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2023/5/101第三章组合逻辑电路3.1逻辑代数3.2逻辑函数的卡诺图化简法3.3组合逻辑电路的分析3.5组合逻辑电路中的竞争冒险3.4组合逻辑电路的设计2023/5/102

逻辑代数与初等代数的比较初等代数逻辑代数变量A、X取值∞…0、1、…+∞0、1数值符号0、1、…………、90、1数值表示数值，有大小，例如：1＞0两个对立的逻辑状态，例如：

1表示有，

0表示无基本运算加、减、乘、除与、或、非2023/5/1033.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式加运算:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算:0•0=00•1=01•0=01•1=1非运算:3.1逻辑代数分析数字电路或数字系统的数学工具，用二值函数进行逻辑描述和运算-----简单1、基本定律2023/5/1042、交换律3、结合律4、分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)求证:

右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,A=AA=A(1+B+C)+BC;分配律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1普通代数不适用!2023/5/1055、吸收律(1)A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用吸收律可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。A(A+B)=A证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB;AA=A=A;A+AB=A(2)2023/5/106(3)证明：例如：DEBCADEBCAA++=++(A+B)(A+C)=A+BC(4)证明：(A+B)(A+C)=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC;AA=A=A+BA+BC;A+AB=A=A+BC;A+AB=A2023/5/107(5)证明：证明：1吸收(6)2023/5/1086、反演律可以用列真值表的方法证明：德•摩根(De

•Morgan)定理：反演定律具有特殊重要的意义，它经常用于求一个函数的非函数或者对逻辑函数进行变换。2023/5/109

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量3.1.2逻辑代数的基本规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知(用函数

A+C代替

A)则2.反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号乘加注意:2023/5/1010例如：已知反演规则的应用：求逻辑函数的反函数则

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则变换时，原函数运算的先后顺序不变不属于单个变量上的反号应保留不变2023/5/10113.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=1注意：对偶规则同反演规则的区别：变量不变换2023/5/10123.1.3逻辑函数的代数变换与化简法1．逻辑函数的变换

一个特定逻辑问题，对应的真值表是唯一的，代数表达式和电路却是多样的。例：同或门电路。ABL＆＆≥1＆ABABBABAABL

1

1＆＆＆2023/5/1013最简或与式最简与或非式2、逻辑函数的化简最简与或式

最简与非-与非式最简或与非式最简或非-或非式核心①乘积项（与项）的个数最少；②变量的个数最少。2023/5/1014①并项法:[例]（与或式最简与或式）公式定理（3）关于逻辑函数的代数化简法2023/5/1015②吸收法：[例]③消去法：[例]④配项法：A＝A（B+B）=AB+AB

2023/5/1016利用逻辑代数的基本公式例1：反变量吸收提出AB=1提出A最简与或式乘积项的项数最少。每个乘积项中变量个数最少。ABAC+=)BC(A+=)BCB(A+=ABCBA+=)CC(ABCBA++=ABCCABCBAF++=2023/5/1017例2：反演配项被吸收被吸收2023/5/1018例3:证明;展开2023/5/1019异或门可以用4个与非门实现：&&&&ABY202析3/4开/29201.逻辑代数捧与普通代荐数的公式额易混淆，汉化简过程脑要求对所员有公式搬熟练掌握屯；2.代数法化裤简无一套求完善的方沟法可循，悠它依赖于谅人的经验束和灵活笨性；3.用这种业化简方帖法技巧茄强，较首难掌握腾。特别排是对代削数化简锋后得妙到的逻鸣辑表达领式是否造是最简禾式判断斑有一定怕困难。卡诺图绞法可以副比较简育便地得窑到最简凝的逻辑亲表达式允。代数法砖化简在辰使用中熟遇到的励困难：2023狐/4/2材9211、最亮小项的判定义3-2逻辑函摇数的卡避诺图化竭简法3.2孔.1最小项的恶定义及其条性质n个变量X1，X2，…，Xn的最小项备是n个变量的煌乘积，每惯个变量都廊以其原变事量或非变券量的形式娘在乘积项增中出现，婚且仅出现逝一次。1）是n个变量的垂乘积（“凤与”形式心）2）最小项冤中包含所抢有变量3）每个叉变量在卧最小项厉中出现馒，且只盈出现一抄次。2023慌/4/2搂922包括所有指变量的乘轻积项，每拔个变量均饱以原变量艺或反变量态的形式出巨现一次。(2变量共素有4个最小辅项)(4变量共有16个最小项)(n变量共秒有2n个最小项)……(3变量共有8个最小哲项)202雾3/4姨/2923

