损伤与断裂力学第章矿大高峰

第4章线弹性断裂力学

的基本理论4-1应力强度因子概念和能量释放观点的统一假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。下面以带有穿透板厚的I型裂纹的平板为例，来建立应力强度因子和能量释放率间的关系。

裂纹尖端正前方的应力分布

裂纹长度(或裂纹半长度)为a的裂纹端点正前方r处有使裂纹面撑开的拉伸应力:

裂纹面上的位移在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长a长度，即把裂端前方撑开成长度为a+s的裂纹。此时在原坐标系的x=r处或离新裂纹端点s-r处，新裂纹上表面的位移v(s-r,π)：裂纹形成时外力做功

当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位移同向，当裂纹长度延长s时，作用力对裂纹上表面所做的功为：B为平板的厚度能量释放与应力强度因子按照Griffith能量释放的观点，裂纹长度延长s时，此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。因此，按照I型裂纹能量释放率GI的定义:当s→0时，有[KI]a+s→KI，经过积分得：简化的统一形式对于平面问题，若取有效弹性模量E1和有效泊松比ν1，而平面应力平面应变则平面应力和平面应变状态下的本构关系及其解均将完全相同。于是：这就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式。

其余裂纹类型情况

上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。若假设II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则有：

如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放率为：提示

实验结果指出，除I型裂纹可以沿原方向扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。因此总能量释放率只是近似估计式。如果要考虑裂纹真正的扩展方向来计算，这已不是解析的方法所能做到，必须要用数值解法，同时还要一套断裂理论指出裂纹开裂的方向。?练习思考题为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强度因子却不能?习题试建立II型和III型裂纹的应力强度因子和能量释放率之间的关系。4-2柔度法

柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质，用测量的方法来得到G，然后再利用G与K的关系来得到K值。由于I型裂纹的G与K的关系式是精确的，并且I型裂纹容易施加载荷，所以柔度法一般只用在I型裂纹。

I型裂纹是最危险的。恒载荷和恒位移时G的表达式

当边界是给定位移时，外界对系统不做功，则这是恒位移时能量释放率的表达式。若系统边界某范围是给定载荷，这是恒载荷时的能量释放率表达式。柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应力强度因子的标定恒载荷柔度法

一块很长的矩形板，板厚为B，板下边固定，上边某点有拉力P，载荷点位移为δ。拉力P方向垂直裂纹面。在裂长为a时，拉力P可产生位移δ(a)，当裂纹增至时，位移也增至:因为位移和拉力有如下关系∶,C是柔度,于是：恒位移柔度法

长矩形板如图，一边固定，另一边强迫作位移后也加以固定。假设裂纹长度由增至，则应变能的改变是△OBC减去△OAC，即等于负的△OAB的面积，。此时，载荷改变量△P也是负值。

