线段有ABADAE、GH、、、BC点8条段，而且每条线段上有三个分点，说明在这样的每条线段上有4+3+2+l10（条）线段，那么图形中总共线段10（三角形求法上找基本三角形个基本三角形中有三角形为（个，中共有三角形：×（答：在图形中共有条线段40个角形。．解：由于五边形ABCDE一个正五边形是对称的图形在这个图形中有很多大小形状都相等的三角形分类时按三形大小进行分类

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大小相等的三角形有个；

②与1小相等的三角形有个大相的三角形有10个eq\o\ac(△,与)大小相等的三角形有个；⑤与大小相等的三角形有；⑥ACD大相等的三角形有个。图中三角形的个数55+10=35（个答：图中总共有35个角形。．解：由于图中的阴影方格是长为2宽为的长方形那么包含它的正方形的边长至少是。那么包含阴影方格的①边长为正方形有2②长为的方形有4个③边长为正方形有1个总共有：＝（个答：总共有7个正方形包含阴影方格。．解：如图，将此图形按大三角进行分、ADC△ABC△、BDC在DEBC边各有四个分点在△eq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,、)ABC中各有5+4+3+2+1=15（）三角形。在与BDC中有5个角。因此共有：15××2＝（个）答：图中共有55个角形。．解：如图，在大矩形ABCD和矩形

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中各有长方形）×2+l）30（个图的中间部分矩形EHJG中有的未被数到的长方形：①含有基本长方形的有4个②含有基本长方形的有2个③含有基本长方形的有4个④含有基本长方形的有2个总共有：×＝72个答：图共有个方形。答图

．解：（l个苹果排成一行每个苹果相当于线段上的一个点，那么这条线段上总共有0－（个）分点，有条基本线段。那么共有线段：48

49

（条（2若去掉两头的苹果，那么苹果数变为个在这条线段上则有基本线段。那么共有线段：…+3+2+l＝（47+l÷21128（）答：50个果排成一行可组成条段。去掉两头的苹果后可组成1128条段。．解：图形中①边长为1的正方形有66＝36个）②边长为的正方形有5×＝（个）③边长为的正方形有4×（个）④边长为的正方形有3×3=9（个）⑤边长为的正方形有2×＝4个）⑥边长为的正方形有ll=1（个）图形中正方形总数：36+25+16+9+4+l=91个）答：图中共有91个方形。．解：如图3以BC为界，ABC和中各有三角形：5+4+3+2+l=15个AD为界AD的侧有三角形，AD的侧有三角形。总共有：×2+3+2=35（个答：图总共有35个角形。．解：（1以钉A做三角形的一个顶点，只需找