2015年高考山东理科数学试题及答案解析

年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D）（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BD·CD=（） （A）（B） （C）（D）（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（） （A） （B）（C）（D）（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）（A）（B）（C）（D）（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）或（B）或（C）或（D）或（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：照此规律，当时，．（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设．QUOTE（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，，求平面与平面所成角（锐角）的大小．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中．（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年山东，理1】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，，故选C．（2）【2015年山东，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，，故选A．（3）【2015年山东，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位【答案】B【解析】，只需将函数的图像向右平移个单位，故选B．（4）【2015年山东，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则BD·CD=（） （A）（B） （C）（D）【答案】D【解析】由菱形ABCD的边长为，可知，，故选D．（5）【2015年山东，理5】不等式的解集是（） （A） （B）（C）（D）【答案】A【解析】当时，成立；当时，，解得，则；当时，不成立．综上，故选A．（6）【2015年山东，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【答案】B【解析】由得，借助图形可知：当，即时在时有最大值0，不符合题意；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，不满足；当，即时在时有最大值，满足，故选B．（7）【2015年山东，理7】在梯形中，，，．将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故选C．（8）【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，故选D．（9）【2015年山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】D【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为即，则，解得或，故选D．（10）【2015年山东，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由可知，则或，解得，故选C．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：照此规律，当时，．【答案】【解析】（12）【2015年山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．【答案】1【解析】“”是真命题，则，于是实数的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．【答案】【解析】．（14）【2015年山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则．【答案】【解析】当时，无解；当时，解得，则．（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为．【答案】【解析】的渐近线为，则的焦点，则，即，，．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设．QUOTE（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积．解：（Ⅰ）由，由得，则的递增区间为；由得，则的递增区间为．（Ⅱ）在锐角中，，，而，由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，即，故面积的最大值为．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面，，求平面与平面所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接，，设与交于点，在三棱台中，，则，而是的中点，，则，所以四边形是平行四边形，是的中点，．又在，是的中点，则，又平面，平面，故平面．（Ⅱ）由平面，可得平面而，，，则，于是两两垂直，以点为坐标原点，所在的直线，分别为轴建立空间直角坐标系，设,则,，则平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，取，则，，，故平面与平面所成角（锐角）的大小为．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．解：（Ⅰ）由可得，，而，则．（Ⅱ）由及，可得，，（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）的所有取值为-1，0，1．甲得分的分布列为：0-11．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上的任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．（i）求的值；（ii）求面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,圆：圆：由两圆相交可得，即，交点在椭圆上，则，整理得，解得，（舍去），故，，椭圆的方程为．（Ⅱ）（i）椭圆的方程为，设点，满足，射线，代入可得点，于是．（ii）点到直线距离等于原点到直线距离的3倍：，，得，整理得．，，当且仅当等号成立．而直线与椭圆有交点，则有解，即有解，其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，设，则在为增函数，于是当时，故面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数，其中．（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．解：（Ⅰ），定义域为，，设，当时，，函数在为增函数，无极值点．当时，，若时，，函数在为增函数，无极值点．若时，设的两个不相等的实数根，且，且，而，则，所以当单调递增；当单调递减；当单调递增．因此此时函数有两个极值点；当时，但，，所以当单调递増；当单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意．综上所述，的取值范围是．另解：（Ⅰ），定义域为，当时，，函数在为增函数，无极值点．设，当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数．若，即时，，函数在为增函数，无极值点．若，即或，而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数，，都有成立，即当时，恒成立；当时，，；当时，，；由均有成立．故当时，，，则只需；当时，，则需，即．综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是．另解：（Ⅱ）设函数，，要使，都有成立