应该指出，载荷与位移之间的正比关系是建立在材料服从虎克定律的基础上，因此要求裂纹尖端的塑性区是微小的，如果裂端塑性区大到不可忽略时，则载荷与位移之间的线性关系不再成立，这时属于弹塑性断裂力学的范围。柔度法一般应用于恒载荷时平板的I型裂纹问题，要求裂纹前沿整齐，有相同的能量释放率。整个应力强度因子标定的步骤如下∶(1)选定一标准试件－长条板单边裂纹试件，用薄刀片加工，制成长为a1的I型裂纹。然后材料试验机上拉伸，画出拉力和加载点位移关系线。此时关系应是线性的。拉力值不得大到使P-δ关系产生非线性。下一步，再度使裂纹稍稍延长至长度a2，有在同一张纪录纸上记下此时的P-δ关系。如此进行至少十多次，裂纹长度已相当长时才停止。(2)求出不同裂纹长度下的柔度C，，柔度C是直线P-δ斜率的倒数。把柔度与裂长的关系画在图中。若是数据点足够多，可用最小二乘法把数据点拟合成一条多项式表示的曲线。习题1.求被恒拉力铺下双悬灾臂梁试迅件的应圾力强度渗因子。2.有限压大小弹性职圆柱体含穷有位于中圈心的圆裂掉纹时，试抖求在拉力薯作用下类栗似荒的钻能量释放程率表达式群。3.如著图所示宾，在上侧下表面倡，有位踪蝶移v=拣±v0和τxy=0，即被刚摄体固接。农此时横向勾位移u不陡受约束。档求在平面哀应力时的并应力强度测因子。4-3削断裂判据断裂过哲程区断裂总皂是始于级裂端的毕极小区潮域，当袄其损伤于达到临救界程度端时才发垃生的。恭在此小连区域中免材料的载微结构兔起决定痕影响，楚也是宏淘观力学似不适用圈的地方泳。这个缠小区域蹄就叫做断裂过程稍区FPZ(fr衔act男ure各pr全oce饶ss古zon您e)。K场区在第三挎章中，错给出各馋型裂纹榨的裂端较应力场要时，已阅忽略掉句高次项狮，因此坦也仅适羞合裂纹辣尖端的努小区域运内，此爸区域称尺为K场区。K场元区内的熄应力应灰变强度详可用应系力强度围因子来劝度量；占场区外度则须加渣上高次唉项。关于K场兼区和断裂有过程区如果K场咽区尺寸小例于断裂进军行区尺寸植，则计算注应力强度扫因子已失满掉意义，织此时宏观诊力学在裂倒端区是不经实用的。反过来，佳若K场区削尺寸比断孝裂进行区鸽尺寸大几卷倍以上，缠则断裂进坑行区是否开会发生断纱裂，受其割外部的K岸场区强度晴所制约，愤因此，断抖裂判据可光建立在K查场区强度到是否达到梁临界条件易这个基础梅上。由于无限辅大应力实惠际上不存健在，裂端链总有个塑俭性区，而内塑性区内境的应力是托有界的。览因此，应物力强度因悬子断裂判连据成立的格条件是，痛塑性区尺易寸比K场播区小几倍鲁，也要比蚊裂纹长度避小几倍以毯上。幸运的皮是，许桨多高强慢度合金明和工程赞材料在至发生脆滤性断裂刑时，多温是K场昨区强度宿起支配黎作用的马。因此番，应力强躺度因子块断裂判排据适合躲于这些贷材料的匀脆性断艺裂。断裂判据对于一个公单独型的沈裂纹，利报用应力强畅度因子和既能量释放巩率的关系说，可有断碗裂判据：I型裂纹闲是最常见闲的裂纹型浮，其失稳恩断裂开始抄的临界点即Kcr，通常与拐试件(或肾构件)的性厚薄、大黄小有关。胃当试件(获或构件)街厚到某一密程度和大义到某一程驶度，脆性批材料的Kcr值达到极创小值，以炕后尺寸厚阀度再增加垦，Kcr仍维持此解极小值，冻此极小值遵用符号代紫表即为KIC，其相置应的GIC值称为蹲平面应映变的断课裂韧度盆。因此息，I型娘裂纹保若守的判缺据为:断裂判泰据可以盟解决下隔列两个疲问题(1)装当知道陡工作载圈荷时，葡可以计盐算出断堆裂时的瓣临界裂患纹尺寸锁；(2)当盾知道裂纹凯尺寸和位灶置时，可月计算出可斑能引起断痕裂的载荷勒。例魂题例题34Gr来Ni3M嘱o钢所制耍成的粗轴步，探伤检扑查发现主锤要的缺陷甲是内部有杂一半径为没40mm阻的圆裂纹个，裂纹面慎的法线方翠向与轴向滋平行。已执知轴半径恋远大于裂玩纹尺寸，杯同时测得哭钢的KIC为99.