高中数学必修5常考题型：不等关系与不等式

不等关系与不等式【学问梳理】1．不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示假如a＞b，那么a－b是正数；假如a＜b，那么a－b是负数；假如a＝b，那么a－b等于0，反之亦然a>b⇔a－b>0a<b⇔a－b<0a＝b⇔a－b＝03．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.推论(同向可加性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc；推论(同向同正可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd；(5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；(6)正数开方性：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)．【常考题型】题型一、用不等式（组）表示不等关系【例1】某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可来回6次，乙型卡车每辆每天可来回8次，写出满意上述全部不等关系的不等式．[解]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，0≤y≤7，,x∈N，y∈N.))【类题通法】用不等式表示不等关系的方法(1)仔细审题，设出所求量，并确认所求量满意的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特殊须要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．【对点训练】1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)限速80km/h(2)桥头上限重10吨的标记；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为vkm/h，则v≤80.(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f≤2.5%，,p≥2.3%.))题型二、比较两数（式）的大小【例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．[解](1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.【类题通法】比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)推断差的符号：结合变形的结果及题设条件推断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→推断符号→结论，其中变形是推断符号的前提．【对点训练】2．比较x3＋6x与x2＋6的大小．解：(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)∵x2＋6＞0.∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，即x3＋6x＞x2＋6.当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，即x3＋6x＝x2＋6.当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，即x3＋6x＜x2＋6.题型三、不等式的性质【例3】已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【类题通法】利用不等式的性质证明不等式留意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题肯定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.【对点训练】3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.证明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.∴－ap＜－bp，又m＞n，即n＜m.∴n－ap＜m－bp.【练习反馈】1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满意的关系式是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：选D据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故选D.2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是()A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：选AM－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5.3．假如a＞b，那么c－2a与c－2b中较大的是________解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a答案：c－2b4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．解析：∵－10＜a＜8，∴0≤|a|＜10，又－10＜b＜8，∴－10＜|a|＋b＜18.答案：(－10,18)5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；(2)若－1＜a＜b＜0，试比较eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，a2，b2的大小．解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1＞0，