3变量全部最小项的真值表

ABC

000

001

010

011

100

101

110

111

1

0

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1

2、最物小项的页性质①任怒意一个很最小项狂，只有室一组变图量取值兄使其值街为1。③对变喊量的任一血组值，全顺部最小项缓的和必为1。②对变饥量的任一厉组值，任回意两个不歪同的最小娃项的乘积评必为0。2023裂/4/2残9243、最小项裂的编号把与最走小项对漠应的变碧量取值狸当成二锐进制数致，与之相应的十昌进制数，获就是该最晒小项的编肢号。对应规至律：原变量勉1反变量糠000时000茧101叠001忘110主010矮111尼011委101234567m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用mi表示最小项，m

表示最小项,下标i为最小项编号。

202谋3/4备/2925任何一桥个逻辑监函数都肥可以表声示成唯一的一组最调小项之和虽，称为标掀准与或表租达式，也拣称为最小征项表达式3.2况.2逻辑函密数的最喉小项表蓬达式202遭3/4窗/2926如果列泪出了函尖数的真鼓值表，还则只要纳将函数暮值为1的那些渐最小项员相加，怀便是函蛇数的最仇小项表鼠达式。m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC2023携/4/2估9273.2理.3用卡诺图素表示逻辑充函数1、卡丸诺图的购引出卡诺图：将n变量的赵全部最裙小项都姨用小方取块表示锄，并使姻具有逻辑相邻的最小滚项在几铁何位置傻上也相炮邻地排眠列起来粱，所得失到的图魔形叫n变量的卡眨诺图。逻辑相释邻：如果两个厘最小项只旨有一个变夸量互为反疲变量，那写么，就称仙这两个最脖小项在逻狮辑上相邻例。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m6202聪3/4雕/2928逻辑相伴邻逻辑相辩邻的项烟可以合并，误消去一呼个因子2023毕/4/2土929①一变每量卡诺图：（设变由量为D）②二变阶量卡诺图：（设变泥量为C、D）DDDm0m1D

C

D下面举例佣说明卡诺液图的画法痒。卡诺图的意每一个方鞋块（最小辩项）代表汉一种输入染组合，并债且把对应讨的输入组豪合注明在燃阵列图的昌上方和左址方。CDCDCDCDDCDC10m0m1m3m21010202绪3/4谋/2930③三变杀量卡诺图：（设变量佩为B、C、D）④四夺变量卡输诺图：（设变量兆为A、B、C、D）BCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDm6m7m5m4m2m3m1m0

C

DBABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDm10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0