乎2MN/命m3/2,试问臣要是发尝生断裂浪，轴向芽拉伸应有力至少薄有多大蜘?解投答因为粗轴底半径远大皱于圆裂纹握半径，可民采用无限疑大弹性体随有圆裂纹厉的应力强盗度因子的辟解。于是哗临界条件赠为：于是：习森题1．朋有一第平均半贩径为8绵00m石m，壁悉厚10初mm的各圆柱壳眼形高压驴容器，蜂所用钢拌材具有浆KIC值13相0MN默/m3/2,现发猛现有一灵长为1辰2mm恢、最深惠为4m傻m的内嫩表面半柄椭圆轴良向裂纹佣。问(饭A)内值压多达聪时才会贤发生断构裂?(水B)若睬内压只犁是临界毯内压的摸1/4罗，并假振设裂纹轿形状不聪变，问降裂纹扩获展至多抖大才会串发生断危裂?2．奔在习渴题1中菠，若发底现的裂雪纹是长决为20附0m拴m，深苍为4贴mm的营内表面晕横向(融圆周向钞)裂纹迹。试求逃出习题离1中的挺两个问刊题。4-4议阻力样曲线能量释娃放率可舅做为裂厕纹是否滋扩展的尽倾向能吼力的度茎量，又农称为裂涝纹扩展妹力。裂找纹扩展挑力必须牲大于裂天纹扩展兴阻力，斗裂纹才叠有可能猜扩展。厨对平面动应变的露脆性断若裂来说究，裂纹秩扩展阻浪力由KIC确定，别是个常才数值，漠不随裂手纹增长博而变。牌但对不岁同厚度零的平板茶，尤其斯是厚度摘小于平垮面应变逆所要求秘的厚度勇时，裂锐纹扩展掌阻力不尼再是常凑数。为塔了说明加裂纹扩营展阻力破的观念驱，现在唉以平面秘应变无营限大平锁板I型序中心裂匹纹为例刚，脆性断偷裂阻力枝曲线当拉伸厉应力保壮持定值令时，裂睡纹扩展画力G随裳a增加纽奉而线性孤上升。坐在1时，裂翼纹半长植度为a1就达到裂缝纹扩展阻伶力值GIC。超过a1，就发生德失稳断裂验；低于a1，则裂纹薄不扩展。脆性断傻裂阻力林曲线以小于1的拉伸抢应力2作用时，挣必须超过数较长的a2才会发生严断裂。图碍中带箭头厅的直线代黄表裂纹扩的展力，只冬有当裂纹她扩展力大颤于常数值哄的阻力R桂=KIC，才会发腿生失稳断王裂。脆性断馅裂阻力翼曲线如果将冈x轴改哲为代表傻裂纹扩樱展增量Δa，则可舟以改画榨成下图荷。Δa＞0部恭分才是驾真正扩架展。Δa＜0部分假即表示不蚁扩展，而有以负方向奥离原点的板距离表示撒裂纹半长勾度的大小向。韧性断裂厕阻力曲线在板厚乔较薄而拜不合乎块平面应涝变条件岛时，裂虎纹扩展埋阻力R孔随Δa增加而增第加。图(渴4－9)跃的例子仍逃是Gri杏ffit帆h裂纹，铃此时裂纹鸦扩展阻力永是一曲线欠。此曲线轿叫做阻力桃曲线或R册曲线。图4-机9非衡平面应帅变的R曲线韧性断裂逢阻力曲线例如在程韧性断托裂时，帮裂纹扩鹿展阻力逼往往是嗓呈曲线边的。一僵旦达到子并稍为普超过裂刺纹开始忍扩展的蜡条件时津，若外染力仍维奇持不变录，则较线长的裂敬纹(例航如图中在的裂长宅a2受到2作用时抹)有可逆能稍为秧扩展，已然后很研快地停校止下来阀。只有捞当外力督较大时说，才有伞可能引辽起失稳便扩展。图4-9狸非平面隐应变的R曲线韧性断鼠裂阻力糟曲线阻力曲隆线的测季定一般亏是针对纺裂纹扩深展阻力洗不为常赚数值时茶才实施浆。脆性牛材料平私面应变否的恒载铸荷试验败时，试雅件一启愁裂就立荐即失稳染扩展。师但对阻斧力随裂改纹扩展羽增量而偷变的情搅形，达腹到启裂孙点后不林一定会沾发生扩炊展，即习使扩展珠也不一遣定是失耀稳扩展帖。当扩窃展力稍第稍超过鄙启裂点嫂时，往柴往有一夫段稳定康扩展(巡寿也叫做声亚临界介裂纹扩矩展)。敏当达到箭失稳断恢裂时，丝式这时的Δa量已达忽到不可逆忽略了烘，对于夜有稳定墓扩展阶排段的断饭裂韧度晓测试中揉，若监赤测启裂唤点不容呆易时，哄可以用浴阻力曲甲线的测洽量，然柄后用外圆推法得肢出启裂劲点。思考题1.在绘带裂纹伐平板的申表面铆梦接或焊粥接一块搬平板，左把裂纹仅覆盖起个来(此院称为加镜筋板)呜。试根亏据阻力豪曲线的裂原理，寺讨论裂愧纹可能尼的扩展邀行为。2.如盯果已测懒量到一拿组(R姜,Δa)数据，谁这里R是崭裂纹扩展不阻力。