高考数学 第十章第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 新A

高考数学第十章第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件新A1．随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望是(

)X123P0.20.5mA．2.0

B．2.1C．2.2D．随m的变化而变化解析：由题知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：B答案：

B答案：C5．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两

个随机变量X、Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．解析：甲、乙的均值分别为E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(X)>E(Y)，故乙的技术较好．答案：乙1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝

为随机变量X的均值或

，它反映了离散型随机变量取值的

．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度aE(X)＋ba2D(X)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝

，D(X)＝

．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝

，D(X)＝

．p(1－p)np(1－p)pnp4．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义上方

x＝μ

x＝μ

1

μ

越小

越大

5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称X的分布为正态分布，记作

．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝

；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝

；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝

.0.9974φμ，σ(x)dx

X～N(μ，σ2)0.68260.9544考点一离散型随机变量的数学期望（2010·江西高考)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X02345p0.03p1p2p3p4(1)求q2的值；(2)求随机变量X的数学期望．X02345p0.030.240.010.480.24X的数学期望E(X)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.考点二离散型随机变量的方差甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：

X0123P0.30.30.20.2X012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．[自主解答]甲保护区违规次数X的数学期望和方差分别为:E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散、波动较大，乙保护区内的违规事件次数更集中、稳定．所以乙保护区管理水平高．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好．解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，故有E(X)＝E(Y)，而D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好．考点三正态分布问题[自主解答]

由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4<X<6)＝0.6826，P(3<X<7)＝0.9544.∴P(3<X<4)＋P(6<X<7)＝P(3<X<7)－P(4<X<6)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如图，由正态曲线的对称性可得设x～N(5,1)，求(p≥1)及p(5<x<6)．以解答题的形式考查离散型随机变量的均值与方差的计算是高考对本节内容的热点考法，特别是实际问题为背景的数学期望的计算问题更是高考的重点，且代表了高考的一种重要考向．ξ0123P1．求离散型随机变量均值的方法步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值的定义求E(X)，(5)由方差的定义求D(X)．2．服从正态分布的随机变量X的概率特点若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X<a)＝

P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量不同．3．关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X<a)＝1－P(x≥a)，P(X<μ

－a)＝P(X≥μ＋a)．答案：B2．(2010·全国新课标卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(

)A．100B．200C．300D．400解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B答案：

D5．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．6．(2010·浙江高考)如图，一个

小球从M处投入，通过管道

自上而下落到A或B或C.已知

小球从每个叉口落入左右两

个管道的可能性是相等的．