C

DBA00011110100001111000011110202坚3/4担/29312、卡诺炮图的特点（1）一变腿量到多变亮量的卡诺脑图之间遵蒙循“折叠展却开”的法则宫。（2）最身小项之胀间具有翅“几何相邻，逻辑相邻断”，即“循委环邻接闪”的特豆点。DDDDCDCDCDCDDDDDCDCDCDCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD“折叠展办开”的法天则演示a、新增加同的方格宁按照展肃开方向隔应标以欧新变量b、新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加202乱3/4景/2932卡诺图的膨实质：逻辑相邻几何相邻紧挨着行或列的愤两头对折起妨来位置诉重合几何相讽邻：是指在消卡诺图筐上相接自和相对握的关系随。ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD在卡诺图寒上接在一报起的最小极项之间一辞定是逻辑膊相邻！202哥3/4滴/2933卡诺图的亿缺点：函数的变烟量个数不爱宜超过6个。例：五觉变量学的卡诺民图当变量个己数超过六父个以上时施，无法使躺用图形法奋进行化简巨。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴星为对称舱轴（对海折后位拿置重合柜）m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻（三十腊二个最蚕小项）202茶3/4宅/29343、已知侨逻辑函置数画卡鉴诺图例1：已知逻辑函刺数的最小功项表达式效，画出卡技诺图。1000111010111000LCDAB0001111000011110卡诺图（1）将函置数化为最难小项之和疲的形式；（2）在卡腔诺图中雅找出和裹表达式讲中最小槐项对应酬的小方呀格填上1，其余籍的小方洁格填上0（有时也旅可用空格风表示），插任何逻辑裙函数都等头于其卡诺头图中为1的方格所钻对应的最但小项之和悦。202载3/4观/2935例2：画出下戒式的卡权诺图00000解1.先求原函数的反函数，并化为最小项表达式2.画卡诺边图根据反函巧数的表达识式，在其撕最小项的陷方格内填者入0，其余佛方格内岸填入1，即得葛到原函炸数的卡查诺图。2023厅/4/2控936ABCD0001111000011110四变量吉卡诺图凶单元格滤的编号:01230123202调3/4禾/29373.2.毫4用卡诺挪图化简截逻辑函时数1、化简贴的依据应用互补律A+A=1可以逐步对2n个（n为整数）循环逻辑邻接的最小项进行合并化简，吸收了n个不同因子而保留了公因子。2023荣/4/2弊938卡诺图驶中最小收项合并疮规律：(1)两个相邻赖最小项合统并可以消鸣去一个因袜子ABC01000111100432ABCD000111100001111019462023趴/4/2忌939(2)四个相邻释最小项合羞并可以消北去两个因领子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810202恭3/4脊/2940(3)八个相借邻最小佣项合并肃可以消受去三个旺因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n个相邻最享小项合并回可以消去n个因子总结：202追3/4壳/29412、化简的始步骤（1）将逻辑建函数写成危最小项表颜达式。（2）按最小瓦项表达式求填卡诺图炸，凡式中谅包含的最卵小项，其苦对应方格僻填1，其余祝方格填0。（3）合并最努小项，即曲将循环相持邻的1方格圈成贴一组（包矩围圈），数每一组含2n个方格（悬最小项）安，对应每咽个包围圈伐写出一个两新的乘积辟项。（4）将宋所有包诵围圈对吧应乘积纸项相加夜。2023溪/4/2扮942用卡诺俩图化简承逻辑函嗓数化简步骤:(1)画函数瓜的卡诺油图(2)合并最泊小项：画包围圈(3)写出最磁简与或祥表达式例1：ABCD000111100001111011111111[解]202退3/4搭/2943（1）包围赤圈内的姿方格数巾一定是2n个，且包育围圈必须堤呈矩形。画包围圈时应遵循以下原则：ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110相邻单元快的个数是2n个，并竖组成矩巩形时，扒可以合祝并。2023庙/4/2圈944（2）循环赚相邻特陪性包括险上下底妥相邻，笨左右边达相邻和为四角相李邻。ABCD00011110000111101391102810461214先找面积征尽量大的暂组合进行锈化简，利代用吸收规裳则，2n个相邻单腥元合并，觉可吸收掉n个变量。吸收掉1个变量；吸收掉2个变量...202每3/4其/2945（3）同一做方格可助以被不与同的包逮围圈重援复包围辆多次，醉但新增秘的包围团圈中一肃定要有肌原有包厦围圈未紫曾包围艺的方格镇，直到览所有为1的项都被急圈完。ABCD000111100001111011111111多余的发圈（4）一船个包围井圈的方游格数要亚尽可能旬多,包围圈的吉数目要可国能少。ABCD000111100001111011111111圈越大鞭越好，失个数越享少越好2023碍/4/2弊946例2：化简L(A,B,C,D)=m(0,2,3,5,6,8~15)。ABCD0001111000011110A2023滴/4/2猾947例3：化简ABCD0001111000011110ABDL=ABDL=ABD2023伞/4/2勺948ABC0100011110111111说明一：化简结果罗不唯一。ABC0100011110111111例4：2023贸/4/2启949说明二：采用前述意方法，化抗简结果通不常为与或弦表示式。帽若要求用娇其他形式提表示则用弯反演定理谅来转换。例5：将“与或”式：用“与非”式来表示。2023腥/4/2葛950利用图形愚法化简函钩数例6：[解](1)画函数比的卡诺亦图ABCD00011110000111101111111111(2)合并最茅小项：画包围寄圈(3)写出最际简与或表达式2023喝/4/2侮9513、具有保无关项粘的逻辑沙函数及茫其化简在逻辑包函数中李，对应忆变量的予某些取糖值，函坡数的值聪可以是赛任意的却，或者尝这些变笛量的取值值不会兄出现（酱受到约米束），皇这些取绵值对应剩的最小松项就称腰为无关项。例如，晒逻辑变竖量A、B、C，分别现表示电吉梯的升、降、迅停A=1表示升垂，B=1表示降趁，C=1表示停。ABC的可能堪取值不可能哄取值001010100000011101110111202督3/4浅/2952无关项：0000