你尽如何得到寺启裂时的屯R值?3.图读(4－积9)中侄，若裂闷纹很短馆(例如蠢为a1)，裂夫纹扩展艇力为G1的概念在迟什么情况颗下是正确委的?什么递情况下是岸不正确的真?4-5枝应变喉能密度尘因子考虑二娱维的裂睡纹问题鞋，受到I、II、III型三种载似荷中的任治一种或两斗种以上载败荷的作用悔。裂纹前膊缘是平直论的，即整色个前缘各嫁点的应力笨强度因子犹值都相同毕，如图所祥示，裂纹萄端点区附蓄近的一点双P处有体考积元，其述应力场为泻三种裂纹匠应力场的卧叠加：一般情况碧下的裂纹滋尖端应力迁场平面应力平面应变记应变能密器度公式于是，横平面应排变时在坛P点的务应变能呈密度为茧：式中：FPZ设裂端有撑个以裂端姓为原点、嗽半径为r0的圆形损姓伤核(或叫断徐裂进行拌区)。设r0值远小于阿K场区尺祥寸，如此竹，在脆性周断裂时，三断裂是否统会发生要龙由K场区沉应力应变班强度来决团定。对于复合茄型裂纹，多应变能密收度可综合顺度量K场杏区应力应体变的强度誉；更重要的馋是，应变钓能密度是粉个单参数敲，它代替浓两个以上朋的应力强称度因子(多参数)。因此验，根据掉应变能坡密度的驳概念而谅建立的遗断裂判法据，显腹然要比体多参数肌判据简雁单。K场区损伤核净周界是光损伤核品与K场址区的交飘界。在森K场区榨所有位还置的应消变能密黑度中，伟周界上古的应变标能密度芝对断裂么是否发令生，起酬着决定匠性的作猾用。应变能兔密度因统子S此应变右能密度饶因子只兽是极坐随标θ的赴函数，占与另一勉变数r次无关。Sih横(薛昌明)假说Sih扑(薛留昌明)醒提出下培列两个输假说∶（1）口裂纹扩域展的方班向为S找的一个蠢局部极蒙小值的录方向，恶即这里θ0为裂纹裳扩展角倦，或叫誓做开裂努角。（2）当此S极府小值，即域Smin=S(θ0)，达到匆或超过一电临界值Scr时，就发架生失稳断氧裂。薛昌明介术绍国际著名饥学者、美政籍华裔科岸学家、美碗国Le膜high宪大学资深宫教授、现托代工程断脾裂力学的帝奠基人之抄一，L欠ehig供h大学断吼裂与固体窗力学研究单所所长。抢现担任华东理工傅大学特聘兼职天教授等。生于1筝953右年获美痰国Po递rla于nd大宏学机械节工程学毛士学位宝，19亩57年假获美国纽约大保学机械工程万硕士学位建，196毅0年获美题国里海大傻学机械工载程博士学酒位。19秀65年，违任美国里唤海大学教镰授。从1泪965年丢开始，薛匪博士先后贪兼任美国统加州理工声学院客座跑教授（1崭965）虚、美国H俊ahne级mann隆医学院和滔费城医院班兼职教授丈（197祝2）、西安交江通大学名誉教蓬授（1运995色）、清华大筹学客座教授钞（199栽5）、中国科学黑院荣誉研土究员（附199回5）、澡西安交榜通大学遍高科技焦研究院帅院长（匠199暴6）、亭中国科宋技大学偿客座教持授（1恭997慨）等。主要兼职晕有：国际厅理论与应胜用断裂力剥学杂志主目编；国际互断裂力学游杂志地区龟编委；美乞国ASM密E应用力仰学杂志副济主编；工恰程断裂力歪学杂志、帅断裂杂志雷、热传导决杂志和先浮进复合材宵料杂志的巧编辑顾问件委员会成蕉员；美国镜机械工程呜师协会（出ASME孔）理事；竭国际断裂纷协会名誉举理事；国绢际断裂联脉合会和国语际细观力拿学学会的孝创始人。章薛昌明教暂授编写出叶版了六本宅学术专著院，编撰出邮版了6个衣系列31锁卷的科学紫技术系列纵丛书，编只撰出版了绍24次学估术会议论叛文集，获男得了3项放美国专利炎，发表了鸽350余弓篇学术论名文。疑蚕问上述的声假说给尝出了裂患纹的开萝裂角和铸失稳断弟裂发生到的条件稳，但损伤核暮究竟有多雹大?真的是圆引形吗?这些都塑是薛昌丛明避而梢不谈的闻地方。此外，插有局部极驼小值的角户度可能不臂只一处，沾裂纹开裂酱的方向究沙竟其中哪花一方向?是不是腰最小的孝那个方离向?从物理富意义讲汁，应变怀能密度翁最小的贡地方，谁应该是昼最稳定笔的地方经，因为鼠可以释谊放的多顽余的能此量较少现。而应龄变能密嫁度最大歉处则有跑更多的键能量可患释放，暮因此应翁该比较辩不稳定佳，比较养容易从园该处开姻裂。基茶于上述磁的争论啄，薛昌明对此理速论做了振一番补网充。薛昌明价的补充极说明考虑到缝损伤核拴尺寸甚使小，该璃区域的华塑性变匠形相当泪大，应走变能密跃度可以惑分为两务部分，屡一部分坊是体积然膨胀能贼密度，忽另一部态分是歪毙形能密构度。决定脆贞性开裂缘瑞的是体腐积膨胀宿能密度刃，决定致塑性失失稳的则宾是歪形男能密度纵。因此，字在S的却几个局社部极小榜值的角伸度处，看裂纹应陈沿体积灾膨胀能渔密度较衔大的方茫向开裂杯。在S最大雷值处，可匪以验证此状处歪形能堡密度是占退支配地位蓄的。体积膨胀免能和歪形释能考察应菊变能密检度，可夺以分静园水应力慢引起的来体积膨议胀能密克度和歪浑变形引爽起的歪辟形能密和度两部亲分，如锈图所示骂。因此应削变能密捡度可分却为：下标V代伙表体积膨殊胀部分，D代表绸歪形部拾分。由弹性婶力学公顾式可得里：薛昌明哑认为I影型裂纹薯开裂方括向，虽猎说是Smin在所处斯方向，戚但此时启(dU筝/dV他)V占支配御地位。S因子理惠论的验证现在考虑述平面应变I型裂纹来秀验证S因割子理论是活否恰当。对于I型促裂纹：即：于是：时，S召有极小舒值。赠时，屠S有极双大值。在损伤核和周界，应室变能密度棒因子分为充膨胀和歪家变形相关凶的两部分呢，即对I型裂纹似，在困时：这里若热取ν=券1/3俯，则有味:故平面应党变I型裂纹的卷在薛昌明应变能密禾度因子理沸论所确定仓的开裂角微处膨胀变绸形能占支途配地位。习曾题试用应律变能密每度因子虏的假说胡求平面久应变I跪I型裂差纹的可顺能扩展粥方向。导问此时伟SV是否仍炮占支配造地位?插在无限障大平板首有相同清的中心乐裂纹时特，问纯凡I型裂续纹和I浴I型裂芦纹的临记界应力碑比σcr/τcr为多少昂?试求平貌面应变舱I型裂横纹的SV表达式，堆问其极大友值是否在落θ=0粱的方向?4-6净平面峡I-I摄I复合嚼型裂纹S因子娃判据：S因子理齿论由Si赛h的因弊子理论绑可确定泊裂纹扩波展方向打。现在化以无限饲大平板租有穿透救板厚的稀斜裂纹曲为例，旨来确定匠可能的耀裂纹扩羡展方向比和断裂些时机。S因子理脑论在xy坐商标系下，被无穷远处扰的应力分层量为:紫σy=σ,声σx=τxy=0。在新坐标泽系xy下粗，应力分纳量变为:这是I、II型复合裂纹阿问题，其应力强织度因子为疗：S因子理汗论确定裂保纹扩展屋方向的路方程：此时：由S因帜子第二杨个假说示，断裂挎判据为认:S因子扇理论对于不同馆的β角，洒表给出上记述例题的润开裂角θ0，表中数奖据是在ν蝴=1/3难的情形下模得到的（夺单位:度访）。最大周霜向应力渠理论与S因悟子假说躲比较，楼最大周偶向应力肥理论显喷得比较虎简单，谣且容易骑被接受衰，此理毕论假设厦∶裂纹超是沿着凭裂端区涌圆形损策伤周界牲的最大疾周向应味力所处懂位置的邀方向开鸡裂。现让在仍以边I和I追I型复集合型来致说明：裂端区视周向应傍力和剪反切应力旋可由应烘力转换存而得到者：对求偏导捆，得：确定开裂营角的方程屡为：即：所得结形果与S迟因子理颈论相差驰不多。败失稳判壤据为损伤核周古界的最大识周向应力热大于等于终材料的临责界应力（矛强度）：最大能核量释放票理论在Grif猫fith能量释放耗理论中，顷已假设裂识纹是沿着梁原来的方往向扩展，照这对I型裂纹逝是正确奔的，但松对II型裂纹或省复合型裂烦纹，实验颈已证明裂江纹并不沿钓原来方向逗扩展。因奔此前面所立建立的能致量释放率刘与应力强艺度因子的怒关系式，争只有在I型的情况该下才正确捧，其余都漆只是近似充的结果。按照物道理观点假，裂纹额扩展的哄方向应凑是有最杜多能量福可释放率的方向：由此确扛定看以疗及发生塔的方位片。失稳断柱裂